(共55张PPT)
专题课：平抛运动规律的应用
学习任务一 平抛运动的两个重要二级结论
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 平抛运动的两个重要二级结论
［科学推理］
(1) 如图所示,设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为
,位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为 ,试证明 .
[答案] 证明： 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解，设时间为 时，对应的水平位移和竖直位移分别为和，水平分运动是匀速直线运动，有 ，竖直分运动是自由落体运动，有，由图可知 ，联立解得.将 时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为和，由图可知
，故 ，得证.
(2) 如图所示,试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点,即 .
[答案] 证明：由图可知，， ，联立解得 .
例1 (多选)［2024·莆田一中高一月考］ 如图所示，某人从 点对准正前方竖直
靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、 两点，且与竖直方向
的夹角分别为 与 ，忽略空气阻力，则( )
A.两飞镖离开手时，速度大小相同
B.两飞镖在空中运动时间相同
C.两飞镖击中靶的速度大小相同
D.间距为 间距的3倍
√
√
[解析] 平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有 ，两飞镖
在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，B错误；
水平方向做匀速直线运动，根据 ，两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，A错误；根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得
，，联立可得 ,D正确；
飞镖打在靶上点时的竖直分速度为 ，
飞镖打在靶上点时的速度大小为 ，
飞镖打在靶上点时的竖直分速度为，
飞镖打在靶上点时的速度大小为 ，C正确.
变式 (多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间 到达地面时，速
度与水平方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度为 .下列说法正确的是
( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大，则 减小
√
√
[解析] 落地时竖直方向上的速度，因为速度方向与水平方向的夹角为 ，
所以小球的初速度 ，故A正确；速度与水平方向夹角的正切值
，位移与水平方向夹角的正切值 ，
，但 ，故B错误；平抛运动的落地时间
由高度决定，与初速度无关，C错误；速度与水平方向夹角
的正切值 ，若小球初速度增大，下落时间不
变，所以 减小，即 减小，D正确.
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
一、平抛运动与斜面结合问题
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示， 即已知速度的方向垂直于斜面 _____________________________________________________
情景示例 解题策略
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知 位移的方向沿斜面向下 _____________________________________________________
续表
情景示例 解题策略
已知位 移方向 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所 示，已知位移方向垂直于斜面 _____________________________________________________
续表
例2 ［2024·三明一中高一月考］一水平抛出的小球落到一倾
角为 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图
中虚线所示，则下列说法正确的是 ( )
A.水平速度与竖直速度之比为 B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为 D.水平位移与竖直位移之比为
[解析] 小球撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，则速度方向与竖直方向的夹角
为 ，故水平速度与竖直速度之比为 ，选项A正确，B错误；水平位
移与竖直位移之比 ，选项C、D错误.
√
例3 (多选)[2024·仙游一中高一月考]两个小球都从斜面上的顶端 水平抛出，一个落在斜面的中点，一个落在斜面的底端，不计空气阻力，则、 两球( )
A.在空中的飞行时间之比为
B.初速度之比为
C.末速度之比为
D.末速度方向与斜面的夹角的正切值之比为
√
√
[解析] 由题图可知，竖直方向有，可得 ，A错误；
水平方向有、，可得，故B错误；
根据平抛运动规律有 、，设斜面倾角为 ，小球落在斜面时，有 ，设末速度与水平方向的夹角为 ，可得 ，可知两球落到斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值相等，故小球、 到达斜面上时的速度方向相同，末速度方向与斜面的夹角的正切值之比为 ，D正确；小球的末速度为 ，末速度方向与水平方向的夹角相等，故末速度之比就等于初速度之比，为 ，C正确.
二、与圆弧面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆 弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该 点圆弧的切线方向 ________________________________________________________________________
情景示例 解题策略
利用位 移关系
续表
情景示例 解题策略
利用位 移关系
续表
例4 ［2025·龙岩高一期中］我国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“刀削
面”堪称一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里，如图甲所示.某次削面的过程可简化为图乙，面片(可视为质点)以初速度
水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中，锅的截面可视为圆心在点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为 ，不计空气阻力，重力加速度大小取 ，
则( )
A.面片在空中运动的时间为
B.面片在空中运动的水平位移为
C.面片运动到锅边缘时的速度大小为
D.面片从飞出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为
√
[解析] 对面片在锅边缘的速度进行分解，有，解得 ，故A
正确；水平方向做匀速直线运动，则有 ，故B错误；面片运动
到锅边缘时的速度大小为 ，故C错误；设面片从飞
出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为 ，根据几何关系可知
，
可知该夹角不为 ，故D错误.
