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8.2 三角恒等变换
8.2.4 三角恒等变换的应用
第2课时 三角恒等变换公式的应用
探究点一 三角函数性质问题中的恒等变换公式的应用
探究点二 向量问题中的恒等变换公式的应用
探究点三 化简求值问题中的恒等变换公式的应用
探究点四 证明问题中的恒等变换公式的应用
探究点五 判断三角形形状问题中的恒等变换公式的应用
知识点 三角恒等变换
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 变换 公式 正弦
余弦
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 变换 公式 正切
半角 公式
续表
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 变换 公式 引入 辅助 角
续表
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 变换 公式 积化 和差
续表
和差角公式 倍角公式
三角 恒等 变换 公式 和差 化积
续表
探究点一 三角函数性质问题中的恒等变换公式的应用
例1 [2024·上海建平中学高二期中] 已知
，其中 为实常数．
（1）求函数 的最小正周期；
解：由已知得 ，
故函数的最小正周期为 ．
（2）若函数的图象经过点，求该函数在区间 上的最
大值，并求取得最大值时 的值．
解：因为，所以 ，
则 ．
令，因为，所以 ，
所以当，即时， ．
故函数在区间上的最大值为1，此时 .
变式 已知函数 ，
，且 的最大值为1.
（1）求的值，并求 的单调递增区间；
解： ,
则，所以 .
由 ， ，
得 ， ，
所以的单调递增区间为， .
（2）在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，且，试判断 的形状.
解：由得， ，
则，因为 ，所以 ，
所以，所以 ，
又，所以 ，
化简得，则 .
因为，所以，所以，所以 ，
所以，故 为直角三角形.
［素养小结］
应用恒等变换解决三角函数性质的一般思路是：（1）把非特殊角转
化为特殊角的和或差；（2）转化过程中，充分利用诱导公式，构造
两角和或差的正弦公式（或余弦公式）的结构形式.
探究点二 向量问题中的恒等变换公式的应用
例2 已知向量，，， ，
，则 的最大值为( )
A.2 B. C. D.1
[解析] 由题意得 ，
，
因为 ，所以当，即时,取得最大值，且最大值为 ，故选B.
√
变式 （多选题）已知向量 ，
,则下列结论正确的有( )
A.若，则
B.存在 ,使得
C.若在上的投影的数量为，则与的夹角为
D.的最大值为
√
√
√
[解析] 对于A，由，解得 ,
由，可得，又 ，所以
，故A正确；
对于B，假设存在 ,使得，则与方向相反，
令， ，可得则，
由正切函数的图象及, 可知，在内
有解，故B正确；
对于C，由在 上的投影的数量为，
可得 ，
设与的夹角为 ，则 ，
又 ，所以或 ，故C错误；
对于D，,其中 ，
又 ，所以的最大值为，故D正确.故选 .
［素养小结］
恒等变换公式在向量问题中的应用主要就是依据向量数量积的坐标
运算得到三角函数式，应用恒等变换公式将三角函数式转化为
(或 的形式，进而求解.
探究点三 化简求值问题中的恒等变换公式的应用
例3 已知， .求：
（1） 的值；
解： .
（2） 的值；
解：，，，且 ，
由可得 ，
， .
（3） 的值.
解：原式 .
变式 [2024·上海格致中学高一月考] 已知其中 ,
为常数，且 ．
（1）求 ；
解：由得
两式相加得 ，
则，即 .
（2）若，，求 ；
解：由（1）知，当，时， .
，
，
， ，
，
.
（3）分别求， ．
解：由（2）知
当时，由可得， ，
则， ；
当时，由可得， ，
则， ；
当且时， ，
，
.
验证可知，当或时， 与
都成立.
综上所述，， .
［素养小结］
恒等变换公式在化简求值问题中的应用主要是利用两角和与差公式、
半角公式、倍角公式、积化和差公式、和差化积公式将表达式进行
化简，解题时要结合角与角之间的关系选择合适的公式化简计算.
探究点四 证明问题中的恒等变换公式的应用
例4 求证： .
证明:
，得证.
变式 求证：
（1） ；
证明：左边
右边，得证.
（2） .
解： ，得证.
