模块素养测评卷(一)
1.D [解析] 与225°终边相同的角的集合为{α|α=225°+k·360°,k∈Z},取k=1,得α=585°,∴585°与225°终边相同.故选D.
2.C [解析] 由a=(-1,1)得|a|=.设a与b的夹角为θ,则θ∈[0,π],所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=2+10-4cos θ=16,解得cos θ=-,所以b在a上的投影为|b|·cos θ·=(1,-1),故选C.
3.B [解析] 因为sin=cos=cos=,所以cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故选B.
4.B [解析] 因为α∈,所以<α+<,又cos=-,所以sin=
==,则sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故选B.
5.A [解析] f(x)在(0,π)上的图象如图所示,令x-=2kπ+,k∈Z,则x=2kπ+,k∈Z,令2kπ+∈(0,π),k∈Z,则k=0,所以x=.由图可得x1+x2=2×=,故sin(x1+x2)=sin=-.故选A.
6.A [解析] 设CD=a,以D为坐标原点,,的方向分别为x轴、y轴正方向,建立平面直角坐标系,如图,则A(4,0),B(2,a),P(0,y),0≤y≤a,则+2=(4,-y)+2(2,a-y)=(8,2a-3y),则|+2|=,当2a=3y,即y=a时,|+2|取得最小值8.故选A.
7.D [解析] 当x∈[0,2π]时,f(x)=2sin x+2|cos x|=
作出f(x)在[0,2π]上的图象,如图所示.由图可知,若f(x)=λ在[0,2π]上有且仅有4个不相等的实数根,则2<λ<4且λ≠2,即λ的取值范围为(2,2)∪(2,4).故选D.
8.D [解析] 在△ABC中,由·=0,得·=·,即·=·.同理由·=0,得·=·,显然≠0,即P与A不重合,否则cos∠ABC=1,同理≠0,则||cos∠PAC=||cos∠PAB,即cos∠PAC=cos∠PAB,则∠PAC=∠PAB,所以AP平分∠BAC,同理BP平分∠ABC,所以点P是△ABC的内心.故选D.
9.ACD [解析] 当角A为直角时,·=2+3k=0,解得k=-,故A正确;当角B为直角时,=-=(2,3)-(1,k)=(1,3-k),则·=(2,3)·(1,3-k)=2+9-3k=0,解得k=,故C正确;当角C为直角时,·=(1,k)·(1,3-k)=1+3k-k2=0,解得k=,故D正确.故选ACD.
10.ABD [解析] 由题图可知A=2,=-=×,解得T=π,ω=2.又f=2,所以2sin=2,即+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.对于A,因为f=2sin=0,所以f(x)的图象关于点中心对称,故A正确;对于B,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)在上单调递增,又 ,所以f(x)在上单调递增,故B正确;对于C,函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数y=2sin=2sin的图象,故C错误;对于D,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数h(x)=2sin的图象,故D正确.故选ABD.
11.ABD [解析] A选项中,||==1,||==1,则||=||,故A正确;B选项中,点P1为角α的终边与单位圆的交点,点P2为角β的终边与单位圆的交点,点P3为∠P1OP2的平分线与单位圆的交点,所以P3为弧P1P2的中点,故||=||,故B正确;C选项中,·=(1,0)·=cos,·=(cos α,sin α)·(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β),因为cos,cos(α-β)不一定相等,所以·与·不一定相等,故C错误;D选项中,(+)·=(cos α+cos β,sin α+sin β)·=(cos α+cos β)cos+(sin α+sin β)sin=2cos2cos+2sin2cos=cos=2cos≤2,当且仅当α=β+4kπ,k∈Z时,等号成立,故D正确.故选ABD.
12. [解析] 由sin x-2cos x=0得tan x=2,所以sin2x-sin xcos x-3cos2x+2==
==.
13.- [解析] 以A为坐标原点,AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.因为AB=2,AC=3,∠BAC=135°,所以A(0,0),B(-,),C(3,0).设M(x,y),则=(-x,-y),=(--x,-y),=(3-x,-y),所以w=·+·+·=x(+x)+y(y-)+(+x)(x-3)+y(y-)+x(x-3)+y2=3x2-4x+3y2-2y-6=3+3-,当x=,y=时,w取得最小值-.