例5 ［2023·漳平三中高一月考］如图所示，在竖直放置的半圆形容器中心 点
分别以水平速度、 抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的
点和点，已知，且与竖直方向夹角为 ，则两小球初速度大小
之比 为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由几何关系可知，的竖直位移 ，水平位移 ；
的竖直位移 ，水平位移
，由平抛运动的规律可知， ,解得
，则 ，故选C.
1.(多选)2019年8月1日,在中国内地上映的电影《烈火英雄》源于“大连 大火”
真实事件,其精彩地还原了真实场景,演员们真挚地表演获得了票房和口碑的双丰
收.在一个扑火的镜头中,某演员利用高压水枪向大楼喷水灭火,水从枪口水平喷
出后,射到对面竖直墙面上.若不计空气阻力,水的运动可看作平抛运动,调节阀门,
使高压水枪喷出水的速度加倍,则下列说法正确的是( )
A.水喷出后射到竖直墙面的时间将减半
B.水到达竖直墙面时的速度将加倍
C.水在墙面上的落点与水枪口的高度差将减小到原来的
D.水在墙面上的落点和水枪口的连线与水平方向的夹角将增大
√
√
[解析] 水在水平方向做匀速运动,根据 可知,若高压水枪喷出水的速度加倍,
则水喷出后射到竖直墙面的时间将减半,选项A正确;根据 可知,水到达竖
直墙面时竖直速度减半,根据 可知,合速度不是加倍,选项B错误;
根据,时间减半,则水在墙面上的落点与水枪口的高度差将减小到原来的 , 选项C正确;水在墙面上的落点和水枪口的连线与水平方向的夹角的正切值为,因不变, 减小,故 将减小,选项D错误.
2.如图所示,在一次空地演习中,离地 高处的飞机发射
一颗炮弹,炮弹以水平速度飞出,欲轰炸地面目标 ,反
应灵敏的地面拦截系统同时以速度 竖直向上发射炮
弹进行拦截,设飞机发射炮弹时与拦截系统的水平距离
为.若拦截成功,不计空气阻力,则、 的关系应满足( )
A. B. C. D.
[解析] 当飞机发射的炮弹与拦截炮弹相遇时,满足, ,此过程中拦
截炮弹满足,即,则 ,故选项B正确.
√
1.(与斜面有关的平抛运动)(多选)如图所示,、分别是斜面的顶端和底端, 、
、是斜面上的三个点,且.从 点以不同的水平速度向左
抛出两个小球(不计空气阻力),球 1 落在点,球 2 落在 点.两球从抛出到落在
斜面上的运动过程中,下列说法正确的是( )
A.球1和球2运动的时间之比为
B.球1和球2抛出时初速度大小之比为
C.球1和球2在落点处的速度方向相同
D.球1和球2在落点处的速度大小之比为
√
√
[解析] 两小球做平抛运动，落到斜面上，竖直方向上做自由落体运动，运动时
间，竖直位移之比为，则运动时间之比为 ，故A正确；设斜面倾
角为 ，根据平抛运动的规律结合几何关系可知，斜面的倾角等于小球位移与
水平方向的夹角，位移与水平方向夹角的正切值
，解得初速度为 ，
则球1和球2抛出时初速度大小之比为 ，故B错误；
根据平抛运动的规律可知，速度与水平方向夹角 的正切值等于位移与水平方向夹角 的正切值的二倍，即 ，两小球位移与水平方向夹角相同，则两小球落到斜面上时的速度方向相同，故C正确；速度与水平方向夹角为 ，则小球在落点处的速度，则球1和球2在落点处的速度大小之比为 ，故D错误.
2.(与圆弧面有关的平抛运动)如图所示，竖直放置、半径为 的半圆轨道直径边
在水平地面上，为圆心，、在轨道上，是轨道最左端， 与水平面夹角
为 .在点正上方处将可视为质点的小球水平抛出，小球过 点且与半圆轨
道相切，重力加速度为 ，小球抛出时的初速度为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 小球做平抛运动，在飞行过程中恰好与半圆轨道相切于 点，则知速度
与水平方向的夹角为 ，则有 ，又 ，则得
， ①，水平方向上小球做匀速直线运动，则有
②，联立①②解得 .故B正确.
