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专题课：抛体运动中的临界问题
类平抛运动
学习任务一 抛体运动中的临界极值问题
学习任务二 类平抛运动
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 抛体运动中的临界极值问题
［科学思维］
与平抛运动相关的临界极值情况
(1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点.
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在
着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点.
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，
这些极值也往往是临界点.
例1 如图所示，窗子上、下沿间的高度差，墙的厚度 .某人
在到墙壁距离为、距窗子上沿高度为 处的 点将可视为质点
的小物体以速度水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上， 取
,则 的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 小物体做平抛运动，根据平抛运动规律可知，恰好擦着窗子上沿右侧穿
过时初速度最大，此时有,，解得 ，恰好擦着
窗子下沿左侧穿过时初速度最小，此时有, ，解得
，所以 的取值范围是
，故C正确.
例2 ［2023·泉州高一期末］ 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台
面的长和宽分别为和，中间球网高度为 ，发射机安装于台面左侧边缘的中
点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 .不
计空气的作用，重力加速度大小为，若乒乓球的发射速率 在某范围内，通过
选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
√
抛运动规律可知， ，，联立解得 ，
即速率 的取值范围为 ，
故A、B、C错误，D正确.
[解析] 当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速率最小，由平
抛运动规律可知，，，联立解得 ；当发射机正
对右侧台面的某个角发射且乒乓球恰好到达那个角上时，发射速率最大；由平
例3 (多选)［2024·泉州一中高一月考］ 冬奥会中跳台滑雪项目是勇敢者的运动，
运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑区上获得高速后水平飞出，图乙是滑
道的简略示意图，飞行着陆区斜面倾角为 ，从飞出点水平飞出时的速度大小
为 ，各功能区的高度和坡度都是定值，运动员可视为质点和忽略各种阻力，
重力加速度为 ,则( )
A.运动员水平飞出后，当 时，运动员离斜面最远
B.由于运动员质量不同，因此落在飞行着陆区时的速度方向不同
C.运动员水平飞出后到落回斜面的时间是
D.运动员水平飞出后离斜面最远距离为
√
√
[解析] 运动员离斜面最远时速度方向与斜面平行，即满足 ，运动员竖
直方向的速度大小 ，从飞出到离斜面最远的时间 ，
故A正确；运动员在飞行着陆区做平抛运动，根据位移分解有 ，着
陆时，令速度与水平方向夹角为 ，根
据速度分解有，
可知，运动员落在飞行着陆区时的
速度方向相同，故B错误；
运动员在飞行着陆区做平抛运动，令落点到飞出点间距为 ，则有，，解得 ，故C错误；运动员在飞行着陆
区做平抛运动，将运动沿斜坡与垂直于斜坡分解，垂直于斜坡方向分运动为初速度为 ，加速度为 的双向匀变速直线运动，当速度减为0时，距
离斜坡最远，利用逆向思维有
,解得
,故D正确.
【要点总结】
平抛运动临界问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质
(2)根据题意确定临界状态
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解
学习任务二 类平抛运动
［科学思维］
1.类平抛运动的分析
所谓类平抛运动,就是受力特点和运动特点类似于平抛运动,即受到一个恒定的外
力且外力与初速度方向垂直,物体做匀变速曲线运动.
(1)受力特点:物体所受合力为恒力,且与初速度的方向垂直.
(2)运动特点:沿初速度 方向做匀速直线运动,沿合力方向做初速度为零的匀加
速直线运动.
2.求解方法
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速
度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动.
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度 分
解为、,初速度分解为、,然后分别在、 方向上列方程求解.
例4 (多选)如图所示,一光滑宽阔的斜面倾角为 ,高为,现有一小球在 处以水
平速度射出,最后从处离开斜面,重力加速度为 ,下列说法正确的是 ( )
A.小球的运动轨迹为抛物线
B.小球的加速度为
C.小球从处到达处所用的时间为
D.小球到达处时水平方向位移大小为
√
√
[解析] 小球受重力和支持力两个力作用,合力沿斜面向下,与初速度方向垂直,做
类平抛运动,其运动轨迹为抛物线,故A正确; 根据牛顿第二定律知,小球的加速度
,故B正确;小球在沿加速度方向上的位移为 ,根据
, 解得 ,故C错误;小球在沿初速度方向的位移
,小球在沿加速度方向的位移的水平
分位移 ,则小球在水平方向的总位移
,故D错误.
