苏科版数学九年级上册1.4 用一元二次方程解决问题——面积问题与平均增长率问题 同步提优训练（含答案）

苏科版数学九年级上册第一章一元二次方程同步提优训练（含答案）
1.4用一元二次方程解决问题——面积问题与平均增长率问题
1．（2025．淮安期中）下表是某公司某年1月份至5月份的收入统计表。其中，2月份和5月份被墨水污染。若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为 ，根据表中的信息，可列方程为（ ）。
月份 1 2 3 4 5
收人万元 10 12 14
A．
B．
C．
D．
2．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：＂直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？＂其大意是：矩形面积是 864 平方步，其中宽与长的和为 60 步，问宽和长各几步？若设长为 步，可得方程为 _____.
3．（2025－南京月考）某产品原来成本是 25 元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少 4 元，设这个百分率为 ，可得方程为_____.
4．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 2 m ，另一边减少了 3 m ，剩余一块面积为 的矩形空地，则原正方形空地的边长是 _____ m．
5．（2023镇江中考）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加， 2 月份游客人数为 1.6 万人， 4 月份游客人数为 2.5 万人。
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率．
（2）预计 5 月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客 2.125 万人，则 5 月份后 10 天日均接待游客人数最多是多少万人？
6．（2023．常州中考）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为 。若纸张大小为 ，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的 ，则需如何设置页边距？
7．近几年，我国的环境问题主要表现在污染物排放比较大。某工厂在今年的 8、9月份连续两次降低重金属污染物排放量，共降至原来的 ，且第二次降低的百分率是第一次的 2 倍，则第二次降低的百分率为( ).
A．
B．
C．
D．
8．现要在一个长为 40 m ，宽为 26 m 的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草。如图所示，要使种植花草的面积为 ，那么小道的宽度应是( ).
A． 1 m
B． 1.5 m
C． 2 m
D． 2.5 m
9．如图，张大叔从市场上买了一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2 米，现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，则张大叔购买这张矩形铁皮共花费( ).
A． 600 元 B． 700 元 C． 800 元 D． 900 元
10．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 121 人患了流感，每轮传染中平均每人传染了_____ 个人。
11．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为 5 ，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为 736 ，则原两位数是_____ .
12．新题型 新定义（2025南通校级月考）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 2 倍，则我们称这个矩形是给定矩形的＂加倍矩形＂，当已知矩形的长和宽分别为 2 和 1 时，其＂加倍矩形＂的对角线长为_____ 。
13．建设美丽城市，改造老旧小区。某市2021年投入资金 1000 万元，2022 年与2023年共投人资金 2640 万元，现假定每年投入资金的增长率相同。
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个 80 万元。2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加 。如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区。
14．某农场要建一个饲养场 （矩形 ），两面靠墙（ 位置的墙最大可用长度为 25 米， 位置的墙最大可用长度为 15 米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，如图所示，两个场地各留一个 1 米宽的门（不用木栏），通道的宽 也为 1 米（不用木栏）。建成后木栏总长 45 米．设木栏 的长为 米，解答下列问题：
（1） _____米。（用含 的代数式表示）
（2）若饲养场（矩形 ）的面积为 189 平方米，求边 的长．
（3）饲养场（矩形 ）的面积能达到 240 平方米吗？若能达到，求出边 的长；若不能达到，请说明理由。