练习册
1.如图所示,在足够高的竖直墙壁的左侧某点 以不同的初速度将小球水平抛出, 其中 沿水平方向,则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间,其速度的反向延长线 ( )
A.交于 上的同一点
B.交于上的不同点,初速度越大,交点越靠近 点
C.交于上的不同点,初速度越小,交点越靠近 点
D.因为小球的初速度和、 间距未知,所以无法确定
知识点一 平抛运动的两个重要二级结论
√
[解析] 设小球到达墙壁时速度方向与水平方向的夹角为 ，位移方向与水平方
向的夹角为 ，如图所示，有， ，可得
，设速度的反向延长线与交于点,则
,为 的中点，即所有小球速度的反向
延长线交于 上的同一点，故A正确.
2.(多选)［2024·宁德一中高一月考］ 如图所示,从某高度水平抛出一小球,经过
时间小球到达地面时,速度与水平方向的夹角为 ,不计空气阻力,重力加速度为
.下列说法正确的是( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球着地时速度大小为
C.小球在时间内的位移方向与水平方向的夹角为
D.若小球初速度增大,则 减小
√
√
[解析] 将小球着地时的速度进行分解，如图所示，可知 ，所以
，选项A错误.着地时速度大小，选项B正确.设 时间内
的位移方向与水平方向的夹角为 ，则 ，选项C
错误，不变，当初速度增大时， 变小，
变小，选项D正确.
知识点二 与斜面有关的平抛运动
3.如图所示，倾角为 的斜面末端与水平地
面相连，在斜面上距水平面高的 处
将一小球(可看成质点)以 的初速度水
平抛出，不计空气阻力，则小球抛出后第一次
落在接触面(斜面或者地面)上的时间为( )
A. B. C. D.
[解析] 若落在斜面上，则有，解得，因为 ，所
以落在水平面上，则有，解得 ，故选B.
√
4.［2024·陕西西安高一期中］如图所示，斜面与水平面之间
的夹角为 ，在斜面底端点正上方高度为处的 点，
以 的初速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜
面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为取
( )
A. B. C. D.
[解析] 物体做平抛运动，则水平方向,竖直方向 ，根据题意和几
何关系可知 ，即，代入 ，
，解得 ，故A正确，B、C、D错误.
√
知识点三 与圆弧面有关的平抛运动
5.［2024·湖南长沙高一期中］如图所示为某节目中一个环节的示意图.选手会遇
到一个人造山谷,是竖直峭壁,是以点为圆心的弧形坡, 点右侧是一
段水平跑道.选手助跑后从点水平向右跳出,跃上 点右侧的跑道.选手可视为质
点,忽略空气阻力,下列说法正确的是( )
A.初速度越大,选手从跳出至落在 右侧跑道上的时间越长
B.初速度越大,选手从跳出至落在 右侧跑道上的时间越短
C.只要选手落在 点右侧跑道上,下落时间为一定值与速度无关
D.若落在 圆弧上,初速度越大,选手在空中运动时间越长
√
[解析] 只要选手落在 右侧跑道上,其下落高度为一定值,所以下落时间也为一定
值,与初速度无关,故A、B错误,C正确;若落在圆弧上,初速度越大,选手落在
上的位置越靠右,下落的高度越小,在空中运动时间越短,故D错误.
6.［2024·厦门松柏中学高一月考］如图所示, 是半圆弧
的一条水平直径,是圆弧的圆心, 是圆弧上一点,
,在、两点分别以一定的初速度、 水
平抛出两个小球,结果都落在 点,则两个球抛出的初速度
、 的大小之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 两球下落的高度相同,根据知,下落的时间相同,设圆弧的半径为 ,
根据几何关系可得 ,则 点抛出的球平抛运动的水平位移
,从 点抛出的球做平抛运动的水平位移为
,根据知 ,故选B.
√
7.相同高度的两斜面倾角分别为 、 ，两小球分
别由斜面顶端以大小相同的水平速度 抛出，如图所示，
假设两球均能落在斜面上，则分别向左、右两侧抛出的
小球下落高度之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知，, ，
，分别将 、 代入，可得两球平抛所经历的时间之比
为，两球下落高度之比为 ，选项C正确.
√
8.［2024·福清一中高一月考］如图所示，斜面上、、 三点等
距，小球从点正上方点抛出，做初速度为 的平抛运动，恰落
在点.若小球初速度变为，其落点位于 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 小球从点正上方点抛出，做初速度为的平抛运动，恰落在 点，改
变初速度，落在 点，水平位移变为原来的2倍，假若时间不变，则初速度变为
原来的2倍，由于运动时间变长，所以初速度小于 ，故A正确.
