单元素养测评卷(二)A
1.B [解析] 根据题意得a·b=|a||b|cos=cos=.故选B.
2.B [解析] sin 25°sin 35°-cos 25°cos 35°=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-.故选B.
3.D [解析] 因为a=(1,2),b=(2,-2),所以2a+b=(4,2),又因为c⊥(2a+b),所以c·(2a+b)=0,即4λ-2=0,所以λ=.故选D.
4.A [解析] cos 75°-sin 75°=cos(45°+30°)-sin(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°-(sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°)=-sin 45°sin 30°-cos 45°sin 30°=-.故选A.
5.A [解析] 因为0<α<,所以<α+<,则sin==,所以sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故选A.
6.D [解析] 因为|2a-b|=4,所以4a2+b2-4a·b=16,又因为|a|2=2,|b|2=4,所以a·b=-1,所以b在a上的投影为·a=-a.故选D.
7.B [解析] 因为sin 36°(1+sin 2α)=2sin 18°cos 18°(1+sin 2α),所以2cos218°cos 2α=2sin 18°cos 18°(1+sin 2α),整理得cos 18°cos 2α=sin 18°sin 2α+sin 18°,即cos 18°cos 2α-sin 18°sin 2α=sin 18°,即cos(2α+18°)=sin 18°.因为0°≤α<90°,所以18°≤2α+18°<198°,所以2α+18°=90°-18°,解得α=27°.故选B.
8.C [解析] 将f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x的图象向左平移φ个单位得到g(x)=cos(2x+2φ)的图象.因为g(x)为奇函数,所以g(0)=cos 2φ=0,则2φ=+kπ,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又0<φ<,所以φ=.故选C.
9.AD [解析] 对于A,由tan(25°+35°)==,得tan 25°+tan 35°+tan 25°·tan 35°=,故A正确;对于B,cos2 -sin2 =cos=,故B错误;对于C,-===4,故C错误;对于D,因为=tan(2×22.5°)=1,所以=,故D正确.故选AD.
10.BC [解析] 由题知a+3b=(10,10),a-2b=(-5,-10),故A错误;a·b=-5,b2=25,所以向量a在向量b上的投影是·=-b,故B正确;2a-b=(-1,-8),所以|2a-b|=,故C正确;a2=5,所以向量b在向量a上的投影是·=-a,故D错误.故选BC.
11.ABC [解析] 对于A选项,|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=1,因为a,b为单位向量,所以a·b=,所以a在b上的投影为·=b,故A正确;对于B选项,设BC的中点为D,则+=,又=λ(λ≥0),所以A,P,D三点共线,故B正确;对于C选项,·=·(-)=·-·=-,因为边AB,AC的长为定值,所以·为定值,故C正确;对于D选项,由=可得在,上的投影的数量相等,则点O到AB,AC的距离相等,所以点O在角A的平分线上,同理可得点O在角C的平分线上,则点O为内心,故D错误.故选ABC.
12. [解析] 由题意可知-(F1+F2)=F3,且|F1|=1,则=+2F1·F2+=1+2×1×2×cos 120°+4=3,所以|F3|=.
13. [解析] 在△ABC中,因为AB=2,AC=3,∠BAC=120°,所以·=||·||cos 120°=-3.由题意得=(+),=+=λ-,所以||2==(+2·+)=×(4-6+9)=,所以||=.由·=可得(+)·(λ-)=+(λ-1)·-=-(λ-1)-2=3λ-=,解得λ=.
14. [解析] 因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=,又因为α,β均为锐角,所以α,β∈,则2α∈(0,π),所以2α∈,所以2α-β∈,sin 2α==,又sin β=,所以cos β==,则sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=,所以2α-β=.
15.解:(1)由题图知,a=(2,0),|a|=2.
因为b在a上的投影为2a,所以b在a上的投影的数量为2|a|=4.
设b=(x,y),则==4,即x=4,又|b|==2,所以y=±2,所以b=(4,±2),
故以B为始点的向量b如图所示,所以a·b=2×4=8.
(2)由题易知,=(3,-1),=(-2,3).
设=λ(0≤λ≤1),则=(-2λ,3λ),=+=(3-2λ,3λ-1),所以·=-2λ(3-2λ)+3λ(3λ-1)=13λ2-9λ,
则当λ=1时,·取得最大值4.
16.解:(1)由题知|a|=1,|b|=1.
由|a-b|=,可得a2-2a·b+b2=,则a·b=,即cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=.
(2)因为-<β<0<α<π,所以0<α-β<,
又cos(α-β)=,所以0<α-β<,所以sin(α-β)==,
因为-<β<0,sin β=-,所以cos β==,
故sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=×+×=.
17.解:(1)证明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴|a|==1,同理得|b|=1.∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,∴向量a+b与a-b垂直.
