单元素养测评卷(二)B
1.A [解析] 因为cos A=-且A∈(0,π),所以A=,所以tan A=-1,所以tan(A-B)===-2.故选A.
2.C [解析] 由已知得a2=b2+c2+2b·c,即1=1+1+2b·c,则b·c=-,即1×1cos
=-,所以cos=-,又∈[0,π],所以b,c的夹角为π.故选C.
3.D [解析] 因为向量b=(6,-8),所以|b|==10,所以向量a在向量b上的投影为·=.故选D.
4.C [解析] cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°=[cos(40°+20°)+cos(40°-20°)]-[cos(80°+40°)+cos(80°-40°)] +[cos(80°+20°)+cos(80°-20°)]=-+=+(cos 20°-cos 40°+cos 100°)=+[cos(30°-10°)-cos(30°+10°)-sin 10°]=+(2sin 30°sin 10°-sin 10°)=,故选C.
5.B [解析] a=(sin 56°-cos 56°)=sin(56°-45°)=sin 11°,b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°=-sin 40°sin 38°+cos 40°cos 38°=cos(40°+38°)=cos 78°=sin 12°,c=2cos240°-1=cos 80°=sin 10°,因为sin 12°>sin 11°>sin 10°,所以b>a>c.故选B.
6.D [解析] 由tan α+tan β=+=3,得sin(α+β)=3cos αcos β,则1=sin2(α+β)+cos2(α+β)=9cos2αcos2β+,可得cos αcos β=,又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-,所以sin αsin β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=1.故选D.
7.D [解析] 因为f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx=sin 2ωx+=sin+在上单调递减,所以≥π-,即≥,又ω>0,所以0<ω≤2.令t=2ωx+,因为8.C [解析] 因为·=0,所以∠BAC的平分线与直线BC垂直,所以AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,又·=cos∠ABC=,且∠ABC为三角形的内角,所以∠ABC=45°,所以△ABC为等腰直角三角形.故选C.
9.AC [解析] 由a=(3,1),b=(1,3),可知|a|=|b|=,a·b=3×1+1×3=6.对于A,(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=10-10=0,则(a+b)⊥(a-b),故A正确;对于B,cos==,故B错误;对于C,a在b上的投影的数量为|a|cos=,故C正确;对于D,b在a上的投影的数量为|b|cos=,故D错误.故选AC.
10.ABD [解析] 由0<α<β<π,得0<β-α<π.由sin(β-α)=1,得β-α=,即β=+α.显然0<α<<β<π,又cos α=,所以sin α==.对于A,sin 2α=2sin αcos α=2××=,故A正确;对于B,sin β=sin=cos α=,故B正确;对于C,cos β=cos=-sin α=-,故C错误;对于D,cos(α+β)=cos=-sin 2α=-,故D正确.故选ABD.
11.BC [解析] 对于A,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,所以a=b或(a-b)⊥c,故A错误;对于B,若|a+b|=|a|+|b|,则a与b同向,所以a∥b,故B正确;对于C,若|a+b|=|a-b|,则|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2a·b,所以2a·b=0,所以a⊥b,故C正确;对于D,若(a+b)·(a-b)=0,则|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,不能得出向量a,b共线,故D错误.故选BC.
12. [解析] 因为α∈,所以<α+<,因为sin=<,所以<α+<,所以cos=-=-,则cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=.
13.76 [解析] 由已知得∠BAC=90°.以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,t)(t>0),B.∵=,=(0,t),∴=t+(0,t)=(1,9),即P(1,9),∴=,=(-1,t-9),∴·=1--9t+81=82-.∵t>0,∴9t+≥2=6,∴·≤82-6=76.
14. 0 [解析] 由圆的对称性可得O为MN的中点,所以=+=b+=b+(-)=b+(a-b)=a+b=λ1a+λ2b,则λ1=λ2=.a·b=(+)·(+),因为=-,所以a·b=(+)·(-)=-=4-,所以当||取得最大值2时,a·b取得最小值0.
15.解:(1)因为cos α=-,α∈,所以sin α==,所以tan α==-,所以tan===-7.
(2)因为α,β∈,所以-≤α-β≤,
又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=,所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×+×=1.
16.解:(1)因为a⊥,所以a·=0,即-a2+a·b=0,又|a|=,|b|=,所以-×10+×cos θ=0,故cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=,即向量a与b的夹角θ=.
(2)由(1)可知a·b=5,m-n=(1-λ)a+(λ+2)b,
则|m-n|===
=.当λ=1时,y=5λ2-10λ+50取得最小值,即|m-n|取得最小值,此时m+n=2a-b,则|m+n|====5.
17.解:(1)由题知f(x)=sin ωxcos ωx-cos2ωx=sin 2ωx-=sin 2ωx-cos 2ωx-=sin-.
∵x1,x2是函数y=f(x)-=sin-1的两个零点,∴x1,x2是关于x的方程sin=1的两个实根,且|x1-x2|min=π,
∴f(x)的最小正周期T=π,∴2ω==2,∴ω=1,∴f(x)=sin-.令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵f=sin-=,∴sin=.