［素养小结］
恒等变换公式在证明问题中的应用实质是消除等式两边的差异，有
目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循
化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左
右归一、变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆
角法、“1”的代换法、公式的变形法等，体现了逻辑推理和数学运算
的核心素养．
探究点五 判断三角形形状问题中的恒等变换公式的应用
例5 [2023·浙江金华一中高一月考]已知的内角,, 所对的边
分别为,,，且，则 是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
[解析] 依题意得，.
在 中，，即，因此 ，
又，所以，即，
所以 是直角三角形.故选A.
√
变式 在中，若 ，则 是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.无法判断 D.直角三角形
[解析] 由已知得
， ，
，又 ，， ，
是等腰三角形.故选B.
√
［素养小结］
应用恒等变换公式判断三角形的形状主要是应用诱导公式，两角和
与差的正弦、余弦、正切公式等，将题中的条件都转化为角的关系，
进而判断三角形的形状.
1.已知，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以 .故选B.
√
2.[2024·贵州贵阳一中高一月考]已知 ,
，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由, 得
，
，
两式相除可得 ，
所以 .故选A.
√
3.[2023·四川攀枝花七中月考]已知顶角为 的等腰三角形为“最美
三角形”，“最美三角形”的顶角的余弦值为 ，则“最美三角形”
底角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 ，易知“最美三角形”的底角为 ，
则 ．故选B.
√
4.[2024·湖北武汉高一期中]函数 的最
大值为( )
A. B.2 C. D.
[解析] 设，则 .
由 ，
得，故，
当 时，取得最大值 .故选A.
√
5.在中,若,则 ____.
[解析] 在中, ,
.
在具体实施三角恒等变换时,除了要注意运用一般的数学思想方法
（如换元思想、方程思想、化归思想等）来分析解决问题外,还要注
意下列基本的三角恒等变换思想方法的灵活运用.
1.常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数,代
换后能运用相关公式使化简得以顺利进行.我们把这种代换称为常值
代换.如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换.
2.切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切时,利用同角三角函数的
基本关系式 将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思
想方法,切化弦的好处是减少了三角函数名称的种类.
3.降幂与升幂
将变形后得到公式:, ,
运用它就是降幂.
反过来,直接运用倍角公式或变形公式就是升幂,如
, .
4.公式的逆用和变形用
灵活逆用和变形用公式可以丰富三角恒等变换的方法.例如: 可变
形为 ;
，其中
实为(或 的逆用.
1.三角函数式的化简
解决三角函数问题时,要注意“三看”.
（1）看角,把角尽量向特殊角或可计算三角函数值的角转化.
（2）看名称,把等式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的
切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切.
（3）看式子,看式子是否满足三角函数的公式，如果满足,那么直接
使用;如果不满足,那么转化一下角或转换一下名称再使用.
例1 化简:
.
解：原式
.
2.三角函数综合题
此类题目的最终目的是求函数的最大（小）值、单调区间、周期等,
所以要利用公式把函数形式变得有利于求这些性质.在进行三角变换
的过程中,往往会用到和、差角的特殊形式,因此对于一些常见辅助角
的变换要熟悉,如 .
例2 [2024·湖北宜昌高一期中] 已知函数
的最大值为 .
（1）求常数的值，并求函数取最大值时相应 的集合；
解： .
当时，函数取到最大值 ，
所以，得 .
令，，解得， ，
所以当函数取最大值时的集合为 .
（2）求函数 的单调递增区间和其图象的对称中心.
解：由（1）得 .
令， ，
得， ，
所以函数的单调递增区间为， .
令 ，，得， ，
所以函数的图象的对称中心为， .第2课时 三角恒等变换公式的应用
【课前预习】
知识点
sin αcos β±cos αsin β 2sin αcos α cos αcos β sin αsin β
cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α
± ± ±
sin(α+φ)
[cos(x+y)+cos(x-y)]
-[cos(x+y)-cos(x-y)]
[sin(x+y)+sin(x-y)] [sin(x+y)-sin(x-y)]
2coscos -2sinsin
2sincos 2cossin
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由已知得f(x)=-cos 2x+sin 2x+λ=2sin+λ,故函数f(x)的最小正周期为π.
(2)因为f=1+λ=0,所以λ=-1,则f(x)=2sin-1.
令2x-=t,因为x∈,所以t∈,
所以当2x-=,即x=时,f(x)max=1.