例5 ［2024·江苏镇江高一月考］正在公路上行驶的汽车，只需按下一个键，就
能轻松切换到飞行模式，变身飞机跃入天空，这就是飞行汽车!一辆飞行汽车在
平直的公路上以 的速度行驶，某时刻司机启动飞行模式，汽车保持水平
速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过一段时间爬升到高处.用 表
示水平位移，表示竖直位移，这一过程的图像如图所示.取 ，求
汽车飞行时：
(1) 从启动飞行模式，到离地 高处需要多长时间；
[答案]
[解析] 由题可知，汽车在水平方向做匀速直线运动，根据 图像可知，到离
地高处时的水平位移为，则从启动飞行模式到离地 高处的
时间为
例5 ［2024·江苏镇江高一月考］正在公路上行驶的汽车，只需按下一个键，就
能轻松切换到飞行模式，变身飞机跃入天空，这就是飞行汽车!一辆飞行汽车在
平直的公路上以 的速度行驶，某时刻司机启动飞行模式，汽车保持水平
速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过一段时间爬升到高处.用 表
示水平位移，表示竖直位移，这一过程的图像如图所示.取 ，求
汽车飞行时：
(2) 到达 高处时竖直速度和瞬时速度的大小
(可用根式表示).
[答案]
[解析] 由题可知，汽车在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据匀
变速直线运动规律有
可得，到达 高处时竖直速度的大小为
则到达 高处时的瞬时速度的大小为
【要点总结】
类平抛运动与平抛运动的区别：
做平抛运动的物体初速度水平,物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力, ;
做类平抛运动的物体初速度不一定水平,但物体所受合力与初速度的方向垂直且
为恒力, .
1.(多选)中央电视台综艺节目《加油!向未来》中有一个橄榄球
空中击剑游戏:如图所示,宝剑从空中距地面高处的 点自由落
下,同时橄榄球(可看成质点)从点以速度沿方向抛出,
与水平方向的夹角为 ,橄榄球恰好在空中 点击中剑尖,不计
空气阻力,重力加速度为 .下列说法正确的是( )
A.若橄榄球以的速度沿原方向抛出,则一定在 点上方击中剑尖
B.若橄榄球仍沿原方向抛出,则能击中剑尖的最小速度为
C.若橄榄球仍沿原方向抛出,则能击中剑尖的最小速度为
D.橄榄球仍沿原方向抛出,若速度过大,则可能无法击中剑尖
√
√
[解析] 若橄榄球以 的速度沿原方向抛出,则水平方向的速度增大,运动到相遇
点的时间减小,宝剑在这段时间内下降的高度减小,所以橄榄球一定在 点
上方击中剑尖,故A正确; 橄榄球仍沿原方向抛出,水平方向上的分速度为
,水平位移,设击中剑尖时运动的时间为,有 , 根据
题意知,解得 ,
故B正确,C、D错误.
2.将一抛球入框游戏简化如下：在地面上竖直固定
一矩形框架，框架高、长 ，抛球点位于框架
底边中点正前方处，离地高度为 ，如图所
示，假定球被水平抛出，方向可在水平面内调节，
不计空气阻力，忽略框架的粗细，球视为质点，球
A. B. C. D.
要在落地前进入框内，则球被抛出的速度大小可能为取 ( )
√
[解析] 无论向哪个方向水平抛球，球都做平抛运动. 设， ，
，，当速度 最小时，球打在框架底边的中间位置，则有
，，解得.当速度 最大时，球打在框架顶边的
边缘位置，则有， ，
解得 ，则球抛出的速度大小范围为
，故选项B正确.
3.如图所示,一阶梯的每级台阶的高与宽都为 ,小球以水平速度飞出,欲打在第四级台阶上,取,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 若小球打在第四级台阶的边缘上,则下落高度,根据 ,解
得,而水平位移 ,则平抛运动的水平速度
;若小球打在第三级台阶的边缘上,则下落高度
,根据,解得 ,而水平位移 ,则平抛运动的水平速度,故 ,选项A正确.
1.(平抛运动的临界问题)［2023·莆田一中高一月考］ 套圈游戏是一项趣味活动.
如图所示,某次游戏中,一小孩从距地面高处水平抛出半径
的圆环(圆环面始终水平),套住了距圆环前端水平距离为 、高度
的竖直细圆筒.取 ,小孩抛出圆环的速度可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 圆环做平抛运动,其竖直分运动为自由落体运动,由 ,得
，环前端与细圆筒的水平距离 ,
圆环的最小抛出速度 ,圆环后端与细圆筒的水平距离
为 ,则圆环的最大抛出速度
,故圆环被抛出时的速度大小
的取值范围为 ,选项C正确.
2.(抛体运动的临界问题)如图所示,一阶梯的每级台阶的高与宽都为 ,小球以
水平速度飞出,欲打在第四级台阶上,取,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 若小球打在第四级台阶的边缘上,则下落高度,根据 ,解
得,而水平位移 ,则平抛运动的水平速度
;若小球打在第三级台阶
的边缘上,则下落高度,根据 ,解得
,而水平位移 ,则平抛运
动的水平速度 ,故
,选项A正确.
