模块素养测评卷(二)
1.D [解析] 因为a⊥b,所以a·b=-1×3+2(m+1)=0,解得m=.故选D.
2.C [解析] 方法一:设a,b都是以坐标原点O为起点,终点在单位圆上的向量.设a,b的终点分别为M,N,则a-b=.若a,b的夹角为,则||=,即|a-b|=,充分性成立;若|a-b|=,即||=,则∠NOM=,此时a,b的夹角为,必要性成立.故“a,b的夹角为”是“|a-b|=”的充要条件,故选C.
方法二:因为a,b均为单位向量,a,b的夹角为,所以|a-b|2=a2+b2-2a·b=2-2×1×1×=3,则|a-b|=,即充分性成立;若|a-b|=,则|a-b|2=3,即a2+b2-2a·b=2-2×1×1×cos
=3,则cos=-,又∈[0,π],所以=,即必要性成立.故“a,b的夹角为”是“|a-b|=”的充要条件,故选C.
3.B [解析] 易知点(1,-2),(-1,2)在直线y=-2x上,由三角函数的定义知,cos α==或cos α==-.故选B.
4.B [解析] 因为sin C=2sin(B+C)cos B,即sin(A+B)=2sin Acos B,所以sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B,所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,所以A-B=0或A-B=π(舍去),则A=B,所以△ABC一定是等腰三角形.故选B.
5.D [解析] 由题易知,前轮共转动了圈,所以A,B两点之间的距离约为×2π×0.3=6.2π≈6.2×3.14≈19.47(m).故选D.
6.C [解析] 由题意知f(x)=2sin.因为存在x1,x2∈,使得f(x1)·f(x2)=-4,所以f(x)的图象在上至少有两个相邻的对称轴.令k∈N,则k∈N.当k=0时,不等式组无解;当k=1时,不等式组的解集为.因此ω的最小值为,故选C.
7.D [解析] 由已知得=λ,故·=λ=λ(-||+||)=0,所以AP⊥BC,所以动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心.故选D.
8.A [解析] ∵f(x)=2sin2=1-cos 2=1-cos=1+sin 2x,∴g(x)-f(x)=-(1+sin 2x)=-sin 2x+cos 2x+=-2sin+.∵-1≤sin≤1,∴-≤-2sin+≤,∴||=∈,∴||的最大值为.故选A.
9.AD [解析] 由题可得(1,)=,则=,又|b|=2,a与b的夹角为,所以=,故|a|=2.对于A,cos==,因为∈[0,π],所以=,故A正确;对于B,cos==,因为∈[0,π],所以=,故B错误;对于C,cos==1,因为∈[0,π],所以=0,故C错误;对于D,cos==,因为∈[0,π],所以=,故D正确.故选AD.
10.BCD [解析] 因为b2+c2=a2,所以A=90°,以A为坐标原点,AC,AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(0,8),C(6,0).当P在边AB上时,设P(0,y),y∈[0,8],则=(0,-y),=(0,8-y),=(6,-y),所以+=(6,8-2y),则·(+)=2y2-8y,易知当y=2时,·(+)取得最小值-8,当y=8时,·(+)取得最大值64,所以·(+)∈[-8,64].当P在边AC上时,设P(x,0),x∈[0,6],则=(-x,0),=(-x,8),=(6-x,0),所以+=(6-2x,8),则·(+)=2x2-6x,易知当x=时,·(+)取得最小值-,当x=6时,·(+)取得最大值36,所以·(+)∈.综上可得,·(+)∈[-8,64].故选BCD.
11.BD [解析] f(x)=-=-cos,ω>0.对于A,由题可得=,则T=π=,所以ω=1,故A错误;对于B,当ω=1时,f(x)=-cos,则f=-cos=-cos π=1,所以直线x=为f(x)的图象的一条对称轴,故B正确;对于C,当ω=1时,f(x)=-cos,将f(x)的图象向左平移个单位长度后可得y=-cos=cos的图象,函数y=cos为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C错误;对于D,由x∈[0,2π],可得≤2ωx+≤4ωπ+,因为f(x)在[0,2π]上恰有9个零,所以≤4ωπ+<,解得≤ω<,故D正确.故选BD.
12.-14 [解析] 延长CO,交圆O于点N,连接AN,BN,则CN=2CO,BN⊥BC,AN⊥AC,则·=·(-)=·-·=·-·=||·||cos∠BCN-||·||cos∠ACN=||2-||2=18-32=-14.
