苏科版数学九年级上册 1.4 用一元二次方程解决问题——几何图形相关问题 同步提优训练（含答案）

苏科版数学九年级上册第一章一元二次方程同步提优训练（含答案）
1.4用一元二次方程解决问题——几何图形相关问题
1．如图，把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（ ）。
（第1题）
A． 5 m B． C． D．
2.新趋势 数学文化（2024 扬州模拟）我国古代数学家赵爽创制了一幅＂赵爽弦图＂，极富创新意识地给出了勾股定理的证明。如图所示， ＂赵爽弦图＂是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是 25 ，小正方形的面积是 1 ，则 （ ）。
（第2题）
3.新趋势 数学文化（2023．无锡中考）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竽不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出 4 尺，坚放，竿比门高长出 2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等。问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 _____尺。
4．（2024 海安期 中） 中， ，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动，与此同时，点 从点 开始沿边 向终点 以 的速度移动．如果点 分别从点 同时出发，当点 运动到点 时，两点停止运动．设运动时间为 秒．
（1）填空： _____ ， ．（用含 的代数式表示）
（2）当 为何值时， 的长度等于 10 cm ？
（3）是否存在 的值，使得 的面积等于 ？若存在，请求出此时 的值；若不存在，请说明理由。
5．如图，点 在矩形 的 边上，将 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，若 ， ，则 的长为（ ）.
A． 9
B． 12
C． 15
D． 16
6．（2024 苏州模拟）如图，一块正方形地砖的图案是由 4 个全等的五边形和 1 个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段 的长度为 ，则这块地砖的面积为（ ）.
A． 50
B． 40
C． 30
D． 20
7．如图（1），在矩形 中，点 为 的中点，点 沿 从点 运动到点 ，设 两点间的距离为 ，点 运动时 关于 的函数图像如图（2）所示，则 的长是_______ 。
（1）
（2）
8．（2024．连云港期中）如图，将边长为 4 的正方形 沿其对角线 剪开，再把 沿着 方向平移，得到 ．
（1）当两个三角形重叠部分的面积为 3 时，求移动的距离 ；
（2）当移动的距离 是何值时，重叠部分是菱形？
9．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册中的一道思考题进行了认真探索．思考题：如图，一架 2.5 米长的梯子 斜靠在坚直的墙 上，这时点 到墙底端 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么点 将向外移动多少米？
（1）请你将小明对＂思考题＂的解答补充完整。解：设点 将向外移动 米，即 米，则 米，（米），而 米，在 Rt 中，由 ，得方程，解方程得 _____ ， _____ , 点 将向外移动 米。
（2）解完＂思考题＂后，小聪提出了如下两个问题：
问题（1）：在＂思考题＂中，将＂下滑 0.4 米＂改为 ＂下滑 0.9 米＂，那么该题的答案会是 0.9 米吗？为什么？
问题（2）：在＂思考题＂中，梯子的顶端从 处沿墙 下滑的距离与点 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
10．如图，某海军基地位于 处，其正南方向 200 海里处有一个重要目标 ，在 的正东方向 200 海里处有一重要目标 。小岛 位于 的中点，岛上有一补给码头，小岛 位于 上且恰好处于小岛 的正南方向，一艘军舰从 出发，先后沿 方向经过 向着 匀速巡航，一艘补给船同时从 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
（1）小岛 和小岛 相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船速度的 2 倍，军舰在由 向着 航行的途中与补给船相遇于 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到 0.1 海里， ）
