滚动习题(五)
1.C [解析] 当a,b,c两两的夹角均为0°时,显然|a+b+c|=5;当a,b,c两两的夹角均为120°时,|a+b+c|==2.故选C.
2.D [解析] 因为a=(1,1),所以|a|=,所以a·b=|a||b|cos 45°=2,所以|3a+b|==
=,故选D.
3.C [解析] ∵=(4,-3),=(2,-4),∴=-=(-2,-1),∴·=(2,1)·(-2,4)=0,∴C=90°,又||=,||=2,∴△ABC是直角三角形.故选C.
4.A [解析] 因为|a|=|b|=2,且a与b的夹角为120°,所以a·(a+b)=a2+a·b=22+2×2×=2,|a+b|=====2,所以a在a+b上的投影的数量为==1,故选A.
5.D [解析] 取线段AC的中点O,连接OB,则OB⊥AC.以点O为原点,OA,OB所在的直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(2,0),D(1,).设点E(x,0),-2≤x≤2,则=(2-x,0),=(1-x,),所以·=(2-x)(1-x)=x2-3x+2=-.因为函数f(x)=-(-2≤x≤2)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)min=f=-,又因为f(-2)=12,f(2)=0,所以f(x)max=12,故·的取值范围是.故选D.
6.D [解析] 因为点A(0,1),B(-1,),所以=(0,1),=(-1,),所以||==1,||==2,则cos<,>===,因为<,>∈[0,π],所以<,>=,所以|×|=||·||sin<,>=1×2×sin=1.故选D.
7.BC [解析] 对于A,若a∥b,则3(3-t)-(t-1)=0,解得t=,故A错误;对于B,若a⊥b,则a·b=(t-1,3-t)·(3,1)=3(t-1)+3-t=2t=0,解得t=0,故B正确;对于C,由B选项知与b垂直的一个向量为m=(-1,3),|m|=,所以与b垂直的单位向量的坐标为±=±,故C正确;对于D,因为向量a与向量b的夹角为锐角,所以a·b>0且a,b不共线,由a·b=2t>0,得t>0,由A选项可知当a∥b时t=,所以t的取值范围为∪,故D错误.故选BC.
8.BD [解析] 对于B,延长AB,DC交于点M,如图①所示,因为正八边形的内角为,所以∠CBM=∠BCM=,则∠CMB=,因此BM=CM=,所以·=·(+)=·+·=4+2,故B正确;对于A,由图①可知=+,AM⊥MD,因此在上的投影即为=,故A错误;对于C,==+=8+4,·=-2,所以函数f(x)=|+x|=
=,当x=时,f(x)取得最小值,f==2+,故C错误;对于D,过点P作直线AB的垂线,垂足为N,如图②所示,则·=·(+)=·,易知当点N在DC的延长线上时,·取得最大值4+2,当点N在GH的延长线上时,·取得最小值-2,所以·∈[-2,4+2],故D正确.故选BD.
9.既不充分也不必要 [解析] 由|a+b|=|a-b|,可得|a+b|2=|a-b|2,则a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.当a,b同向,且|a|=|b|≠0时,a·b=|a||b|=|a|2>0;当a⊥b时,a·b=|a||b|cos
=0,a,b的模不一定相等.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
10. [解析] 因为对任意t∈R,|a-tb|≥|a-b|恒成立,所以|a-tb|2≥|a-b|2,即a2-2ta·b+t2b2≥a2-2a·b+b2,所以b2t2-2a·bt+2a·b-b2≥0,所以Δ=4(a·b)2-4b2·(2a·b-b2)≤0.设a,b的夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以Δ=4(3b2cos θ)2-4b2·(6b2cos θ-b2)≤0,即9cos2θ-6cos θ+1=(3cos θ-1)2≤0,所以cos θ=.
11.[-8,24] [解析] 如图,作CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分别为D,F,且CD与左半圆相切,切点为C,EF与右半圆相切,切点为E.·=||·||cos<,>,其中||cos<,>为在上的投影的数量.因为AB=4,所以AD=BF=2,当P与E重合时,||cos<,>取得最大值,最大值为4+2=6,此时·取得最大值,最大值为4×6=24;当P与C重合时,||cos<,>取得最小值,最小值为-2,此时·取得最小值,最小值为4×(-2)=-8.故·的取值范围是[-8,24].
12.解:(1)x=2,则b=(1,2),因为λb=(λ,2λ),μc=(4μ,μ),所以λb+μc=(λ+4μ,2λ+μ).
