滚动习题(七)
1.B [解析] 因为(a+λb)⊥(2a-λb),所以(a+λb)·(2a-λb)=2a2+λa·b-λ2b2=0,又a,b相互垂直,|a|=,|b|=1,所以2×2-λ2=0,解得λ=±2,故选B.
2.D [解析] 由tan===-,解得tan θ=7,则tan 2θ===-.故选D.
3.B [解析] cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°=cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°=cos(24°+36°)=cos 60°=.故选B.
4.B [解析] 由tan α=3,得sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,充分性成立;由cos 2α=-,得sin 2α=±,所以tan α==±3,必要性不成立.故选B.
5.C [解析] ∵|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a|·|b|cos
+|b|2=2-2cos=3,∴cos=-,又b与2b同向,∴cos=-,∵∈[0,π],∴=.故选C.
6.A [解析] 由题得sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-=-.∵α,β均为锐角,且α-β=,∴0<+β<,即0<β<,∴<2β+<,∴-7.ABD [解析] 对于A,f(x-2π)=sin(3x-6π)-sin(2x-4π)=sin 3x-sin 2x=f(x),所以f(x)的一个周期为-2π,故A正确;对于B,f(2π-x)=sin(6π-3x)-sin(4π-2x)=-sin 3x+sin 2x=-f(x),故f(x)的图象关于点(π,0)中心对称,故B正确;对于C,若f(x)的最大值为2,则sin 3x=1,sin 2x=-1,若sin 3x=1,则3x=2kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,但此时sin 2x≠-1,故C不正确;对于D,f(x)=sin 3x-sin 2x=sin-sin=2cosxsinx,令f(x)=0得cosxsinx=0,所以sinx=0或cosx=0,又x∈(0,2π),所以x=或x=或x=或x=或x=,解得x=或x=或x=π或x=或x=,即f(x)在(0,2π)上所有零点之和为5π,故D正确.故选ABD.
8.AD [解析] 对于A,=(cos α,sin α),=(cos β,-sin β),所以||==1=||,故A正确;对于B,=(cos α-1,sin α),=(cos β-1,-sin β),所以||==
=,||==,则||与||不一定相等,故B错误;对于C,由题意得·=cos α,·=cos β×cos(α+β)+(-sin β)×sin(α+β)=cos[β+(α+β)]=cos(α+2β),cos α=cos(α+2β)不一定恒成立,故C错误;对于D,由题意得·=1×cos(α+β)+0×sin(α+β)=cos(α+β),·=cos α·cos β+sin α·(-sin β)=cos(α+β),所以·=·,故D正确.故选AD.
9.[0,2] [解析] ·=||·||·cos∠AOP,||=2,结合图形可知0≤||·cos∠AOP≤1,所以·的取值范围为[0,2].
10. [解析] f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-=sin 2ωx+cos 2ωx=sin,当x∈[0,π]时,2ωx+∈,因为函数f(x)的图象在[0,π]上有且仅有三条对称轴,所以2ωπ+∈,解得ω∈.
11.- [解析] 因为<α<,所以-<-α<0,又cos=,所以sin=-.因为0<β<π,所以-<-β <,又sin=,0<<,所以0<-β<,所以cos=,所以cos(α+β)=-cos=sinsin-coscos=-.
12.解:(1)依题意得,a·b=coscos-sinsin=cos=cos 2x,
由a⊥b知a·b=cos 2x=0,又x∈,所以x=.
(2)由题得|a+b|=====2|cos x|.
当x∈时,cos x的取值范围是[-1,0],
所以|a+b|的取值范围是[0,2].
13.解:(1)∵tan+=,∴+=,
∴=,∴=,∴sin β=.
∵cos(α-β)-cos(α+β)=,∴cos αcos β+sin αsin β-cos αcos β+sin αsin β=,∴sin αsin β=,
又sin β=,∴sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-=-.
(2)由(1)得sin α=,sin β=.∵α∈,β∈,∴cos α===,cos β===,
∴tan α==,tan β==,∴tan(α-β)===.
14.解:(1)由题得f(x)=2cos2x-cos-1=cos 2x+sin 2x=sin,
则函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)当x∈时,2x+∈,sin∈,则f(x)在上的取值范围为(-1,].
(3)函数h(x)=f(x)-m在上零点的个数,
即为方程sin=m在上的解的个数.
当x∈时,2x+∈,sin∈.
作出y=sin在上的图象,如图,由图可知,当-当当m≤-或m>1时,方程sin=m无解.
综上可得,当-当当m≤-或m>1时,h(x)没有零点.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.
1.[2024·四川绵阳南山中学高一月考] 已知a,b相互垂直,|a|=,|b|=1,且(a+λb)⊥(2a-λb),则实数λ的值为 ( )
A.2 B.±2
C. D.±
2.已知tan=-,则tan 2θ= ( )
A. B.
C.- D.-
3.[2023·江苏盐城南阳中学高一月考] cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°= ( )
A.0 B.
C. D.-
4.[2023·哈尔滨三中高一期中] 已知p:tan α=3,q:cos 2α=-,则p是q的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知a,b为单位向量,且|a-b|=,则a与2b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
6.[2023·辽宁盘锦辽东湾高中高一期中] 已知α,β均为锐角,且α-β=,则sin αsin β的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.[-,]
二、多项选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2024·福建莆田四中高一期末] 已知函数f(x)=sin 3x-sin 2x,则 ( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)在(0,2π)上的所有零点之和为5π
8.[2024·广东广州培英中学高一月考] 已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.·=·
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
9.[2024·河南濮阳外国语学校高一月考] 如图,已知网格小正方形的边长为1,点P是阴影区域内的一个动点(包括边界),O,A在格点上,则·的取值范围是 .
10.已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-(x∈R,ω>0)的图象在[0,π]上有且仅有三条对称轴,则ω的取值范围是 .
11.已知<α<,0<β<π,且cos=,sin=,则cos(α+β)的值为 .
四、解答题:本题共3小题,共43分.
12.(13分)[2024·江苏镇江中学高一期中] 已知向量a=,b=,且x∈.
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)求|a+b|的取值范围.
13.(15分)已知α∈,β∈,且cos(α-β)-cos(α+β)=,tan+=.
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
14.(15分)[2023·重庆永川区萱花中学高一月考] 已知函数f(x)=2cos2x-cos-1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在上的取值范围;
(3)求函数h(x)=f(x)-m在上零点的个数.