11．（扬州中考）如图，在等腰直角三角形 中， ，点 的坐标为 ，若直线 把 分成面积相等的两部分，则 的值为 。
12．如图，已知 为矩形的四个顶点， ，动点 分别从点 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到点 为止，点 以 的速度向点 移动，设移动的时间为 秒．
（1）当 为何值时， 两点间的距离最小？最小距离是多少？
（2）连接 ．
（1）当 为等腰三角形时，求 的值．
（2）在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D 解析：设小圆形场地的半径为 ，则大圆形场地的半径为 。根据题意，得 ，解得 或 （不合题意，舍去）．故小圆形场地的半径为 。
2.3 解析： 大正方形的面积是 25 ，小正方形的面积是 ，根据题意，设 ，则 ．在 Rt 中， ，即 ，解得 （负值已经舍去）， ，即 ．
3． 8 解析：设门高 尺，依题意，竿长为 尺，门的对角线长为 尺，门宽为 尺， ，解得 或 （舍去），故答案为 8 ．
4．（1）
（2） 是直角三角形，根据勾股定理得 ，即 ，解得 或 4 时， 的长度等于 10 cm ．
（3）存在．由题意得 ，即 ，解得 当点 运动到点 时，两点停止运动，即 ，解得 时， 的面积等于 ．
5．A 解析：设 四边形 是矩形， 将 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点 处， ． 在 Rt 中， ，解得 （舍去）， 。 ．故选 A．
6．B 解析：如图，根据题意易知，点 为正方形 的中心， ，即 ． ．设正方形 的边长为 ，则 ，解得 或 ．故选 B．
7． 6 解析：由题图（2）可知，当点 位于点 时， ，即 1，在题图（1）中连接 的最大值为 的长，由题图（2）可知 的最大值为 点 位于点 时， 5 ，即 ，则 在矩形 中， 在 Rt 中，由勾股定理得 ，即 点 为 的中点， ．
8．（1）如图，设 与 交于点 与 交于点 ．
设 ，则 ．
由题意得 ，解得 或 3 。
故移动的距离 或 3 ．
（2）当四边形 是菱形时， ．
设 ，则 。
由题意得 ，即 ，
解得 或 （舍去）．
故当移动的距离 是 时，重叠部分是菱形．
9．（1）（舍去） 0.8
（2）（1）不会是 0.9 米．理由如下：
米，（米）
在 Rt 中，（米）．
则 （米）。
故梯子底部 向外移动 1.3 米。
（2）有可能。理由如下：
设梯子顶端从 处下滑 米，点 向外也移动 米，则有 ，
解得 或 （舍去）．
当梯子顶端从 处下滑 1.7 米时，点 向外也移动 1.7 米，即梯子顶端从 处沿墙 下滑的距离与点 向外移动的距离有可能相等。
10．（1）连接 ，则 ，
海里，
海里，
海里， ．
在 Rt 中，设 海里，
根据勾股定理得 ，解得 ，
海里，
小岛 和小岛 相距 100 海里．
（2）设相遇时补给船航行了 海里，
则 海里， 海里， 海里，
在 Rt 中，根据勾股定理，可得 ，
整理得 ，解得 ，
．
不合题意，舍去，
相遇时补给船大约航行了 118.3 海里．
11． 解析： 一次函数 的图像
一定过点 Rt 是等腰直角三角形， ，且点 的坐标为 易得点 的坐标为 ．如图（1），当直线经过点 时，显然 ，不符合题意。要使直线 把 分成面积相等的两部分，必然如图（2）所示，其中 ，且 ，即 ．当 时， 点 的坐标为 ．易得直线 的函数表达式为 ．将其与直线 联立，即 解得 直线 与直线 的交点 的坐标为 ．又 的高即为点 的横坐标，
，解得 或 （舍去），故答案为 ．
（1）
（2）
旧纳总结
（1）直线恒过定点：含参数 的直线方程，不论 取何值时，直线恒过某个定点。把直线方程中含有参数 的项分离出来，合并为一项，令 的系数为 0 ，从而求得该定点。
（2）点恒在定直线上：若点 的横、纵坐标均用 的一次多项式表示，可分别用含 的代数式表示 之后消去 ，从而得到一个直线方程，则点 恒在该直线上．
12．（1）根据题意，可得 ， ．当 时， 最小，此时四边形 是矩形， ，解得 当 时， 最小， 的最小距离为 6 cm ．
（2）（1）如图，过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ．
当点 在点 左侧时， ，当点 与点 重合时，由（1）得 ，此时 不是等腰三角形，当点 在点 右侧时， 16）cm． 点 不与点 重合时 ．在 Rt 中，根据勾股定理，可得 ，当 时，可得 ，整理可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，整理可得 0 ，解得 或 （不符合题意，舍去）；当 时， 为 的中点， ，解得 ．综上可得当 为等腰三角形时， 的值为 或 或 ．
（2）不存在一个时刻，使得 ，理由如下：
当 时，可得 ，即 ，整理可得 此方程无实数解， 不存在一个时刻，使得