14. [解析] 以O为原点,以OA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则角速度ω=2π rad/s.设点A,因为圆上两点A,B始终保持∠AOB=,所以B,要使A,B两点的竖直距离为0,则sin=sin,A,B两点的竖直距离第一次为0时,4πt-=π,解得t=.f(t)====.
15.解:(1)∵α,β∈,∴α-β∈.∵cos α=,sin(α-β)=,∴sin α==,cos(α-β)==,∴cos(2α-β)=cos[(α-β)+α]=cos(α-β)cos α-sin(α-β)sin α=×-×=.
(2)cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,∵β∈,∴β=.
16.解:(1)若选②③④,则A=2,因为f(0)=2sin φ=-2,所以sin φ=-1,
则φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ无解,故不符合题意.
若选①③④,则T==π,得ω=2,因为f=Asin=0,0<φ<,所以φ=,
又f(0)=Asin=-2,所以A=-,与A>0矛盾,故不符合题意.
若选①②④,则A=2,T==π,得ω=2,因为f(0)=2sin φ=-2,
所以sin φ=-1,则φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ无解,故不符合题意.所以只能选①②③.
由条件①②③,得A=2,T==π,得ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ).
由f=2sin=0,且0<φ<,得φ=,
所以f(x)=2sin.
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
(3)证明:当x∈时,2x+∈,
则sin∈.当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值,即f(x)min=f=-;
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值,即f(x)max=f=2.
所以f(x)∈[-,2],所以f(x)≥-.
17.解:(1)以B为原点,BC所在直线为x轴,过B作BC的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
∵AB=2,∠ABC=,∴A(1,),C(5,0),N,M,
∴=,=,∴||=,||=.
由题意知∠MPN为,的夹角,
则cos∠MPN===.
(2)设C(t,0),t>0,∵AB=2,∠ABC=,∴A(1,).
设M(x,y),则=(x-1,y-),=(t-1,-).
∵=,∴x-1=(t-1),y-=×(-),则x=,y=,∴M,∴=.
∵·=,∴-2=,得t=3(t=-4舍去),
∴M.∵O为BM的中点,∴O.
设N(n,0),0≤n≤3,∴=,=,
∴·=-=n-,∵0≤n≤3,∴(·)min=-.
18.解:方案一:如图①所示,易知0°<θ<60°,OD=cos θ,CF=ED=sin θ,则CD=OD-OC=cos θ-=cos θ-sin θ,
所以S矩形CDEF=ED·CD=sin θ(cos θ-sin θ)=3sin θcos θ-sin2θ=sin 2θ-(1-cos 2θ)=sin(2θ+30°)-(0°<θ<60°),
易知当2θ+30°=90°,即θ=30°时,矩形CDEF的面积最大,最大值为.
方案二:如图②所示,设ED与OM交于点N,FC与OM交于点P,易知0°<φ<30°,EN=FP=sin φ,所以ED=2EN=2sin φ,
又CD=PN=ON-OP=cos φ-=cos φ-3sin φ,
所以S矩形CDEF=ED·CD=2sin φ(cos φ-3sin φ)=3sin 2φ-3(1-cos 2φ)=6sin(2φ+60°)-3(0°<φ<30°),易知当2φ+60°=90°,即φ=15°时,矩形CDEF的面积最大,最大值为6-3.
因为>6-3,所以方案一中矩形CDEF的面积最大.
19.解:(1)∵f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min=,∴f(x)的最小正周期为π,∴=π,解得ω=±1.
当ω=1时,f(x)=2sin+1,令2x+=kπ(k∈Z),得x=-+(k∈Z),∴f(x)的图象的对称中心为(k∈Z);
当ω=-1时,f(x)=2sin+1,令-2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),∴f(x)的图象的对称中心为(k∈Z).
综上所述,f(x)的图象的对称中心为(k∈Z) 或(k∈Z).
(2)∵函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,
∴g(x)=2sin+1,又x=是g(x)的一个零点,
∴g=2sin+1=0,即sin=-,
∴ω+=+2kπ(k∈Z)或ω+=+2kπ,k∈Z,
解得ω=3+6k(k∈Z)或ω=5+6k(k∈Z).