√
9.如图甲所示的“彩虹滑道”是一种较为受欢迎的新型娱乐项目,游客在滑道上某段的运动可简化为如图乙所示.游客(视为质点)以的水平速度从 点滑出,然后落在倾角 的斜面上的点.不计空气阻力,重力加速度取
, 下列说法正确的是 ( )
A.游客在空中运动的时间为
B.、两点的水平距离为
C.游客在点的速度大小为
D.游客从运动到过程中的速度偏转角为
√
[解析] 从到过程中,位移偏转角为 ,由平抛运动推论得速度偏转角的正切
值 ,游客从运动到 过程中的速度偏转角小
于 ,D错误;由平抛运动推论有 ,又, ,解得
,,A、B错误;
游客在点的速度大小 ,
解得 ,C正确.
10.(12分)［2023·泉州一中高一月考］ 图中给出了某一通关游戏的示意图.安装
在轨道 上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射
出口在点的正上方，竖直面内的半圆弧的半径，直径 水平且
与轨道处在同一竖直面内，小孔和圆心连线与水平方向夹角为 .游戏
要求弹丸垂直于点圆弧切线方向射入小孔 就能进入下一关.为了能通关，弹射
器离 点的高度和弹丸射出的初速度分别是多少？
(不计空气阻力，， ，重力
加速度取 )
[答案] ;
[解析] 设抛出点为，小球由到做平抛运动，有 ，
，，联立得， .
11.(16分)［2025·河北张家口期末］ 如图甲，在“雪如意”国家跳台滑雪中心举行
的北京冬奥会跳台滑雪比赛是一项“勇敢者的游戏”，穿着专用滑雪板的运动员
在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中
飞行一段距离后落在倾斜的雪道上.一运动员从跳台 处沿水平方向飞出，在雪
道处着落，其过程可简化为图乙.测得、间的距离 ，倾斜的雪道与
水平方向的夹角 ，不计空气阻力，重力加速度取 ，
， .求：
(1) (5分)运动员在空中飞行的时间；
[答案]
[解析] 运动员飞离点后做平抛运动，竖直方向上满足
解得
11.(16分)［2025·河北张家口期末］ 如图甲，在“雪如意”国家跳台滑雪中心举行
的北京冬奥会跳台滑雪比赛是一项“勇敢者的游戏”，穿着专用滑雪板的运动员
在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中
飞行一段距离后落在倾斜的雪道上.一运动员从跳台 处沿水平方向飞出，在雪
道处着落，其过程可简化为图乙.测得、间的距离 ，倾斜的雪道与
水平方向的夹角 ，不计空气阻力，重力加速度取 ，
， .求：
(2) (5分)运动员在 处的起跳速度大小；
[答案]
[解析] 运动员飞离 点后做平抛运动，水平方向上满足
解得
11.(16分)［2025·河北张家口期末］ 如图甲，在“雪如意”国家跳台滑雪中心举行
的北京冬奥会跳台滑雪比赛是一项“勇敢者的游戏”，穿着专用滑雪板的运动员
在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出，身体前倾与滑雪板尽量平行，在空中
飞行一段距离后落在倾斜的雪道上.一运动员从跳台 处沿水平方向飞出，在雪
道处着落，其过程可简化为图乙.测得、间的距离 ，倾斜的雪道与
水平方向的夹角 ，不计空气阻力，重力加速度取 ，
， .求：
(3) (6分)运动员在空中离倾斜雪道距离
最远时的速度大小.(结果均可用根号及
分式表示)
[答案]
[解析] 当运动员的速度方向与倾斜雪道平行时，距离雪道最远，则此时速率
［科学推理］ （1）证明： 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解，设时间为时，对应的水平位移和竖直位移分别为和，水平分运动是匀速直线运动，有，竖直分运动是自由落体运动，有，由图可知，联立解得.将时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为和，由图可知，故 ，得证. （2）证明：由图可知，， ，联立解得.
例1 CD 变式 AD 例2 A 例3 CD 例4 A 例5 C
随堂巩固 1.AC 2.B
基础巩固练
1.A 2.BD 3.B 4.A 5.C 6.B
综合提升练
7.C 8.A 9.C
10.
