(共41张PPT)
8.2 三角恒等变换
8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 三角函数式的化简与求值
探究点一 利用半角公式化简与求值
探究点二 和差化积与积化和差公式的应用
探究点三 利用和差化积与积化和差公式证明三角恒等式
【学习目标】
1.了解半角公式及其推导过程；
2.能根据公式和 进行恒等变换,推导出积化和差与和差
化积公式；
3.灵活运用和、差、倍角公式,积化和差与和差化积公式进行相
关计算及化简、证明.
知识点一 半角公式
__________, _ _________,
_ ________________ _______.
【诊断分析】
半角公式中“ ”号如何选取
解：符号由角 的终边所在象限决定.
知识点二 和差化积与积化和差公式（不要求记忆）
1.积化和差公式
_________________________;
__________________________;
_________________________;
____________________________.
2.和差化积公式
________________;
________________;
________________;
_________________.
【诊断分析】
不用查表，直接计算求值.
（1） _ __；
[解析]
.
（2） _ ____.
[解析] .
探究点一 利用半角公式化简与求值
例1（1） [2024·湖南邵阳高一期末]已知 为锐角，若 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 为锐角，且，所以 ，
所以 .故选A.
√
（2）已知，，则 ( )
A.3 B. C. D.
[解析] 因为，，所以， ，
所以 .故选D.
√
变式（1） [2024·广州执信中学高二月考]已知, 均为钝角，
，且，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] ，即
，得.
又因为 ，且A,B均为钝角，
所以， ，
则，
又A，B均为钝角，所以 ，所以 .故选C.
（2）[2024·广东佛山顺德区高一期中] 已知， ，
则 _ ____．
[解析] 由 可知 ，
故 ．
［素养小结］
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，
则求解时常常借助半角公式求解．
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必
依据角的范围，求出相应半角的范围．
（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常选用
，其优点是计算时可避免因开方带来的求角
的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常选用
， .
探究点二 和差化积与积化和差公式的应用
例2（1） 下列四个等式中恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] ，故A正确；
，故B不正确；
，故C不正确；
，故D不正确.故选A.
（2）若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析]
.故选B.
√
变式（1） 若 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：
.故选D.
方法二：因为 ，
所以 ，
即，即 ，
即，即 .
（2）已知,，那么 的值
为____.
[解析] 由，得 .
由，得,
所以 ，所以 .
［素养小结］
积化和差、和差化积公式应用时的注意事项
（1）关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，
从而化为特殊角的三角函数．
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项．
拓展 计算 的值.
解：
.
探究点三 利用和差化积与积化和差公式证明三角恒等式
例3 证明下列恒等式：
（1） ；
证明:左边
右边，所以原等式成立．
（2） .
解：
.
变式 证明： .
证明：
.
［素养小结］
利用积化和差或和差化积公式证明三角恒等式问题时，首先要观察
等式两侧的角或函数名的差异和联系，其次要合理应用公式进行化
简，注意与其他恒等变换公式的综合应用.
1.已知角 的终边经过点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数的定义得， ，
所以 .故选A.
√
2.已知,,则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] ,, .
√
3. 的值是( )
A. B. C. D.
[解析] 原式
.故选A.
√
4.已知，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，
，，， ，
.故选D.
√
5.已知，，则_____， ______，
____.
[解析] 因为， ，所以.
因为，所以 ，所以，，，
所以 ，
， .
确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则
（1）若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．
（2）若给出角 的具体范围（即某一区间），则先求 所在范围，
再根据 所在范围选用符号．
第一象限 第一、三象限
第二象限 第一、三象限
第三象限 第二、四象限 -
第四象限 第二、四象限 -
（4）由于及 不含被开方数，且不涉及
符号问题，所以求解关于 的题目时，使用这两个公式相对方便，
但需要注意这两个公式成立的条件.
（3）若给出的角 是某一象限角，则根据下表决定符号：
1.（1）半角公式实质上是倍角公式的逆用变形,它们是用无理式表示
的,根号前面的符号由 对应的原函数值的符号确定.