故函数f(x)在区间上的最大值为1,此时x=.
变式 解:(1)f(x)=sin 2xcos+cos 2xsin+sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x-m=sin 2x+cos 2x-m=2sin-m,则f(x)max=2-m=1,所以m=1.
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由f(B)=-1得,2sin-1=-1,
则sin=,因为0
又sin A=sin B+sin C,所以sin A=+sin,
化简得sin A-cos A=,则sin=.
因为0探究点二
例2 B [解析] 由题意得0<α<,a·b=sin α+sin β=sin α+sin=sin α+cos α+sin α=sin α+cos α=sin,因为<α+<,所以当α+=,即α=时,a·b取得最大值,且最大值为,故选B.
变式 ABD [解析] 对于A,由a·b=cos β+sin β=0,解得tan β=-,由=1+tan2β=,可得cos2β=,又0≤β≤2π,所以cos β=±,故A正确;对于B,假设存在β,使得|a+b|=|a|-|b|,则a与b方向相反,令a=tb,t<0,可得则tan β=,由正切函数的图象及cos β<0,sin β<0可知,tan β=在内有解,故B正确;对于C,由b在a上的投影的数量为==,可得|cos β+sin β|=,设a与b的夹角为θ,则cos θ===±,又0≤θ≤π,所以θ=或θ=,故C错误;对于D,a·b=cos β+sin β=sin(β+φ),其中tan φ=,又0≤β≤2π,所以a·b的最大值为,故D正确.故选ABD.
探究点三
例3 解:(1)tan===7.
(2)∵α∈,∴cos α<0,sin α>0,且∈,
∴cos>0.由可得cos α=-,
∴cos2===,∴cos=.
(3)原式==tan α-=--=-.
变式 解:(1)由得
两式相加得2+2cos αcos β+2sin αsin β=a2+b2,
则cos αcos β+sin αsin β=-1,即cos(α-β)=-1.
(2)由(1)知,当b=1,a=0时,cos(α-β)=-1=-.
∵sin α+sin β=sin+sin=sincos+cossin+sincos-cossin=2sincos,
cos α+cos β=cos+cos=coscos-sinsin+coscos+sinsin=2coscos,
∴∴cos≠0,cos=0,
∴cos(α+β)=2cos2-1=-1,
∴cos(α+β)cos(α-β)=(-1)×=.
(3)由(2)知
当a=0时,由a2+b2≠0可得b≠0,∴cos=0,则cos(α+β)=-1,∴sin(α+β)=0;
当b=0时,由a2+b2≠0可得a≠0,∴sin=0,则cos(α+β)=1-2sin2=1,∴sin(α+β)=0;
当a≠0且b≠0时,tan=,
∴cos(α+β)====,
sin(α+β)====.
验证可知,当a=0或b=0时,cos(α+β)=与sin(α+β)=都成立.
综上所述,cos(α+β)=,sin(α+β)=.
探究点四
例4 证明:====
,得证.
变式 证明:(1)左边==
===右边,得证.
(2)-2sin α+cos2αsin α=(sin α-2sin αcos2α+cos4αsin α)=(1-2cos2α+cos4α)===,得证.
探究点五
例5 A [解析] 依题意得,2sincos=2coscos.在△ABC中,-<<,即cos>0,因此tan=1,又0<<,所以=,即A+B=,所以△ABC是直角三角形.故选A.
变式 B [解析] 由已知得[cos(A-B)-cos(A+B)]=sin Asin B=cos2=(1+cos C).∵A+B=π-C,∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,∴cos(A-B)=1,又-π【课堂评价】
1.B [解析] 因为sin=,所以sin 2α=cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选B.
2.A [解析] 由α=+,β=-得cos α-cos β=-2sinsin=,sin α-sin β=2cossin=-,两式相除可得tan=,所以tan(α+β)=tan==-4.故选A.
3.B [解析] 由题意得 cos 36°= ,易知“最美三角形”的底角为 72°,则 cos 72°=2cos236°-1=2×-1= .故选B.
4.A [解析] 设t=sin x-cos x,则t=sin∈[-,].由t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x=1-2sin xcos x,得2sin xcos x=1-t2,故y=t+1-t2=-+,当t=时,y取得最大值.故选A.