15．一个矩形纸片内放人两个边长分别为 3 cm和 4 cm 的小正方形纸片。按照图（1）放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分 （阴影部分）的面积为 ；按照图（2）放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 ；按照图（3）放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）。
（2） （3）
A．
B．
C．
D．
16．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大。该厂3、4月份共生产再生纸 800 吨，其中 4 月份再生纸产量比 3 月份的 2 倍少 100 吨。
（1）求 4 月份再生纸的产量；
（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元， 5 月份再生纸产量比上月增加 月份每吨再生纸的利润比上月增加 ，则 5 月份再生纸项目月利润达到 66 万元，求 的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元， 4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与 6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 。求 6 月份每吨再生纸的利润是多少元。
参考答案
（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ，由题意得 ，解得 （负值已舍去）。
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 ．
（2）设 5 月份后 10 天日均接待游客人数是 万人，由题意，得 ，解得 月份后 10 天日均接待游客人数最多是 0.1 万人。
6．设页边距为 ，则可列方程为 ，解得 （舍去），故页边距为 1 cm 。
7．B 解析：设第二次降低的百分率为 ，则第一次降低的百分率为 ，由题意得 ，解得 （舍去）。故选 B。
8．A 解析：设小道的宽度为 ，依题意得 。整理，得 ，解得 ．又 ， ．故小道的宽度应为 1 m ．故选 A．
9．B 解析：设长方体箱子宽为 米，则长为 米．依题意，有 ．
整理得 ，解得 （舍去）， 这种长方体箱子底部长为 5 米，宽为 3 米。由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为 （平方米）， 购买这张矩形铁皮共花费 （元）。故选 B。
10． 10 解析：设每轮传染中平均每人传染了 个人。依题意，得 ，即 ，解得 （舍去），即每轮传染中平均每人传染了 10 个人。
（1）传播感染问题：开始只有一个传播源，第一轮传给 个，第二轮中最开始的传播源还会继续传播，所以第二轮传染给 个：两轮总共是 个。如果开始有 个传播源，每个传播源每轮传染 个，那么经过两轮传播后共有 个。 （2）树枝分叉问题：开始只有一主干，第一轮主干长出 个支干，第二轮主干不再参与，就只有 个支干，每个支干再长出 个分支，所以第二轮有 个支干，两轮总共是 个支干。
11． 23 或 32 解析：设原两位数的十位数字为 ，则个位数字为 ，根据题意，得 ，整理，得 ，解得 或 原两位数是 23 或 32 。
12． 解析：设＂加倍矩形＂的长为 ，则宽为 ，由题意得 ，整理得 ，解得 ， ，当 时，宽为 ，符合题意；当 时，宽为 ，不符合题意；所以＂加倍矩形＂的长为 ，宽为 。 ，所以＂加倍矩形＂的对角线长为 ．
13．（1）设该市改造老旧小区投人资金的年平均增长率为 ，根据题意得 ，化简得 ，解得 ，经检验， 符合本题要求。故该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ．
（2）由（1）可得，该市 2022 年投入资金
1200 （万元），则2023年投人资金 （万元）．设该市在 2024 年可以改造 个老旧小区，由题意得 ，解得 为正整数， 最多可以改造 18 个老旧小区。故该市在 2024 年最多可以改造 18 个老旧小区。
14．（1）（48－3x）解析：设木栏 的长为 米，根据题意，得坚直方向围墙需要木栏长度为 （米）， 建成后木栏总长 45 米，（米），（米）．
（2）设木栏 的长为 米，则 的长为 米，依题意，得 ，即 ，解得 ，当 时， 米 米，舍去，当 时， 米 米，符合题意。
答：饲养场面积是 189 平方米，此时边 的长为 21 米．
（3）饲养场（矩形 ）的面积不能达到 240 平方米。理由如下：设木栏 的长为 米，则 的长为 米，依题意，得 （48－ ，即 没有实数根， 饲养场（矩形 ）的面积不能达到 240 平方米．
15．C 解析：设矩形的长为 ，宽为 ，根据题意可得
将（2）－（1）） 可得出 ，即 （3），将（3）代人（2）中可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），则 ，则矩形的宽为 5 cm ，长为 6 cm ，按照图（3）放置的时候，未覆盖的面积为 ，故选 C．
16．（1）设 3 月份再生纸产量为 吨，则 4 月份的再生纸产量为（ 100）吨，
由题意得 ，解得 ．故 4 月份再生纸的产量为500吨。
（2）由题意得 ，
解得 （负值已舍去）， 的值为 20 ．
（3）设 4 至 6 月每吨再生纸利润的月平均增长率为 月份再生纸的产量为 吨，
，故 6 月份每吨再生纸的利润是 1500 元．