由0<ω<5,可得ω=3,∴g(x)=2sin+1.
(3)由(2)知g(x)=2sin+1,
∵对任意x3∈,存在x4∈,使得h(x3)=g(x4)成立,
∴ .
∵x4∈,∴6x4-∈,∴sin∈[-1,1],
∴g(x4)∈[-1,3].∵x3∈,∴2x3-∈,
∴cos∈,∴h(x3)∈.
由 ,可得故实数a的取值范围为.模块素养测评卷(一)
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(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各角中与225°终边相同的是 ( )
A.45° B.135° C.315° D.585°
2.[2024·山东济宁育才中学高一期中] 已知a=(-1,1),|b|=,|a-b|=4,则b在a上的投影为( )
A.(-1,1) B.(-,)
C.(1,-1) D.(,-)
3.已知sin=,则cos= ( )
A. B.- C. D.-
4.[2024·江苏镇江中学高一期末] 若cos=-,α∈,则sin α= ( )
A.- B. C. D.-
5.已知函数f(x)=sin,若方程f(x)=的解为x1,x2(0A.- B. C. D.-
6.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=4,BC=2,P是边DC上的动点,则|+2|的最小值为 ( )
A.8 B.7 C.6 D.4
7.已知函数f(x)=2sin x+2|cos x|,若f(x)=λ在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根,则λ的取值范围为 ( )
A.(2,4) B.(2,2)
C.(2,4) D.(2,2)∪(2,4)
8.[2024·四川南充高二期末] 已知点P在△ABC所在平面内,若·=·=0,则点P是△ABC的 ( )
A.外心 B.垂心 C.重心 D.内心
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在直角三角形ABC中,=(2,3),=(1,k),则实数k的值可以为 ( )
A.- B. C. D.
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )
A.f(x)的图象关于点中心对称
B.f(x)在区间上单调递增
C.函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)=2sin 2x的图象
D.将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到函数h(x)=2sin的图象
11.[2023·重庆北碚区高一期中] 已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),P3,A(1,0),则 ( )
A.||=||
B.||=||
C.·=·
D.(+)·≤2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知sin x-2cos x=0,则sin2x-sin xcos x-3cos2x+2= .
13.在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=135°,M是△ABC所在平面内的动点,则w=·+·+·的最小值为 .
14.[2024·广东佛山高二期末] 近年,我国农机装备取得突破,科技和装备支撑稳步增强,现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示,单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为2π rad/s,圆上两点A,B始终满足∠AOB=,随着圆O的旋转,A,B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义:A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻,即t=0时,点A位于圆心正下方,则t= 秒时,A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈.
(1)求cos(2α-β)的值;
(2)求β的值.
16.(15分)[2024·北京一六一中高一期中] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),给出下列四个条件:
①最小正周期为π;②最大值为2;③f=0;④f(0)=-2.
(1)写出能确定f(x)的三个条件,说明理由,并求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈时,求证:f(x)≥-.
17.(15分)[2024·福建福州十五中高一期中] 如图,在△ABC中,∠ABC=,AB=2.
(1)若BC=5,M,N分别为AC,BC的中点,设AN,BM交于点P,求∠MPN的余弦值;
(2)若点M满足=,·=,O为BM的中点,点N在线段BC上移动(包括端点),求·的最小值.
18.(17分)扇形AOB的圆心角为60°,所在圆的半径为,它按如图①②两种方式有内接矩形CDEF.
方案一:矩形CDEF的顶点C,D在扇形的半径OB上,顶点E在上,顶点F在半径OA上,设∠EOB=θ;
方案二:点M是的中点,矩形CDEF的顶点D,E在上,且关于直线OM对称,顶点C,F分别在半径OB,OA上,设∠EOM=φ.
试研究方案一、二两种方式下矩形面积的最大值,并说明两种方式下哪一种矩形CDEF的面积最大
19.(17分)已知函数f(x)=2sin+1.
(1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min=,求f(x)的图象的对称中心;
(2)已知0<ω<5,函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,x=是g(x)的一个零点,求g(x)的解析式;
(3)已知函数h(x)=acos-2a+3(a>0),在第(2)问条件下,若对任意x3∈,存在x4∈,使得h(x3)=g(x4)成立,求实数a的取值范围.