5.- [解析] 在△ABC中,=-,∴sin2+cos 2A=sin2+cos 2A=cos2+cos 2A=+2cos2A-1=+2×-1=+-1=-.第2课时 三角恒等变换公式的应用
◆ 知识点 三角恒等变换
三 角 恒 等 变 换 公 式 和差角公式 倍角公式
正弦 sin(α±β)= sin 2α=
余弦 cos(α±β)= cos 2α= = =
正切 tan(α±β)= tan 2α=
半角 公式 sin= ;cos= ;tan= = =
引入 辅助 角 asin α+bcos α= = . 特别地:sin A+cos A=sin;sin x+cos x=2sin;sin x+cos x=2sin
积化 和差 cos xcos y= ; sin xsin y= ; sin xcos y= ; cos xsin y=
和差 化积 cos x+cos y= ; cos x-cos y= ; sin x+sin y= ; sin x-sin y=
◆ 探究点一 三角函数性质问题中的恒等变换公式的应用
例1 [2024·上海建平中学高二期中] 已知f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x+λ(x∈R),其中λ为实常数.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数f(x)的图象经过点,求该函数在区间上的最大值,并求取得最大值时x的值.
变式 已知函数f(x)=sin+sin+cos 2x-m,x∈R,且f(x)的最大值为1.
(1)求m的值,并求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B)=-1,且sin A=sin B+sin C,试判断△ABC的形状.
[素养小结]
应用恒等变换解决三角函数性质的一般思路是:(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差;(2)转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的正弦公式(或余弦公式)的结构形式.
◆ 探究点二 向量问题中的恒等变换公式的应用
例2 已知向量a=(sin α,1),b=(1,sin β),α>0,β>0,α+β=,则a·b的最大值为 ( )
A.2 B.
C. D.1
变式 (多选题)已知向量a=(1,),b=(cos β,sin β)(0≤β≤2π),则下列结论正确的有 ( )
A.若a⊥b,则cos β=±
B.存在β,使得|a+b|=|a|-|b|
C.若b在a上的投影的数量为,则a与b的夹角为
D.a·b的最大值为
[素养小结]
恒等变换公式在向量问题中的应用主要就是依据向量数量积的坐标运算得到三角函数式,应用恒等变换公式将三角函数式转化为y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B)的形式,进而求解.
◆ 探究点三 化简求值问题中的恒等变换公式的应用
例3 已知tan α=-,α∈.求:
(1)tan的值;
(2)cos的值;
(3)的值.
变式 [2024·上海格致中学高一月考] 已知其中a,b为常数,且a2+b2≠0.
(1)求cos(α-β);
(2)若b=1,a=0,求cos(α+β)cos(α-β);
(3)分别求sin(α+β),cos(α+β).
[素养小结]
恒等变换公式在化简求值问题中的应用主要是利用两角和与差公式、半角公式、倍角公式、积化和差公式、和差化积公式将表达式进行化简,解题时要结合角与角之间的关系选择合适的公式化简计算.
◆ 探究点四 证明问题中的恒等变换公式的应用
例4 求证:=.
变式 求证:(1)=;
(2)-2sin α+cos2αsin α=.
[素养小结]
恒等变换公式在证明问题中的应用实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式的变形法等,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.
◆ 探究点五 判断三角形形状问题中的恒等变换公式的应用
例5 [2023·浙江金华一中高一月考] 已知 △ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且sin A+sin B=cos A+cos B,则△ABC是 ( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
变式 在 △ABC 中,若 sin Asin B=cos2,则 △ABC 是 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.无法判断 D.直角三角形
[素养小结]
应用恒等变换公式判断三角形的形状主要是应用诱导公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式等,将题中的条件都转化为角的关系,进而判断三角形的形状.
1.已知sin=,则sin 2α= ( )
A. B. C. D.
2.[2024·贵州贵阳一中高一月考] 已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α+β)的值为 ( )
A.-4 B.4
C.-2 D.2
3.[2023·四川攀枝花七中月考] 已知顶角为 36° 的等腰三角形为“最美三角形”,“最美三角形”的顶角的余弦值为 ,则“最美三角形”底角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2024·湖北武汉高一期中] 函数y=sin x-cos x+2sin xcos x的最大值为 ( )
A. B.2
C. D.1+
5.在△ABC中,若cos A=,则sin2+cos 2A= . 第2课时 三角恒等变换公式的应用
1.A [解析] cos 14°cos 16°-cos 76°sin 16°=cos 14°cos 16°-cos(90°-14°)sin 16°=cos 14°cos 16°-sin 14°sin 16°=cos 30°=.故选A.