因为a=λb+μc,所以解得所以λ+μ=.
(2)因为a⊥(c-b),所以a·c-a·b=0,
即2×4+3×1-(2×1+3x)=0,解得x=3,所以b=(1,3),
故cos===.
13.解:(1)以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,3),M(1,0),N(0,2),所以=(1,-3),=(λ,-3λ),=(0,-1),=(2,-3).因为N,O,B三点共线,所以=μ+(1-μ)=(2-2μ,2μ-3),则解得故λ的值为.
(2)由(1)知,B(2,0),N(0,2),=(-2,2),||==2,=(1,-3),||==,
所以·=1×(-2)+(-3)×2=-8,
故cos∠BOC=cos<,>==-.
14.解:(1)因为=2e1+3e2,
所以=(2e1+3e2)2=4+9+12e1·e2=13+12×=19,故||=.
(2)因为∥,所以存在唯一的实数λ,使=λ,
则2e1+3e2=λ(e1+me2),故所以m=.
(3)不正确.理由如下:
证明:因为⊥,所以·=0,即(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=0,
则x1x2+y1y2+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2=x1x2+y1y2+x1y2+x2y1=0,
所以“⊥”的充要条件是“x1x2+y1y2+x1y2+x2y1=0”,
所以“⊥”的充要条件是“x1x2+y1y2=0”是不正确的.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.
1.若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|= ( )
A.2 B.5
C.2或5 D.或
2.已知平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于 ( )
A.13+6 B.2
C. D.
3.已知向量=(4,-3),=(2,-4),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为120°,则a在a+b上的投影的数量为 ( )
A.1 B.-1
C. D.-
5.[2024·河南濮阳高一期末] 已知等边三角形ABC的边长为4,D为边AB的中点,E是边AC上的动点,则·的取值范围为 ( )
A.[-1,6] B.[-1,12]
C.[0,6] D.
6.[2024·福建福州外国语学校高一月考] 已知向量a,b的数量积a·b=|a|·|b|cos,其中表示向量a,b的夹角.定义向量a,b的向量积:|a×b|=|a|·|b|sin,其中表示向量a,b的夹角.已知点A(0,1),B(-1,),O为坐标原点,则|×|= ( )
A.0.5 B.-1
C.0 D.1
二、多项选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.
7.已知a=(t-1,3-t),b=(3,1),则 ( )
A.若a∥b,则t=-2
B.若a⊥b,则t=0
C.与b垂直的单位向量的坐标为或
D.若向量a与向量b的夹角为锐角,则t的取值范围为(0,+∞)
8.[2024·江苏扬州邗江中学高一期中] 已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形边上任意一点,则下列说法正确的是 ( )
A.在上的投影为2
B.·=4+2
C.若函数f(x)=|+x|,则函数f(x)的最大值为2+
D.·∈[-2,4+2]
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
9.已知a,b是平面向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个)
10.[2023·哈尔滨四中高一月考] 两个不共线的向量a,b满足|a|=3|b|,且对任意t∈R,|a-tb|≥|a-b|恒成立,则向量a,b夹角的余弦值为 .
11.美术课对于陶冶人的情操、发展学生的艺术兴趣和爱好、培养学生的艺术特长、提高学生的审美素养具有积极作用.如图,这是某学生关于“杯子”的联想创意图,它是由一个正方形和三个半圆组成的,其中A,B是正方形的两个顶点,P是三段圆弧上的动点,若AB=4,则·的取值范围是 .
四、解答题:本题共3小题,共43分.
12.(13分)[2024·河北沧州高一期末] 已知向量a=(2,3),b=(1,x),c=(4,1).
(1)若x=2,a=λb+μc,求λ+μ的值;
(2)若a⊥(c-b),求a与b的夹角的余弦值.
13.(15分)如图,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,点M,N分别在边AB,AC上,且AM=CN=1,点O为BN与CM的交点.
(1)若=λ,求λ的值;
(2)求cos∠BOC的值.
14.(15分)[2024·四川阆中中学高一期中] 如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量在坐标系Oxy中的坐标.已知=2e1+3e2.
(1)求的模.
(2)设=e1+me2,若∥,求实数m的值.
(3)若=x1e1+y1e2,=x2e1+y2e2,有同学认为“⊥”的充要条件是“x1x2+y1y2=0”,你认为是否正确 若正确,请给出证明,若不正确,请说明理由.