（2）半角正切公式除了用无理式表示的形式外,还有两个不带根号的
式子,它的好处是回避了“ ”的讨论,一般情况下优先选用这两个式子.
例1 已知，，则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：， ，
.
方法二：，， 的终边落在第一象限，
的终边落在第一或第三象限， ，
.故选C.
√
2.万能公式及其推导
（1）万能公式
， ，
.
万能公式的好处在于把角 的三角函数式转化为用 表示的式子.
若设，则三角函数式可转化为关于 的有理代数式.
（2）万能公式的推导
；
；
或
.
例2 [2024·江苏南京金陵中学高二期中]已知 ，且
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由 ，
得 ，则 ，
由，得，所以 ．
√
方法二：因为，所以 ，
则，所以 ．
方法三：因为，且 ，
所以， ，
所以，
由 ，得，所以 ．故选A.8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 三角函数式的化简与求值
【课前预习】
知识点一
± ± ±
诊断分析
解:符号由角的终边所在象限决定.
知识点二
1.[sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β) - sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)]
-[cos(α+β) - cos(α-β)]
2.2sincos 2cossin 2coscos
-2sinsin
诊断分析
(1) (2) [解析] (1)sin 105°+sin 15°=2sincos=2sin 60°cos 45°=.
(2)sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin 45°+sin 30°)=×=.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)D [解析] (1)因为α为锐角,且sin α=,所以cos α==,所以cos2===.故选A.
(2)因为α∈,sin α=-,所以∈,cos α=,所以tan ==-.故选D.
变式 (1)C (2) [解析] (1)sin2+cos=+,即=,得sin A=.又因为sin B=,且A,B均为钝角,所以cos A=-=-,cos B=-=-,则cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=×-×=,又A,B均为钝角,所以π
(2)由<α<π可知<<,故sin===.
探究点二
例2 (1)A (2)B [解析] (1)sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ,故A正确;cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin(-θ)=2sin 4θsin θ,故B不正确;sin 3θ-sin 5θ=2cos 4θsin(-θ)=-2cos 4θsin θ,故C不正确;cos 5θ+cos 3θ=2cos 4θcos θ,故D不正确.故选A.
(2)sin(α-β)sin(α+β)=-(cos 2α-cos 2β)=-(2cos2α-1-2cos2β+1)=cos2β-cos2α=-.故选B.
变式 (1)D (2) [解析] (1)方法一:cos 2α-cos 2β=-2sin(α+β)·sin(α-β)=-2×=-.故选D.
方法二:因为sin(α+β)sin(α-β)=,所以sin2αcos2β-cos2αsin2β=,即(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=,即cos2β-cos2α=,即-=,即cos 2α-cos 2β=-.
(2)由sin α+sin β=,得2sincos=.由cos α+cos β=,得2coscos=,所以tan=,所以tan(α+β)===.
拓展 解:(sin 20°-sin 40°)2+3sin 20°cos 50°=[sin(30°-10°)-sin(30°+10°)]2+3sin 20°cos 50°=3sin210°+sin 70°-=(1-cos 20°)+sin 70°-=-cos 20°+cos 20°-=.
探究点三
例3 证明:(1)左边=-==
×2coscos=
cos 2Acos 2B=右边,所以原等式成立.
(2)=====tan.
变式 证明:==
=.
【课堂评价】
1.A [解析] 由三角函数的定义得sin α=-,cos α=,所以2cos2+sin α=1+cos α+sin α=1+-=.故选A.
2.A [解析] ∵α∈,∴∈,∴sin ==.
3.A [解析] 原式=[sin 90°+sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]=-sin 50°-+cos 40°=.故选A.
4.D [解析] ∵cos α+cos β=,∴2coscos=,∵α-β=,∴=,∴cos=,∴cos=,∴cos(α+β)=2cos2-1=-.故选D.
5. - -4 [解析] 因为sin α=-,π<α<,所以cos α=-=-.因为π<α<,所以<<,所以sin >0,cos <0,tan <0,所以sin ==,cos =-=-,tan =-=-4.8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 三角函数式的化简与求值
【学习目标】
1.了解半角公式及其推导过程;
2.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换,推导出积化和差与和差化积公式;
3.灵活运用和、差、倍角公式,积化和差与和差化积公式进行相关计算及化简、证明.