13.2 [解析] 方法一:设扇形的半径为r(r>0),则扇形的弧长l=a-2r,扇形的面积S=lr=(a-2r)r=-r2+r,所以当r=-=时,扇形的面积取得最大值,此时扇形的弧长l=a-2r=a-2×==2r,扇形圆心角的弧度数α==2.
方法二:设扇形的半径为r,弧长为l,r>0,l>0,则扇形的周长a=l+2r,所以扇形的面积S=lr=l·2r≤·=,当且仅当l=2r=时取等号,此时扇形圆心角的弧度数α==2.
14.3 [解析] 作出示意图如图所示,由2|AB|=|BC|=,得|AB|=,则|AC|=π,故f(x)的最小正周期T==π,可得ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ).易知(2x1+φ)+(2x2+φ)=π,且x2-x1=,则2x1+φ=,则2sin=m,解得m=1,则ω+m=3.
15.解:(1)∵|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°,∴|a+2b|====.
(2)∵2a-λb与λa-3b的夹角是锐角,∴(2a-λb)·(λa-3b)>0,且2a-λb与λa-3b不同向共线.由(2a-λb)·(λa-3b)>0,得2λ|a|2-(λ2+6)a·b+3λ|b|2>0,即λ2-7λ+6<0,解得1<λ<6.
若2a-λb与λa-3b同向共线,则存在实数k>0,使得2a-λb=k(λa-3b),∴可得
∵2a-λb与λa-3b不同向共线,∴λ≠.
综上,实数λ的取值范围是(1,)∪(,6).
16.解:(1)根据三角函数的定义知r=OP==,
∴sin α==,cos α=-=-,
∴sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-,∴sin=sin 2αcos -cos 2αsin =××-××=-.
(2)由题意得sin(α-β)===,
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.
17.解:(1)设h=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,t≥0,|φ|<π).
由题可知,hmax=50×2+8=108,hmin=8,
所以A==50,b==58,
因为=30,所以ω=,则h=50sin+58.
因为当t=0时h=8,所以50sin φ+58=8,
解得φ=-+2kπ,k∈Z.又|φ|<π,所以φ=-,
故h=50sin+58=-50cost+58(t≥0).
(2)令-50cost+58≥33,即cost≤,即+2kπ≤t≤+2kπ,k∈N,解得5+30k≤t≤25+30k,k∈N,
所以一个周期内可观看无人机表演的时间有25-5=20(min),
因为摩天轮30 min转动一圈,无人机表演共持续180 min,
180÷30=6,即摩天轮在此期间恰好转6圈,所以6×20=120(min),
即乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值为120 min.
18.解:(1)由题意可知A=2,φ=,
设h(x)=f(x+π)=2sin.
∵h(x)的图象关于y轴对称,∴h(0)=2sin=±2,
∴πω+=+kπ,k∈Z,解得ω=+k,k∈Z,又1<ω<2,∴ω=,
∴f(x)=2sin,函数f(x)的最小正周期T==.
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)g(x)=-2+mf=-8sin2+2msin,x∈,令t=sin,∵x∈,∴t∈,∴g(x)≤1恒成立等价于k(t)=-8t2+2mt≤1对t∈恒成立.
由-8t2+2mt≤1,得2m≤=+8t,
∵函数m(t)=+8t在上单调递增,∴+8t≥,
∴2m≤,∴m≤,故实数m的取值范围为.
19.解:(1)在△MAB中,MA⊥MB,AB=100,∠MAB=θ=,
则MA=50,MB=50,所以点M到AB的距离为=25,所以MC=(100-25)米.
(2)(i)在△MAB中,MA=100cos θ,MB=100sin θ.
设点M到AB的距离为h,则100h=100×100×sin θcos θ,
即h=100sin θcos θ,则MC=100-100sin θcos θ,
所以MA+MB+MC=100(sin θ+cos θ)+100-100sin θcos θ.
设sin θ+cos θ=t,则sin θcos θ=,又t=sin θ+cos θ=sin,θ∈,θ+∈,
所以t∈(1,],所以MA+MB+MC=100t-50(t2-1)+100=-50(t-1)2+200,
当t=,即θ=时,MA+MB+MC取得最小值100+50,即桥面长的最小值为100+50米.
(ii)当点M在AB的中垂线上,且∠AMB=时,桥面长更小.
证明:设AB的中点为C',连接MC',记∠AMC'=α∈,则MA=MB=,MC=100-. 记g(α)=MA+MB+MC=+100-=100+50×,
因为==·+tan≥,tan∈(0,1),当且仅当tan=,即α=时,等号成立,所以g(α)的最小值为100+50,又100+50<100+50,所以当M在AB的中垂线上,且∠AMB=时,桥面长更小.模块素养测评卷(二)
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(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量a=(-1,2),b=(3,m+1),若a⊥b,则m等于 ( )
A.-7 B.5 C.- D.
