本章总结提升
【知识辨析】
1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.× 7.×
8.× 9.× 10.×
【素养提升】
题型一
例1 (1)2 (2) -1 (3)(3,-2) (-∞,-2)∪(-2,1)∪(3,+∞) [解析] (1)因为a=(0,2),b=(,1),所以2a-b=2(0,2)-(,1)=(-,3),所以|2a-b|==2,所以cos
===,又∈[0,π],所以=.
(2)方法一:因为=(+),所以点P为BC的中点,又正方形ABCD的边长为2,所以||===,·=||·||·cos∠BPD=1××(-cos∠CPD)=-×=-×=-1.
方法二:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,因为正方形ABCD的边长为2,所以D(0,2),B(2,0).因为=(+),所以点P为BC的中点,所以P(2,1),所以=(0,-1),=(-2,1),所以||==,·=0×(-2)+(-1)×1=-1.
(3)设C(x,y),则=(2,-4),=(x-2,y),因为=2,所以解得故C(3,-2).由∠APB是锐角可得·>0且,不共线,因为=(-3,4-t),=(-1,-t),所以(-3)×(-1)+(4-t)×(-t)>0且(-3)×(-t)≠(4-t)×(-1),解得t<-2或-23,故实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(-2,1)∪(3,+∞).
变式 (1)A (2)C (3)
[解析] (1)以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意知,A(1,),B(0,0),C(4,0),M(2,0),N,∴=,=(1,-),∴cos ∠NPM=cos<,>===-.故选A.
(2)由题知圆O是△ABC的外接圆,因为A=,所以∠BOC=,即OB⊥OC,所以·=0,所以·=(-)·=·-·=-·=-cos<,>,故当, 反向共线时· 最大,最大值为1.故选C.
(3)∵=λ,∴AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠B=120°,·=λ·=λ||·||cos 120°=λ×6×3×=-9λ=-,解得λ=.以点B为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.∵BC=6,∴C(6,0),∵AB=3,∠ABC=60°,∴A,又=,∴D.设M(x,0),则N(x+1,0)(其中0≤x≤5),=,=,
·=+=x2-4x+=(x-2)2+,∴当x=2时,·取得最小值.
题型二
例2 解:(1)因为0<α<,0<β<,所以-<α-β<,
所以sin α==,cos(α-β)==,
因为2α-β=α+(α-β),所以sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)=×+×=.
(2)因为β=α-(α-β),所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,
又因为0<β<,所以β=.
变式 (1)A (2)B (3)B [解析] (1)由 0<α<,得 <α+<,则 sin===,则tan==-,所以 tan=tan=-tan=.故选A.
(2)依题意有∴tan(α+β)===1.∵∴tan α<0且tan β<0,又α,β∈,∴-<α<0且-<β<0,∴-π<α+β<0,又tan(α+β)=1,∴α+β=-.故选B.
(3)∵sin 15°cos 15°cos α-sin α=sin 30°cos α-sin α=cos α-sin α==cos(α+60°)=,∴cos(α+60°)=,∴cos(2α+120°)=2cos2(α+60°)-1=2×-1=-.故选B.
题型三
例3 (1)A (2) [解析] (1)因为tan β=,所以tan 2β==,所以tan(α+2β)==1,又0(2)因为tan 2θ=-4tan,所以==,显然1-tan θ≠0,则=-2(tan θ+1),整理得2tan2θ+5tan θ+2=0,解得tan θ=-2或tan θ=-,又因为θ∈,所以tan θ∈(-1,0),所以tan θ=-,所以===(tan θ+1)=.
变式 解:(1)-=-===tan 2θ.
(2)证明:cos2(A+B)-sin2(A-B)=-=[cos(2A+2B)+cos(2A-2B)]=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B.
题型四
例4 解:(1)f(x)=4sin ωxsin=4sin ωx=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx=(1-cos 2ωx)+sin 2ωx=2sin+,因为函数f(x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π,所以函数f(x)的最小正周期T=2π,所以T==2π,解得ω=,所以f(x)=2sin+.当x∈[0,π]时,-≤x-≤,所以-≤sin≤1,所以0≤2sin+≤2+,所以函数f(x)的取值范围为[0,2+].
(2)由(1)得f(x)=2sin+,所以g(x)=2sin+.
由|g(x)-|=,得g(x)=2或g(x)=0,即2sin+=2或2sin+=0,
所以sin=或sin=-.
因为-≤x≤m,所以0≤2x+≤2m+,
又关于x的方程|g(x)-|=在区间上有且仅有四个不同的实数根,所以≤2m+<,解得≤m<π,故实数m的取值范围为.
例5 解:(1)由题意可得f(x)=a·b-=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin,所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由f(x)>0可得sin>0,令2kπ<2x+<2kπ+π,k∈Z,解得kπ-0的解集为.
