苏科版数学九年级上册 1.2一元二次方程的解法——因式分解法 同步提优训练(含答案)

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名称 苏科版数学九年级上册 1.2一元二次方程的解法——因式分解法 同步提优训练(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2025-09-16 08:13:00

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苏科版数学九年级上册第一章一元二次方程同步提优训练(含答案)
1.2一元二次方程的解法——因式分解法
1.(2024灌云期中)方程 的解为( )。
A.
B.
C. 或
D. 或
2.一元二次方程 5 的解是( )。
A.
B.
C.
D.
3.若 的两根分别是 -3 与 5 ,则多项式 可以分解为( )。
A.
B.
C.
D.
4.方程 的根是 _____。
5.用因式分解法解方程 .
(1)移项得 ;
(2)方程左边化为两个平方差,右边为零,得_____ ;
(3)将方程左边分解成两个一次因式之积,得_____ ;
(4)解方程得 _____ , _____ .
6.(苏州中考)已知 是关于 的一元二次方程 的一个根,则 的值为 _____ .
7. 用因式分解法解方程。
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) .
8.若某三角形两边的长分别等于方程 的两个实数根,则这个三角形的第三边的长可能是( )。
A. 5
B. 10
C. 13
D. 14
9.(2024常州月考)定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为"友好方程"。如果关于 的一元二次方程 与 为"友好方程",则 可取的值有( )。
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
10.新趋势 开放性试题(2024-南京鼓楼区期中)写出一个一元二次方程,使它的两根分别为 -2 和 3 :_____ .
定义新运算""如下:当 时, ;当 时, .若( 1) ,则 _____.
12.(2024.徐州中考)如图所示,是用图形"○"和""按一定规律摆成的"小屋子"。按照此规律继续摆下去,第_____ 个"小屋子"中图形""的个数是图形" "个数的 3 倍。
13.新趋势 过程性学习(2025南通期中)利用 "转化"的数学思想,我们还可以解一些新方程。
例如:形如 这种根号内含有未知数的方程,我们称之为无理方程。
解法如下:
移项,得 .
两边同时平方,得 ,即 ,解这个一元二次方程,得 。【任务】
(1)小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解;小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程,还应考虑 的双重非负性。请写出你所认为的材料中无理方程正确的解;
(2)解下列方程:(1) ;(2) .
利用多项式的乘法法则,可以得到 ,反过来,则有 。小丽受到启发,运用该方法解出了方程 的解,小丽的解法如下:
,且 , 或 , 或 ,
原方程的解为 .
应用上面小丽的方法解决下列问题:
(1)解关于 的方程: 是常数,且都不为零);
(2)若关于 的方程 的两个解分别为 (其中 ),请求 的值;
(3)已知 为常数,求 的值.
参考答案
1.D 2.C 3.C 4.
5.
(3)
(4)
6.-3
7.(1)
(2) .
(3) .
(4) .
(5)原方程可变形为 或 .
(6)原方程可变形为 ,即 , .
8.B 解析:方程 可化简为 ,即 ,解得 这个三角形第三边的长 的取值范围是 ,这个三角形的第三边的长可能是 10 ,故选 B.
9.C 解析:化简方程 得 ,解得 或 ,化简方程 得 ,解得 或 这两个方程为"友好方程",(1)当 时, ,此时 ,满足题意;(2)当 时, ,此时 ,满足题意; (3)当 时, 无解;(4)当 时, ,此时 ,满足题意。综上所述, 可取的值有 ,共 3 个,故选 C.
10.(答案不唯一)解析:若一元二次方程的两根分别为 -2和 3 ,则方程可以为 ,整理得 .
11. 解析:(1)当 ,即 时,此时
,解得 .由于 ,所以两个根都舍去.
(2)当 ,即 时,此时 ,解得 .由于 ,所以符合题意.故答案为
12. 12 解析:由所给图形可知,第 1 个"小屋子"中图形""的个数为 1 ,"图"的个数为 ;第 2 个"小屋子"中图形" O "的个数为 ,""的个数为 ;第 3 个"小屋子"中图形""的个数为 , ""的个数为 第 个"小屋子"中图形""的个数为 ,"()"的个数为 .由题知 ,解得 ,又 为正整数,则 ,即第 12 个"小屋子"中图形" O "的个数是图形 "(-)"个数的 3 倍.
13.(1)对于 而言,有 且 ,即 .又 ,只有 符合条件, 不符合条件,故这个方程的解为 .
(2)(1) 或 或 .
(2) ,移项,得 ,两边平方,得 ,整理后,得 ,解这个一元二次方程,得 ,将 代人 ,可得左边 0 ,左边=右边,方程成立,符合题意;将 代人 ,可得左边 ,右边 ,左边 右边,不符合题意,舍去.综上, 。
14.(1) ,方程两边同乘 ,得 b) , 或 或 ,检验: 是常数,且都不为零, 当 或 时, 原方程的解为 .
(2) ,方程两边同乘 ,得 . 或 或 ,检验:当 或 时, 原方程的解为 .
(3) ,则 ,得 或 .