11.（1） （2） （3）专题课:平抛运动规律的应用
1.A [解析] 设小球到达墙壁时速度方向与水平方向的夹角为θ,位移方向与水平方向的夹角为α,如图所示,有tan θ=,tan α==,可得tan θ=2tan α,设速度的反向延长线与OA交于P点,则=2=,P为AO的中点,即所有小球速度的反向延长线交于OA上的同一点,故A正确.
2.BD [解析] 将小球着地时的速度进行分解,如图所示,可知tan θ=,所以v0=,选项A错误.着地时速度大小v==,选项B正确.设t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α,则tan α====tan θ,选项C错误.tan θ=,t不变,当初速度v0增大时,tan θ变小,θ变小,选项D正确.
3.B [解析] 若落在斜面上,则有tan 45°=,解得t=1.2 s,因为gt2>h,所以落在水平面上,则有h=gt'2,解得t'=1.0 s,故选B.
4.A [解析] 物体做平抛运动,则水平方向x=vt,竖直方向y=gt2,根据题意和几何关系可知y=h-xtan 45°,即h-xtan 45°=gt2,代入v=1 m/s,h=6 m,解得t=1 s,故A正确,B、C、D错误.
5.C [解析] 只要选手落在Q右侧跑道上,其下落高度为一定值,所以下落时间也为一定值,与初速度无关,故A、B错误,C正确;若落在OQ圆弧上,初速度越大,选手落在OQ上的位置越靠右,下落的高度越小,在空中运动时间越短,故D错误.
6.B [解析] 两球下落的高度相同,根据t=知,下落的时间相同,设圆弧的半径为R,根据几何关系可得∠COB=60°,则A点抛出的球平抛运动的水平位移x1=2R-Rcos 60°=1.5R,从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为x2=x1-R=0.5R,根据v=知v1∶v2=3∶1,故选B.
7.C [解析] 根据平抛运动的规律以及落在斜面上的特点可知,x=v0t,y=gt2,tan θ=,分别将θ=30°、θ=60°代入,可得两球平抛所经历的时间之比为1∶3,两球下落高度之比为1∶9,选项C正确.
8.A [解析] 小球从a点正上方O点抛出,做初速度为v0的平抛运动,恰落在b点,改变初速度,落在c点,水平位移变为原来的2倍,假若时间不变,则初速度变为原来的2倍,由于运动时间变长,所以初速度小于2v0,故A正确.
9.C [解析] 从A到B过程中,位移偏转角为30°,由平抛运动推论得速度偏转角的正切值tan θ=2tan 30°=10.0.15 m 4 m/s
[解析] 设抛出点为M,小球由M到P做平抛运动,有MB+Rsin 37°=gt2,R+Rcos 37°=vt,tan 37°==,联立得MB=0.15 m,v=4 m/s.
11.(1) s (2)4 m/s (3)5 m/s
[解析] (1)运动员飞离O点后做平抛运动,竖直方向上满足Lsin θ=gt2
解得t= s
(2)运动员飞离O点后做平抛运动,水平方向上满足
v0t=Lcos θ
解得v0=4 m/s
(3)当运动员的速度方向与倾斜雪道平行时,距离雪道最远,则此时速率v2==5 m/s专题课:平抛运动规律的应用
[科学推理] (1)证明: 将质点平抛运动的位移沿水平方向和竖直方向分解,设时间为t时,对应的水平位移和竖直位移分别为x和y,水平分运动是匀速直线运动,有x=v0t,竖直分运动是自由落体运动,有y=gt2, 由图可知tan θ=,联立解得tan θ=.将t时刻的速度沿水平方向和竖直方向分解为vx和vy,由图可知tan α==,故tan α=2tan θ,得证.
(2)证明:由图可知tan θ=,tan α=,tan α=2tan θ,联立解得x'=.
例1 CD [解析] 平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动,则有h=gt2,两飞镖在空中下落的高度不同,可知在空中运动时间不相同,B错误;水平方向做匀速直线运动,根据x=v0t,两飞镖在空中通过的水平位移相同,但运动时间不同,可知两飞镖离开手时,速度大小不相同,A错误;根据平抛运动推论,速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得tan 60°=,tan 30°=,联立可得=,D正确;飞镖打在靶上b点时的竖直分速度为vby=,飞镖打在靶上b点时的速度大小为vb==2,飞镖打在靶上c点时的竖直分速度为vcy==,飞镖打在靶上c点时的速度大小为vc==2=vb,C正确.