2.[2024·重庆育才中学高一月考] 已知a,b均为单位向量,则“a,b的夹角为”是“|a-b|=”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知角α的终边在直线y=-2x上,则cos α= ( )
A.或- B.或-
C.或- D.
4.[2024·天津南开区四十三中高一期中] 在△ABC中,已知sin C=2sin(B+C)cos B,那么△ABC一定是 ( )
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
5.为解决皮尺长度不够的问题,某实验小组利用自行车来测量A,B两点之间的直线距离.如图,先将自行车前轮置于点A,前轮上与点A接触的地方标记为点C,然后推着自行车沿直线AB前进(车身始终保持与地面垂直),直到前轮与点B接触.经观测,在前进过程中,前轮上的标记点C与地面接触了10次,当前轮与点B接触时,标记点C在前轮的左上方(如图为观察视角),且到地面的垂直高度为0.45 m.已知前轮的半径为0.3 m,则A,B两点之间的距离约为 ( )
(参考数值:π≈3.14)
A.20.10 m B.19.94 m C.19.63 m D.19.47 m
6.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若存在x1,x2∈,使得f(x1)·f(x2)=-4,则ω的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
7.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈R,则动点P的轨迹一定经过△ABC的 ( )
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
8.设动直线x=a与函数f(x)=2sin2和g(x)=cos 2x+的图象分别交于M,N两点,则||的最大值为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·江苏南通高一期末] 已知向量a在向量b上的投影的坐标为,向量b=(1,),且a与b的夹角为,则向量a可以为 ( )
A.(0,2) B.(2,0) C.(1,) D.(,1)
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=6,c=8,a=10,P在△ABC的边AB,AC上运动,则·(+)的值可能为 ( )
A.-12 B.-8 C.0 D.64
11.[2024·湖南长沙雅礼中学高一期末] 已知f(x)=sin2-cos2(ω>0),则下列说法正确的是 ( )
A.若f(x1)=f(x2)=0,且=,则ω=2
B.当ω=1时,直线x=为f(x)的图象的一条对称轴
C.当ω=1时,将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.若f(x)在[0,2π]上恰有9个零点,则ω的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知O为△ABC的外心,AC=8,BC=6,则·= .
13.[2024·辽宁沈阳高一期中] 设扇形的周长为a,则当扇形的面积最大时,其圆心角的弧度数为 .
14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0),点A,B,C分别是射线y=m(x≥0,m>0)与函数f(x)的图象从左至右的三个相邻交点,若2|AB|=|BC|=,则ω+m= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知|a|=,|b|=1,a与b的夹角为45°.
(1)求|a+2b|的值;
(2)若向量2a-λb与λa-3b的夹角是锐角,求实数λ的取值范围.
16.(15分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-1,2).
(1)求sin的值;
(2)若cos(α-β)=,且α-β为第一象限角,求sin β的值.
17.(15分)如图是一个摩天轮的示意图,该摩天轮的半径为50 m,最低点与地面的距离为8 m,且摩天轮30 min转动一圈,图中OM与地面垂直,游客从M处进入座舱,逆时针转动t min后到达N处,设N点到地面的距离为h.
(1)试将h表示成关于t的函数;
(2)由于建筑物的阻挡,当座舱离地面的高度不低于33 m时,乘客方可观看远处的无人机表演,已知无人机表演共持续180 min,求乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值(座舱回到最低点后可由游客自行选择是否继续乘坐).
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(1<ω<2)的振幅为2,初相为,函数y=f(x+π)的图象关于y轴对称.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)函数g(x)=-2+mf,x∈,若g(x)≤1恒成立,求实数m的取值范围.
19.(17分)某公园为了美化环境和方便顾客,计划建造一座“三线桥”连接三块陆地A,B,C,如图所示,点A,B是固定的,点C在右边河岸上.把右边河岸近似地看成直线l,经测量直线AB与直线l平行,A,B两点的距离及点A,B到直线l的距离均为100米.为了节省成本和兼顾美观,某同学给出了以下设计方案:MA,MB,MC三条线在点M处相交,MA⊥MB,MC⊥l,设∠MAB=θ.
(1)若θ=,求MC的长.
(2)(i)当θ变化时,求桥面长(MA+MB+MC的值)的最小值.
(ii)你能给出更优的方案,使桥面长更小吗 如果能,给出你的设计方案,并说明理由.