◆ 知识点一 半角公式
sin= ,cos= ,
tan= = = .
【诊断分析】 半角公式中“±”号如何选取
◆ 知识点二 和差化积与积化和差公式(不要
求记忆)
1.积化和差公式
sin αcos β = ;
cos αsin β = ;
cos αcos β = ;
sin αsin β = .
2.和差化积公式
sin θ+sin φ= ;
sin θ-sin φ= ;
cos θ+cos φ= ;
cos θ-cos φ= .
【诊断分析】 不用查表,直接计算求值.
(1)sin 105°+sin 15°= ;
(2)sin 37.5°cos 7.5°= .
◆ 探究点一 利用半角公式化简与求值
例1 (1)[2024·湖南邵阳高一期末] 已知α为锐角,若sin α=,则cos2= ( )
A. B.
C. D.
(2)已知α∈,sin α=-,则tan = ( )
A.3 B.-3
C. D.-
变式 (1)[2024·广州执信中学高二月考] 已知A,B均为钝角,sin B=,且sin2+cos=,则A+B= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·广东佛山顺德区高一期中] 已知cos α=-,<α<π,则sin= .
[素养小结]
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常选用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常选用sin2=,cos2=.
◆ 探究点二 和差化积与积化和差公式的应用
例2 (1)下列四个等式中恒成立的是 ( )
A.sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ
B.cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ
C.sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ
D.cos 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ
(2)若cos2α-cos2β=,则sin(α-β)sin(α+β)= ( )
A. B.- C. D.-
变式 (1)若 sin(α+β)sin(α-β)=,则cos 2α-cos 2β= ( )
A. B.- C. D.-
(2)已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,那么tan(α+β)的值为 .
[素养小结]
积化和差、和差化积公式应用时的注意事项
(1)关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:
①运用公式之后,能否出现特殊角;
②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
拓展 计算 (sin 20° -sin 40° )2+3sin 20°cos 50° 的值.
◆ 探究点三 利用和差化积与积化和差公式证
明三角恒等式
例3 证明下列恒等式:
(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B;
(2)=tan.
变式 证明:=.
[素养小结]
利用积化和差或和差化积公式证明三角恒等式问题时,首先要观察等式两侧的角或函数名的差异和联系,其次要合理应用公式进行化简,注意与其他恒等变换公式的综合应用.
1.已知角α的终边经过点P,则2cos2+sin α= ( )
A. B.
C. D.
2.已知cos α=,α∈,则sin等于 ( )
A. B.-
C. D.
3.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值是 ( )
A. B.
C. D.
4.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)= ( )
A. B.-
C. D.-
5.已知sin α=-,π<α<,则sin = ,cos = ,tan = . 8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 三角函数式的化简与求值
1.D [解析] 2cossin=sin-sin=sin 4x-sin=sin 4x-.故选D.
2.D [解析] 由|cos α|=sin,得3cos2α=sin2=,即6cos2α+cos α-1=0,即(3cos α-1)(2cos α+1)=0,解得cos α=或cos α=-.因为α∈,所以cos α=,则sin α===,所以tan α===2.故选D.
3.C [解析] 由cos(α-β)=得cos αcos β+sin αsin β=,因为sin αsin β=-,所以cos αcos β=,所以cos2α-sin2β=-===cos(α+β)cos(α-β)
=(cos αcos β-sin αsin β)(cos αcos β+sin αsin β)=×=×=.故选C.
4.D [解析] 原式=4sin 40°-===
===.故选D.
5.A [解析] ====
==-.故选A.
6.B [解析] 因为cos2α-cos2β=-=(cos 2α-cos 2β)=-sin(α+β)sin(α-β)=-,所以sin(α+β)sin(α-β)=,又sin(α-β)=,所以sin(α+β)=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-=,故选B.
7.B [解析] 由半角公式得tan===,tan====,tan x==,所以tan===.故选B.