2.B [解析] 由题意可得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=.故选B.
3.D [解析] tan α+=+====6.故选D.
4.D [解析] f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx=cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx,当x∈(0,2π)时,3ωx∈(0,6ωπ),若f(x)在(0,2π)上有最小值没有最大值,则π<6ωπ≤2π,所以<ω≤.故选D.
5.A [解析] 因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C+cos Asin C=2cos Asin C,即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,又A-C∈(-π,π),所以A-C=0,即A=C.故选A.
6.D [解析] 方法一:因为sin(α+β)sin(α-β)=,所以sin2αcos2β-cos2αsin2β=,即(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=,即cos2β-cos2α=,即-=,即cos 2α-cos 2β=-.
方法二:cos 2α-cos 2β=-2sin(α+β)·sin(α-β)=-2×=-.故选D.
7.B [解析] 因为sin A=cos B>0,所以B为锐角,又sin2A=cos2B,所以1-cos2A=1-sin2B,即cos2A=sin2B,所以=,即tan2A=,所以tan Atan B=±1.当tan Atan B=1时,cos Acos B-sin Asin B=0,即cos(A+B)=0,所以A+B=,不符合题意;当tan Atan B=-1时,tan(A+B)=,所以tan C=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-,所以3tan B+tan C=3tan B-=tan B-tan A=tan B+≥2=,当且仅当tan B=,即tan B=时,等号成立.故选B.
8.BD [解析] 由题意知f(x)=sin 2x-cos 2x-sin=sin 2x-cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.对于A,函数f(x)的最小正周期T==π,故A不正确.对于B,函数f(x)的最大值为,故B正确.对于C,当x∈时,2x-∈.当2x-∈,即x∈时,函数f(x)单调递减,当2x-∈,即x∈时,函数f(x)单调递增,故C不正确.对于D,将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位,得到g(x)=sin=sin=cos 2x的图象,故D正确.故选BD.
9.AD [解析] 对于A,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,因为α∈,β∈,所以cos(α-β)-cos(α+β)=2sin αsin β>0,所以cos(α+β)10. [解析] f(x)=-sin x=-sin xcos x+sin2x=-sin 2x+×=-sin 2x-cos 2x+=-+=-sin+.当x∈时,2x+∈,sin∈,故f(x)∈.
11.-1 [解析] tan 70°·cos 10°(tan 20°-1)=·cos 10°·=·cos 10°·=·cos 10°·2=·cos 10°·2(sin 20°×cos 30°-cos 20°×sin 30°)=·cos 10°·2sin(20°-30°)=-·2cos 10°·sin 10°=-·sin 20°=-1.
12. [解析] 由已知得f(x)=1+cos 2ωx,由=π,可得2ω=2,则f(x)=1+cos 2x.将函数y=f(x)的图象上的所有点向右平移个单位长度,得到y=1+cos 2=1+cos的图象,再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的,得到g(x)=1+cos的图象.因为x∈,所以4x-∈,所以cos∈,所以y=g(x)在上的取值范围为.
13.解:(1)f(x)=2asin xcos x+2cos2x+1=asin 2x+cos 2x+2,因为f=asin+cos+2=a-+2=0,所以a=-.
(2)由(1)可得f(x)=-sin 2x+cos 2x+2=2cos+2.
令2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(3)由x∈,可得≤2x+≤,则cos∈,即 2cos+2∈[0,3],
故当x∈时,函数f(x)的取值范围为[0,3].
14.解:(1)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]=
=
×cos 10°=
2(sin 50°cos 10°+cos 50°sin 10°)=2sin 60°=.
(2)证明:左边==
===右边,故原式成立.
(3)因为sinsin=,
所以2sincos=,
即sin=,所以cos 4α=.
2sin2α+tan α--1=-cos 2α+=-,
因为α∈,所以2α∈,所以cos 2α=-=-,tan 2α=-=-,所以-=-= ,故2sin2α+tan α--1=.