变式 AD [解析] 落地时竖直方向上的速度vy=gt,因为速度方向与水平方向的夹角为θ,所以小球的初速度v0==,故A正确;速度与水平方向夹角的正切值tan θ==,位移与水平方向夹角的正切值tan α==,tan θ=2tan α,但α≠,故B错误;平抛运动的落地时间由高度决定,与初速度无关,C错误;速度与水平方向夹角的正切值tan θ==,若小球初速度增大,下落时间不变,所以tan θ减小,即θ减小,D正确.
例2 A [解析] 小球撞在斜面上,速度方向与斜面垂直,则速度方向与竖直方向的夹角为θ,故水平速度与竖直速度之比为=tan θ,选项A正确,B错误;水平位移与竖直位移之比===2tan θ,选项C、D错误.
例3 CD [解析] 由题图可知=,竖直方向有h=gt2,可得=,A错误;水平方向有=、x=v0t,可得=,故B错误;根据平抛运动规律有vx=v0、vy=gt,设斜面倾角为θ,小球落在斜面时,有==tan θ,设末速度与水平方向的夹角为α,可得==2tan θ=tan α,可知两球落到斜面时速度方向与水平方向夹角的正切值相等,故小球A、B到达斜面上时的速度方向相同,末速度方向与斜面的夹角的正切值之比为1∶1,D正确;小球的末速度为v=,末速度方向与水平方向的夹角相等,故末速度之比就等于初速度之比,为1∶,C正确.
例4 A [解析] 对面片在锅边缘的速度进行分解,有tan 60°=,解得t=0.3 s,故A正确;水平方向做匀速直线运动,则有x=v0t= m,故B错误;面片运动到锅边缘时的速度大小为v==2 m/s,故C错误;设面片从飞出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为α,根据几何关系可知tan α===,可知该夹角不为30°,故D错误.
例5 C [解析] 由几何关系可知,A的竖直位移hA=Rcos α,水平位移xA=Rsin α; B的竖直位移hB=Rcos (90°-α)=Rsin α,水平位移xB=Rsin(90°-α)=Rcos α,由平抛运动的规律可知h=gt2,x=v0t,解得v0=x,则=×=tan α,故选C.
随堂巩固
1.AC [解析] 两小球做平抛运动,落到斜面上,竖直方向上做自由落体运动,运动时间t=,竖直位移之比为1∶4,则运动时间之比为1∶2,故A正确;设斜面倾角为θ,根据平抛运动的规律结合几何关系可知,斜面的倾角等于小球位移与水平方向的夹角,位移与水平方向夹角的正切值tan θ===,解得初速度为v0=,则球1和球2抛出时初速度大小之比为1∶2,故B错误;根据平抛运动的规律可知,速度与水平方向夹角φ的正切值等于位移与水平方向夹角θ的正切值的二倍,即tan φ=2tan θ,两小球位移与水平方向夹角相同,则两小球落到斜面上时的速度方向相同,故C正确;速度与水平方向夹角为φ,则小球在落点处的速度v=,则球1和球2在落点处的速度大小之比为1∶2,故D错误.
2.B [解析] 小球做平抛运动,在飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点,则知速度与水平方向的夹角为30°,则有vy=v0tan 30°,又vy=gt,则得v0tan 30°=gt,t= ①,水平方向上小球做匀速直线运动,则有R+Rcos 60°=v0t ②,联立①②解得v0=.故B正确.◆ 知识点一 平抛运动的两个重要二级结论
1.如图所示,在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出,其中OA沿水平方向,则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间,其速度的反向延长线 ( )
A.交于OA上的同一点
B.交于OA上的不同点,初速度越大,交点越靠近O点
C.交于OA上的不同点,初速度越小,交点越靠近O点
D.因为小球的初速度和O、A间距未知,所以无法确定
2.(多选)[2024·宁德一中高一月考] 如图所示,从某高度水平抛出一小球,经过时间t小球到达地面时,速度与水平方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g.下列说法正确的是 ( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B.小球着地时速度大小为
C.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
D.若小球初速度增大,则θ减小
◆ 知识点二 与斜面有关的平抛运动
3.如图所示,倾角为45°的斜面末端与水平地面相连,在斜面上距水平面高h=5.0 m的P处将一小球(可看成质点)以v=6 m/s的初速度水平抛出,不计空气阻力,则小球抛出后第一次落在接触面(斜面或者地面)上的时间为 ( )