8.BC [解析] 因为sin α+sin β=(cos β-cos α),所以2sincos=,因为α,β∈(0,π),所以∈(0,π),∈,所以sin≠0,则tan=,所以=,故α-β=.故选BC.
9.AC [解析] 因为cos(α+β)=-,cos 2α=-,α,β为锐角,所以sin(α+β)==,sin 2α==,故A正确;因为sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=,故B错误;cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=×=,故C正确;sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]=×=,所以tan αtan β=,故D错误.故选AC.
10.- - [解析] ∵π<α<π,∴π<2α<3π,∴cos 2α<0,∴cos 2α=-=-.∵π<α<π,∴cos α<0,∴cos α=-=-.
11.- [解析] ∵α是第三象限角,∴kπ+<12. [解析] ∵cos θ=-,π<θ<,∴sin θ=-,∴sin2+sincos=+sin θ=+×=.
13.解:(1)sin 15°+sin 105°=2sin cos =2sin 60°cos(-45°)=2××=.
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°=2sin 30°cos 10°-cos 10°=cos 10°-cos 10°=0.
14.解:(1)因为sin=-cos α=,所以cos α=-,
因为α∈,所以sin α=-=-=-,
则sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,
所以sin=sin 2α+cos 2α=×+×=.
(2)方法一:因为α∈,所以∈,则sin>0,cos<0,
所以sin==,cos=-=-,
则tan===-2.
方法二:tan=====-2.
方法三:tan α====,解得tan=或tan=-2,
因为α∈,所以∈,
则tan<0,故tan=-2.
15.B [解析] 因为∠COB=θ,所以∠CAH=,又tan∠CAH=tan=,sin θ=,cos θ=,AH=AO+OH=CO+OH,所以tan====.故选B.
16.证明:∵A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B),则=90°-,
故sin A+sin B+sin C=2sincos+sin(A+B)=2sincos+2sincos=
2sin=2sin×
2coscos=2sin×2coscos=4coscoscos.8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 三角函数式的化简与求值
一、选择题
1.2cossin= ( )
A.+cos 4x B.-sin 4x
C.+cos 4x D.-+sin 4x
2.[2024·四川攀枝花高一期末] 若α∈,|cos α|=sin,则tan α= ( )
A.- B.
C.-2 D.2
3.[2024·浙江金华十校高一期末] 已知cos(α-β)=,sin αsin β=-,则cos2α-sin2β= ( )
A. B.
C. D.
4.4sin 40°-tan 40°= ( )
A. B.
C. D.
5.已知tan α=2,则= ( )
A.- B.
C.- D.
6.已知cos2α-cos2β=-,sin(α-β)=,则cos(2α+2β)= ( )
A.- B.
C.- D.
7.[2023·山东烟台高一期中] 设sin 2x=a,cos 2x=b,0A.- B.
C. D.
8.(多选题)[2023·石家庄二十一中高一期中] 若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α,β∈(0,π),则下列结论中正确的是 ( )
A.α-β=- B.α-β=
C.tan= D.tan=-
9.(多选题) 已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,则以下判断中正确的是 ( )
A.sin 2α= B.cos(α-β)=
C.cos αcos β= D.tan αtan β=
二、填空题
10.已知sin 2α=,α∈,则cos 2α= ,cos α= .
11.若cos α=-,α是第三象限角,则= .
12.[2024·广东茂名信宜中学高一期中] 已知cos θ=-,π<θ<,则sin2+sincos= .
三、解答题
13.利用和差化积公式,求下列各式的值:
(1)sin 15°+sin 105°;
(2)sin 20°+sin 40°-sin 80°.
14.[2024·河北保定高一期中] 已知sin=,α∈.
(1)求sin的值;
(2)求tan的值.
15.[2023·江西南昌十九中高一月考] 数学里有一种证明方法被称为无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由tan∠CAH=可以直接证明的三角函数公式是 ( )
A.tan= B.tan=
C.tan= D.tan=
16.已知A+B+C=180°,求证:sin A+sin B+sin C=4coscoscos.