15.C [解析] 由sin αsin=sin αsin=sin αcos=3cos αsin,得tan α=3tan,则tan α=3×=,所以tan2α+2tan α+3=0,则tan α=-,所以cos 2α===-.
[点拨] 二倍角的正弦、余弦、正切均可以用单角的正切进行表示.
16.解:(1)f(x)=2cos x+cos(x+θ)=2cos x+cos xcos θ-sin xsin θ=-sin θsin x+(2+cos θ)cos x,所以函数f(x)的“和谐向量”为ω=(-sin θ,2+cos θ),
则|ω|==.
因为cos θ∈[-1,1],所以4cos θ+5∈[1,9],所以|ω|的取值范围为[1,3].
(2)设a=(2cos α,2sin α),b=(2cos β,2sin β),
则=λa+μb=(2(λcos α+μcos β),2(λsin α+μsin β)),
所以φ(x)=2(λcos α+μcos β)sin x+2(λsin α+μsin β)cos x=2λ(cos αsin x+sin αcos x)+2μ(cos βsin x+sin βcos x)=2λsin(x+α)+2μsin(x+β)≤2λ+2μ,
当且仅当k1,k2∈Z时取等号,
所以φ(x)的最大值S=2λ+2μ,所以=.第2课时 三角恒等变换公式的应用
一、选择题
1.[2024·北京一七一中高一期中] cos 14°cos 16°-cos 76°sin 16°的值是( )
A. B.
C.- D.-
2.[2024·广东河源高一期中] 已知cos αsin β=,sin αcos β=,则cos(2α+2β)= ( )
A. B.
C.- D.
3.已知sin 2α=,则tan α+的值为 ( )
A.- B.
C. -6 D.6
4.[2024·广西桂林高一期末] 已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0,2π)上有最小值没有最大值,则ω的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,若sin B=2cos Asin C,则此三角形为 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
6.若 sin(α+β)sin(α-β)=,则cos 2α-cos 2β= ( )
A. B.- C. D.-
7.[2024·江苏南京高一期末] 在钝角三角形ABC中,若sin A=cos B,则3tan B+tan C的最小值为 ( )
A. B.
C. D.4
8.(多选题)已知函数f(x)=sin-2sincos(x∈R),现给出下列四个说法,其中正确的说法是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为
C.函数f(x)在上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位,得到的图象对应的函数解析式为g(x)=cos 2x
9.(多选题)设α∈,β∈,则下列说法正确的是 ( )
A.cos(α+β)B.若sincos=-,则tan α=2
C.若tan α+tan β=,则2β-α=
D.若+=0,则α+β=
二、填空题
10.[2023·陕西铜川高一期中] 已知函数f(x)=coscos,x∈,则函数f(x)的值域为 .
11.[2023·石家庄二十一中高一期中] tan 70°·cos 10°(tan 20°-1)的值为 .
12.[2024·安徽六安高一期末] 已知函数f(x)=2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,将函数y=f(x)的图象上的所有点向右平移个单位长度,再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=g(x)的图象,则y=g(x)在上的取值范围为 .
三、解答题
13.[2024·湖南株洲高一期末] 已知是函数f(x)=2asin xcos x+2cos2x+1的一个零点.
(1)求实数a的值;
(2)求f(x)的单调递减区间;
(3)当x∈时,求函数f(x)的取值范围.
14.(1)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)];
(2)求证:=;
(3)已知sinsin=,α∈,求2sin2α+tan α--1的值.
★15.已知sin αsin=3cos αsin,则cos 2α= ( )
A.- B.
C.- D.
16.[2024·山东枣庄三中高一期中] 已知在平面直角坐标系中,O为坐标原点,定义函数f(x)=psin x+qcos x的“和谐向量”为非零向量ω=(p,q),非零向量ω=(p,q)的“和谐函数”为f(x)=psin x+qcos x.记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为T.
(1)已知θ∈R,f(x)=2cos x+cos(x+θ),若函数f(x)为集合T中的元素,求其“和谐向量”模的取值范围;
(2)已知|a|=|b|=2,设=λa+μb(λ>0,μ>0),且的“和谐函数”为φ(x),设φ(x)的最大值为S,求的值;