A.0.8 s B.1.0 s C.1.6 s D.2.0 s
4.[2024·陕西西安高一期中] 如图所示,斜面与水平面之间的夹角为45°,在斜面底端A点正上方高度为6 m处的O点,以1 m/s的初速度水平抛出一个小球,飞行一段时间后撞在斜面上,不计空气阻力,这段飞行所用的时间为(g取10 m/s2) ( )
A.1 s B.1.2 s
C.1.5 s D.2 s
◆ 知识点三 与圆弧面有关的平抛运动
5.[2024·湖南长沙高一期中] 如图所示为某节目中一个环节的示意图.选手会遇到一个人造山谷POQ,PO是竖直峭壁,OQ是以P点为圆心的弧形坡,Q点右侧是一段水平跑道.选手助跑后从P点水平向右跳出,跃上Q点右侧的跑道.选手可视为质点,忽略空气阻力,下列说法正确的是 ( )
A.初速度越大,选手从P跳出至落在Q右侧跑道上的时间越长
B.初速度越大,选手从P跳出至落在Q右侧跑道上的时间越短
C.只要选手落在Q点右侧跑道上,下落时间为一定值与速度无关
D.若落在OQ圆弧上,初速度越大,选手在空中运动时间越长
6.[2024·厦门松柏中学高一月考] 如图所示,AB是半圆弧的一条水平直径,O是圆弧的圆心,C是圆弧上一点,∠OAC=30°,在A、O两点分别以一定的初速度v1、v2水平抛出两个小球,结果都落在C点,则两个球抛出的初速度v1、v2的大小之比为 ( )
A.v1∶v2=2∶1
B.v1∶v2=3∶1
C.v1∶v2=3∶2
D.v1∶v2=4∶1
7.相同高度的两斜面倾角分别为30°、60°,两小球分别由斜面顶端以大小相同的水平速度v0抛出,如图所示,假设两球均能落在斜面上,则分别向左、右两侧抛出的小球下落高度之比为 ( )
A.1∶2 B.3∶1
C.1∶9 D.9∶1
8.[2024·福清一中高一月考] 如图所示,斜面上a、b、c三点等距,小球从a点正上方O点抛出,做初速度为v0的平抛运动,恰落在b点.若小球初速度变为v,其落点位于c,则 ( )
A.v0B.v=2v0
C.2v0D.v>3v0
9.如图甲所示的“彩虹滑道”是一种较为受欢迎的新型娱乐项目,游客在滑道上某段的运动可简化为如图乙所示.游客(视为质点)以v0=1.5 m/s的水平速度从A点滑出,然后落在倾角θ=30°的斜面上的B点.不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
A.游客在空中运动的时间为0.3 s
B.A、B两点的水平距离为 m
C.游客在B点的速度大小为 m/s
D.游客从A运动到B过程中的速度偏转角为60°
10.(12分)[2023·泉州一中高一月考] 图中给出了某一通关游戏的示意图.安装在轨道AB上可上下移动的弹射器,能水平射出速度大小可调节的弹丸,弹丸射出口在B点的正上方,竖直面内的半圆弧BCD的半径R=2.0 m,直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内,小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°.游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关.为了能通关,弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是多少 (不计空气阻力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2)
11.(16分)[2025·河北张家口期末] 如图甲,在“雪如意”国家跳台滑雪中心举行的北京冬奥会跳台滑雪比赛是一项“勇敢者的游戏”,穿着专用滑雪板的运动员在助滑道上获得一定速度后从跳台飞出,身体前倾与滑雪板尽量平行,在空中飞行一段距离后落在倾斜的雪道上.一运动员从跳台O处沿水平方向飞出,在雪道P处着落,其过程可简化为图乙.测得O、P间的距离L=30 m,倾斜的雪道与水平方向的夹角θ=37°,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.求:
(1)(5分)运动员在空中飞行的时间;
(2)(5分)运动员在O处的起跳速度大小;
(3)(6分)运动员在空中离倾斜雪道距离最远时的速度大小.(结果均可用根号及分式表示)
第3节 科学探究:平抛运动的特点 (时间:40分钟 总分:34分)
1.(4分)[2024·南安一中高一月考] 如图甲、乙所示是两个研究平抛运动的演示实验装置.对于这两个演示实验的认识,下列说法正确的是 ( )专题课:平抛运动规律的应用
学习任务一 平抛运动的两个重要二级结论
[科学推理] (1)如图所示,设质点做平抛运动的速度方向与水平方向的夹角(速度偏向角)为α,位移方向与水平方向的夹角(位移偏向角)为θ,试证明tan α=2tan θ .