(3)由题意可得f=sin=sin=cos=1-2sin2.由mf(x)+f≤2可得msin+1-2sin2≤2,即msin≤1+2sin2对任意x∈成立.因为x∈,所以2x+∈(0,π),则sin∈(0,1].
令t=sin,t∈(0,1],所以mt≤1+2t2对任意t∈(0,1]恒成立,即m≤+2t对任意t∈(0,1]成立,
又+2t≥2=2,当且仅当t=时,等号成立,所以m≤2,故实数m的取值范围为(-∞,2].
变式 解:(1)f(x)=2sin cos+m=sin2+sin cos +m=(1-cos ωx)+sin ωx+m=sin++m.
因为f(x)的最小正周期为π,所以=π,则ω=2.
由f(0)=2可得,f(0)=sin++m=2,则m=2,
则f(x)=sin++2,故f=sin++2=.
(2)由(1)得f(x)=sin++2,当x∈[0,a]时,2x-∈,因为f(x)在[0,a]上单调递增,所以2a-≤,解得a≤,故实数a的最大值为.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.若cos α-sin α=,则sin 2α=-. ( )
2.已知向量a=(1,2),b=(2,λ-2),若a⊥b,则λ=1. ( )
3.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上单调递减,则a的最大值是. ( )
4.设向量a=,b=,若a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围是. ( )
5.存在实数α,使tan 2α=2tan α. ( )
6.在四边形ABCD中,若=且·=0,则四边形ABCD为矩形. ( )
7.y=3sin x+4cos x的最大值是7. ( )
8.若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角. ( )
9.若<θ<3π,且|cos θ|=,则sin =. ( )
10.公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关. ( )
◆ 题型一 向量的数量积运算
[类型总述] (1)平面向量数量积的运算;(2)用数量积求向量的模、夹角.
例1 (1)设向量a=(0,2),b=(,1),则|2a-b|= ,= .
(2)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||= ;·= .
(3)已知A(0,4),B(2,0),如果=2,那么点C的坐标为 ;设P(3,t),且∠APB是锐角,则实数t的取值范围是 .
变式 (1)如图,在△ABC中,已知AB=2,BC=4,∠ABC=60°,=,4=,线段AM和BN交于点P,则∠NPM的余弦值为 ( )
A.- B.
C.- D.
(2)[2023·广州高一期末] 已知△ABC是单位圆O的内接三角形,若 A=,则 · 的最大值为 ( )
A. B.
C.1 D.
(3)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为 ;若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为 .
◆ 题型二 三角函数求值
[类型总述] (1)给角求值;(2)给值求值;(3)给值求角.
例2 已知锐角α,β满足cos α=,sin(α-β)=.
(1)求sin(2α-β)的值;
(2)求β的值.
变式 (1)[2023·陕西商洛山阳中学高一期中] 已知0<α<,cos=-,则 tan= ( )
A. B. -
C. D. -
(2)已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)的两根分别为tan α,tan β,且α,β∈,则α+β等于 ( )
A. B.-
C.或- D.或-
(3)已知sin 15°cos 15°cos α-sin α=,则cos(2α+120°)= ( )
A. B.-
C. D.-
◆ 题型三 三角函数式的化简
[类型总述] (1)弦切互化;(2)利用二倍角公式升幂或降幂.
例3 (1)设α∈,β∈,且tan α=,tan β=,则α+2β= ( )
A. B.
C. D.
(2)[2024·四川绵阳中学高一期末] 已知θ∈,tan 2θ=-4tan,则= .
变式 (1)化简:-;
(2)求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.
◆ 题型四 三角函数的综合应用
[类型总述] (1)三角函数性质的综合应用;(2)三角恒等变换的应用.
例4 已知函数f(x)=4sin ωxsin(ω>0)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π.
(1)若x∈[0,π],求函数f(x)的取值范围;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再把横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程|g(x)-|=在区间上有且仅有四个不同的实数根,求实数m的取值范围.
例5 [2024·江苏连云港高一期中] 已知向量a=(sin x,cos x),b=(cos x,cos x),设函数f(x)=a·b-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求不等式f(x)>0的解集;
(3)若对任意x∈,都有mf(x)+f≤2成立,求实数m的取值范围.
变式 已知函数f(x)=2sin cos+m(ω>0),f(x)的最小正周期为π,f(0)=2.
(1)求f的值;
(2)若函数f(x)在区间[0,a]上单调递增,求实数a的最大值.(共35张PPT)
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◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.若，则 .( )
√
2.已知向量,，若，则 .( )
√
3.若在上单调递减，则的最大值是 .( )
√
4.设向量，，若与的夹角为锐角，则实数 的
取值范围是 .( )
×
5.存在实数 ,使 .( )
√
6.在四边形中,若且,则四边形 为矩形.