(2)a·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(β-α).
∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2,则k2a2+2ka·b+b2=a2-2ka·b+k2b2,即k2+2ka·b+1=1-2ka·b+k2,整理得a·b=cos(β-α)=0.∵0<β<α<π,∴-π<β-α<0,∴β-α=-.
18.解:(1)f(x)=sin22x+sin 2xcos 2x+2cos22x=1+sin 2xcos 2x+cos22x=1+sin 4x+=sin 4x+cos 4x+=sin+.
因为0≤x≤m,所以4x+∈.
若f(x)在[0,m](m>0)上单调,则<4m+≤,
解得0(2)由题可知,关于x的方程k=f(x)在上有两个根x1,x2,即直线y=k与y=f(x)的图象在上有两个交点,且交点的横坐标为x1,x2.
令g(x)=sin,x∈,即直线y=k-与曲线y=g(x)有两个交点,且交点的横坐标为x1,x2.作出y=g(x)的图象,如图,不妨取x1>x2,由图可知,≤k-<1,解得2≤k<.又x1+x2=,所以tan=tan==-2+.
19.解:(1)f(x)=sin ωx+cos ωx+sin ωx-cos ωx-(cos ωx+1)=2-1=2sin-1.
由-1≤sin≤1,得-3≤2sin-1≤1,
故函数f(x)的值域为[-3,1].
(2)令f(x)=2sin-1=0,即sin=,
所以函数f(x)在(0,1]上恰有10个零点,即关于x的方程sin=对x∈(0,1]恰有10个解.
设f(x)的最小正周期为T,则4T+≤1<5T+,解得-第八章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若单位向量a,b的夹角为,则a·b= ( )
A. B. C. D.1
2.sin 25°sin 35°-cos 25°cos 35°= ( )
A.- B.- C. D.
3.[2024·江苏扬州红桥高级中学高一期中] 已知a=(1,2),b=(2,-2),c=(λ,-1),c⊥(2a+b),则λ等于( )
A.-2 B.-1 C.- D.
4.cos 75°-sin 75°= ( )
A.- B. C.- D.
5.已知0<α<,cos=,则sin α= ( )
A. B.
C. D.
6.[2024·河南周口高一期末] 已知向量a=(cos α,sin α),b=(2sin β,2cos β),|2a-b|=4,则b在a上的投影为 ( )
A.2b B.2a C.-b D.-a
7.已知0°≤α<90°,且sin 36°(1+sin 2α)=2cos218°cos 2α,则α= ( )
A.18° B.27° C.54° D.63°
8.[2024·山西临汾高一期末] 将函数f(x)=cos2x-sin2x的图象向左平移φ个单位后得到函数g(x)的图象,若g(x)为奇函数,则φ= ( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列化简正确的是 ( )
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°·tan 35°=
B.cos2-sin2=
C.-=2
D.=
10.已知向量a=(1,-2),b=(3,4),则 ( )
A.(a+3b)∥(a-2b)
B.向量a在向量b上的投影是-b
C.|2a-b|=
D.向量b在向量a上的投影是-a
11.[2024·广东实验中学高一月考] 下列说法正确的是 ( )
A.已知a,b均为单位向量,若|a-b|=1,则a在b上的投影为b
B.P是△ABC所在平面内的一动点,且=λ(λ≥0),则点P的轨迹一定通过△ABC的重心
C.已知O为△ABC的外心,边AB,AC的长为定值,则·为定值
D.若点O满足=,=,则点O是△ABC的垂心
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·广东江门一中高一月考] 平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1=(1,0),|F2|=2,=120°,则|F3|= .
13.在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=120°,D是BC的中点,E在边AC上,=λ,·=,则||= ,λ= .
14.[2024·福建三明高一期末] 已知α,β均为锐角,cos α=,sin β=,则cos 2α= ,2α-β= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·广东佛山顺德一中高一期中] 如图,在方格纸(每个小方格边长为1)上有A,B,C三点,已知向量a以A为始点.
(1)试以B为始点画出向量b,使b在a上的投影为2a,且|b|=2,并求a·b的值;
(2)设点D是线段AC上的动点,求·的最大值.
16.(15分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-<β<0<α<π,sin β=-,求sin α的值.
17.(15分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.
(1)求证:向量a+b与a-b垂直;
(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α的值(其中k为非零实数).
18.(17分)[2024·重庆育才中学高一月考] 已知f(x)=sin22x+sin 2xcos 2x+2cos22x.
(1)若f(x)在[0,m](m>0)上单调,求m的最大值;
(2)若函数y=f(x)-k在上有两个零点x1,x2,求实数k的取值范围及tan的值.
19.(17分)已知函数f(x)=sin+sin-2cos2(ω>0).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)如果函数f(x)在(0,1]上恰有10个零点,求f(x)的最小正周期的取值范围.