(2)如图所示,试证明平抛运动的速度反向延长线过水平位移的中点,即x'=.
例1 (多选)[2024·莆田一中高一月考] 如图所示,某人从O点对准正前方竖直靶上的a点,分别将两支飞镖水平掷出,飞镖打在靶上b、c两点,且与竖直方向的夹角分别为60°与30°,忽略空气阻力,则 ( )
A.两飞镖离开手时,速度大小相同
B.两飞镖在空中运动时间相同
C.两飞镖击中靶的速度大小相同
D.ac间距为ab间距的3倍
[反思感悟]
变式 (多选)如图所示,从某高度处水平抛出一小球,经过时间t到达地面时,速度与水平方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g.下列说法正确的是 ( )
A.小球水平抛出时的初速度大小为
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大,则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大,则θ减小
[反思感悟]
学习任务二 与斜面有关的平抛运动
一、平抛运动与斜面结合问题
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外平抛,垂直落在斜面上,如图所示,即已知速度的方向垂直于斜面 分解速度 tan θ==
已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上,如图所示,已知位移的方向沿斜面向下 分解位移 tan θ===
在斜面外平抛,落在斜面上位移最小,如图所示,已知位移方向垂直于斜面 分解位移 tan θ===
例2 [2024·三明一中高一月考] 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图中虚线所示,则下列说法正确的是 ( )
A.水平速度与竖直速度之比为tan θ
B.水平速度与竖直速度之比为
C.水平位移与竖直位移之比为
D.水平位移与竖直位移之比为
[反思感悟]
例3 (多选)[2024·仙游一中高一月考] 两个小球都从斜面上的顶端A水平抛出,一个落在斜面的中点C,一个落在斜面的底端B,不计空气阻力,则A、B两球 ( )
A.在空中的飞行时间之比为1∶2
B.初速度之比为1∶2
C.末速度之比为1∶
D.末速度方向与斜面的夹角的正切值之比为1∶1
[反思感悟]
二、与圆弧面有关的平抛运动
情景示例 解题策略
已知速 度方向 从圆弧形轨道外平抛,恰好无碰撞地进入圆弧形轨道,如图所示,即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ==
利用位 移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上,如图所示,位移大小等于半径R
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上,如图所示,水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
例4 [2025·龙岩高一期中] 我国的面食文化博大精深,种类繁多,其中“刀削面”堪称一绝,传统的操作手法是一手托面,一手拿刀,直接将面削到开水锅里,如图甲所示.某次削面的过程可简化为图乙,面片(可视为质点)以初速度v0= m/s水平飞出,正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中,锅的截面可视为圆心在O点的圆弧,锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为60°,不计空气阻力,重力加速度大小取10 m/s2,则 ( )
A.面片在空中运动的时间为0.3 s
B.面片在空中运动的水平位移为0.45 m
C.面片运动到锅边缘时的速度大小为4 m/s
D.面片从飞出到落到锅边缘的位移方向与水平方向的夹角为30°
[反思感悟]
例5 [2023·漳平三中高一月考] 如图所示,在竖直放置的半圆形容器中心O点分别以水平速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点),最终它们分别落在圆弧上的A点和B点,已知OA⊥OB,且OA与竖直方向夹角为α,则两小球初速度大小之比为 ( )
A.tan α
B.cos α
C.tan α
D.cos α
1.(与斜面有关的平抛运动)(多选)如图所示,A、E分别是斜面的顶端和底端,B、C、D 是斜面上的三个点,且AB=BC=CD=DE.从 A 点以不同的水平速度向左抛出两个小球(不计空气阻力),球 1 落在 B 点,球 2 落在 E点.两球从抛出到落在斜面上的运动过程中,下列说法正确的是 ( )
A.球1和球2运动的时间之比为1∶2
B.球1和球2抛出时初速度大小之比为1∶4
C.球1和球2在落点处的速度方向相同
D.球1和球2在落点处的速度大小之比为1∶4
2.(与圆弧面有关的平抛运动)如图所示,竖直放置、半径为R的半圆轨道直径边在水平地面上,O为圆心,A、B在轨道上,A是轨道最左端,OB与水平面夹角为60°. 在A点正上方P处将可视为质点的小球水平抛出,小球过B点且与半圆轨道相切,重力加速度为g,小球抛出时的初速度为 ( )
A. B.
C. D.