∵0<α<,∴-<α-<,∴cos=.
∵sin α=sin=sincos +cossin =,cos α=cos=coscos -sinsin =,
∴sin 2α=2sin αcos α=2××=.
18.解:由已知可知=(1,cos x),=(1+cos x,cos x),=(cos x,0),
则=+=(1,cos x)+(1+cos x,cos x)=,所以·=1+cos x+cos2x,
又x∈,所以cos x∈,所以||==cos x,
所以f(x)=·-||=1+cos x+cos2x-cos x=cos2x-2acos x+1.令t=cos x,则t∈.
令g(t)=t2-2at+1,t∈.当a≤时,g(t)的最大值为g(1)=1-2a+1=3,解得a=-;当a>时,g(t)的最大值为g=-a+1=3,解得a=-(舍去).综上可知,实数a的值为-.
19.解:(1)xC=4cos=4sin α=4×=2,yC=4sin=-4cos α=-4×=-2,则点C的坐标为(2,-2).
(2)由题知α=+2kπ(k∈Z),所以xN=rcos(α+θ)=rcos,yN=rsin(α+θ)=rsin,则点N的坐标为.
(3)由(2)得D,则M,因为点M在单位圆上,所以+=1,整理得cos β=-.单元素养测评卷(二)B
第八章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在△ABC中,cos A=-,tan B=,则tan(A-B)= ( )
A.-2 B.- C. D.2
2.已知三个单位向量a,b,c满足a=b+c,则向量b,c的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
3.[2023·山东淄博高一期末] 已知向量a,b满足a·b=10,且b=(6,-8),则向量a在向量b上的投影为( )
A.(-6,8) B.(6,-8)
C. D.
4.[2024·四川成都高一期末] 计算:cos 20°cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°= ( )
A. B. C. D.
5. [2023·南昌莲塘一中高一月考] 已知a=(sin 56°-cos 56°),b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°,c=2cos240°-1,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.a>c>b
6.已知α,β∈,cos(α+β)=-,tan α+tan β=3,则cos(α-β)= ( )
A. B. C. D.1
7.[2024·陕西汉中高一期中] 已知ω>0,函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx在上单调递减,则ω的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
8.[2023·石家庄高一期末] 在△ABC中,已知向量与满足·=0且·=,则△ABC为 ( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知向量a=(3,1),b=(1,3),则下列说法正确的是 ( )
A.(a+b)⊥(a-b)
B.a,b的夹角为60°
C.a在b上的投影的数量为
D.b在a上的投影的数量为
10.[2024·广东佛山顺德一中高一期中] 已知0<α<β<π,且cos α=,sin(β-α)=1,则 ( )
A.sin 2α= B.sin β=
C.cos β=- D.cos(α+β)=-
11.已知非零向量a,b,c,下列结论中正确的是 ( )
A.若a·c=b·c,则a=b
B.若|a+b|=|a|+|b|,则a∥b
C.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若(a+b)·(a-b)=0,则a=b或a=-b
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知sin=,α∈,则cos α= .
13.已知⊥,||=,||=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值为 .
14.[2024·天津红桥区高一期末] 如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个关于点O对称的半圆弧组成的,线段MN过点O且两端点M,N分别在两个半圆弧上,点P是大圆上一动点.令=a,=b,若=λ1a+λ2b,则λ1= ,a·b的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知α,β∈,且cos α=-.
(1)求tan的值;
(2)若sin(α-β)=,求sin β的值.
16.(15分)[2024·重庆育才中学高一月考] 已知向量|a|=,|b|=,a⊥.
(1)求向量a与b的夹角θ的大小;
(2)若向量m=a+λb,n=λa-2b(λ∈R),当|m-n|取得最小值时,求|m+n|.
17.(15分)已知ω>0,a=(sin ωx,-cos ωx),b=(cos ωx,cos ωx),f(x)=a·b,x1,x2是函数y=f(x)-的两个零点,且|x1-x2|min=π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α∈,f=,求sin 2α的值.
18.(17分)[2024·山东枣庄三中高一期中] 如图,在△AOB中,点C满足3=+2,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,若函数f(x)=·-||的最大值为3,求实数a的值.
19.(17分)阅读问题:如图,已知单位圆上一点A,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB(B在单位圆上),求点B的坐标.
解决问题:点A在角α的终边上,且|OA|=1,则cos α=,sin α=,点B在角α+的终边上,且|OB|=1,于是点B的坐标满足xB=cos=-sin α=-,yB=sin=cos α=,即B.
根据上述解题过程求解下列问题.
(1)将OA绕坐标原点顺时针旋转并延长至点C,使|OC|=4|OA|,求点C的坐标;
(2)若将OA绕坐标原点逆时针旋转θ并延长至ON,使|ON|=r·|OA|(r>0),求点N的坐标(用含有r,θ的数学式子表示);
(3)定义P(x1,y1),Q(x2,y2)的中点的坐标为,将OA逆时针旋转β,并延长至OD,使|OD|=2|OA|,若DA的中点M也在单位圆上,求cos β的值.