( )
×
7. 的最大值是7.( )
×
8.若,则和的夹角为锐角;若,则和 的夹角为钝角.
( )
×
9.若 ,且,则 .( )
×
10.公式中 的取值与, 的值
无关.( )
×
题型一 向量的数量积运算
［类型总述］（1）平面向量数量积的运算;（2）用数量积求向量的
模、夹角.
例1（1） 设向量，，则_____，
, __.
[解析] 因为， ，
所以 ，
所以，所以,，
又 ,，所以, .
（2）已知正方形的边长为2,点满足 ,则
____; ____.
[解析] 方法一：因为，所以点为 的中点，
又正方形 的边长为2，
所以， ．
方法二：以为坐标原点，所在直线为 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方形的边长为2，所以, ．
因为，所以点为 的中点，
，所以, ，
所以， ．
（3）已知，，如果，那么点 的坐标为
_________；设，且是锐角，则实数 的取值范围是
____________________________.
[解析] 设，则,，
因为 ，所以解得故.
由 是锐角可得且,不共线，
因为, ，
所以(-3)且(-3) ，
解得或或，
故实数 的取值范围为 .
变式（1） 如图，在中，已知， ，
,，，线段和交于点 ，则
的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知，，，，， ，
，，
, .故选A.
（2）[2023·广州高一期末]已知是单位圆 的内接三角形，若
，则 的最大值为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 由题知圆是 的外接圆，
因为，所以，即 ，所以 ，
, ，
故当, 反向共线时 最大，最大值为1.故选C.
√
（3）如图，在四边形中， ,, ,且
,，则实数 的值为___；若，是线段
上的动点，且，则 的最小值为___.
[解析] ， ，
，
，解得.
以点为坐标原点，的方向为 轴正方向，建立如图所示的平面直角
坐标系.， ，， ， ，
又，.
(其中 ，
， ，
，
当 时，取得最小值 .
题型二 三角函数求值
［类型总述］（1）给角求值;（2）给值求值;（3）给值求角.
例2 已知锐角 ， 满足， ．
（1）求 的值；
解：因为，，所以 ，
所以， ，
因为 ，所以 .
（2）求 的值．
解：因为 ，
所以 ，
又因为，所以 .
变式（1） [2023·陕西商洛山阳中学高一期中]已知 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
则 ，
则 ，
所以 .故选A.
√
（2）已知方程的两根分别为 ,
,且 ,,则 等于( )
A. B. C.或 D.或
[解析] 依题意有
且，
又 ， ,且,，又 , .故选B.
√
（3）已知，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，
．故选B.
√
题型三 三角函数式的化简
［类型总述］（1）弦切互化;（2）利用二倍角公式升幂或降幂.
例3（1） 设,，且, ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以 ，
所以，
又, ，，,
所以， ，所以，
所以 .故选A.
（2）[2024·四川绵阳中学高一期末] 已知 ，
，则 __.
[解析] 因为 ，所以，
显然 ，则，整理得 ，
解得或，
又因为，所以 ，所以 ，
所以 .
变式（1） 化简： ；
解： .
（2）求证：
证明：
.
题型四 三角函数的综合应用
［类型总述］（1）三角函数性质的综合应用;（2）三角恒等变换的
应用.
例4 已知函数 的图象的相邻两个
对称中心之间的距离为 .
（1）若，求函数 的取值范围；
解：
，
因为函数 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ，所以函数的最小正周期 ，所以 ，解得，
所以.
当 时，，所以 ，
所以，
所以函数 的取值范围为 .
（2）将函数的图象向左平移 个单位，再把横坐标缩短为原来
的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于 的方程
在区间 上有且仅有四个不同的实数根，求
实数 的取值范围.
解：由（1）得 ，
所以 .
由，得或 ，
即或 ，
所以或 .
因为，所以 ，
又关于的方程在区间 上有且仅有四个不同
的实数根，所以，解得 ，
故实数 的取值范围为 .
例5 [2024·江苏连云港高一期中] 已知向量 ，
，设函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
解：由题意可得
，
所以函数的最小正周期 .
（2）求不等式 的解集；
解：由可得 ，
令, ，解得, ，
所以不等式的解集为 .
（3）若对任意，都有 成立，求
实数 的取值范围．
解：由题意可得.
由 可得 ，即对任意 成立.
因为，所以，则 .
令,，所以对任意
恒成立，即对任意 成立，
又，当且仅当 时，等号成立，
所以，故实数的取值范围为 .
变式 已知函数， 的最
小正周期为 ， .
（1）求 的值；
解： .
因为的最小正周期为 ，所以 ，则 .
由可得，，则 ，
则，故 .
（2）若函数在区间上单调递增，求实数 的最大值.
解：由（1）得，
当 时,，
因为在 上单调递增，所以，解得，
故实数的最大值为 .