3.(类平抛运动)［2024·福州高一期末］ 如图所示,一物体在某液体中运动时只受
到重力和恒定的浮力的作用,且为重力的.若物体从点以水平初速度 开
始运动,最后落在点,、间的竖直高度为,重力加速度为 ,则下列说法正确的
是( )
A.从运动到的时间为
B.与之间的水平距离为
C.从运动到 的轨迹为抛物线
D.减小水平初速度 ,运动时间将变长
√
[解析] 受力分析可知,由牛顿第二定律可知 ,方向
竖直向下,与初速度方向垂直,故该物体做类平抛运动,所以有 ,解得
,故A选项错误;水平距离 ,故B选项错误;
该物体做类平抛 运动,所以轨迹为抛物线,故C选项正确;做类平抛运动的物体的运动时间与初速度无关,故D选项错误.
练习册
知识点一 抛体运动中的临界极值问题
1.(多选)如图所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平跳跃并离开
屋顶，在下一个建筑物的屋顶上着地.如果他在屋顶跑动的最大速度是 ，
那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是取 ( )
A.他安全跳过去是可能的
B.他安全跳过去是不可能的
C.如果要安全跳过去，他在屋顶跑动的最小速度为
D.如果要安全跳过去，他在屋顶跑动的最小速度为
√
√
[解析] 若能安全跳过去，根据得 则安全跳过
去的最小初速度为 ，可知他安全跳过去是
不可能的， 、D错误，B、C正确.
2.如图所示，一圆柱形容器高为，底部直径也为，一小球离地高为 ，球到
容器左侧的水平距离也为，重力加速度为 ，现将小球水平抛出，要使小球直
接落在容器底部，小球抛出的初速度大小 的范围为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 要使小球直接落在容器的底部，设最小初速度为，则有 ，
，联立解得，设最大初速度为，则有， ，
联立解得，因此小球抛出的初速度大小范围为 ，故
选B.
3.［2024·莆田一中高一月考］中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里.如图，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为，与锅沿的水平距离为 ，锅的半径也为 ，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为 ，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是 ( )
A.运动的时间都相同
B.速度的变化量都相同
C.落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度为，则
√
[解析] 根据可得运动的时间 ，所有小面圈在空中运动的时间
都相同，A正确，不符合题意；根据 可得所有小面圈的速度的变化量都相同，B正确，不符合题意；因为水平位移的范围为 ，则水平最小初速度为，水平最大初速度为 ，则水平初速度的范围为 ，
D正确，不符合题意；
落入锅中时，最大速度 ，最小速度为
，C错误，符合题意.
4.(多选)如图所示，消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火，消防水炮离地的最
大高度 ，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，其水平射出
的初速度可在之间进行调节，着火点在高 的楼层.出水口与
着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度取 .下列说法正确的
是( )
A.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离最大为
B.如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离最小为
C.如果出水口与着火点的水平距离不能小于 ，则射出
水的初速度最小为
D.若该着火点高度为 ，则该消防车仍能有效灭火
√
√
[解析] 出水口与着火点之间的最大高度差为，由 ，解得水从
出水口到着火点的最长时间，由于 ，因此出水口与
着火点的水平距离的范围为 ，故A错误，B正确；如果出水口
与着火点的水平距离不能小于，则最小出水速度为 ，故C正确；如
果着火点高度为 ，保持出水口水平，则水不能到
达着火点，故D错误.
知识点二 类平抛运动
5.［2024·泉州五中高一月考］如图所示,、 两个质
点以相同的水平速度从坐标原点沿 轴正方向抛出,
在竖直平面内运动,落地点为, 紧贴光滑的斜面运
动,落地点为,、在同一水平面内,和 对应的
轴坐标分别为和 ,不计空气阻力.下列说法正确
的是( )
A. B. C. D.无法判断
√
[解析] 设、质点抛出时的水平初速度为,下落高度为, 质点做平抛运动,运
动的时间为,质点做类平抛运动,在斜面上沿垂直 方向有
, 为斜面与水平面的夹角,解得,可知 ,质点
沿轴方向运动的距离为,可得 ,故选C.
6.如图，一个人拿着一个小球想把它扔进前方一堵竖直墙的洞里，洞比较小，
球的速度必须垂直于墙的方向才能进入，洞离地面的高度 ，人抛球出
手时，球离地面高度，人和墙之间有一张竖直网，网高度 ，
网离墙距离，不计空气阻力，取 ，下列说法正确的是( )
A.只要人调整好抛球速度大小以及抛射角度，
不管人站在离网多远的地方，都可以把球扔进洞
B.要使球扔进洞，人必须站在距离网至少 处
C.要使球扔进洞，人必须站在距离网至少 处
D.要使球扔进洞，人必须站在距离网至少 处
√
[解析] 球的运动是斜上抛运动，最后垂直墙进入洞里，则可以把它看成是从洞
开始的平抛运动，从洞到高的网过程中有
，得出，
水平方向上，若恰好擦网有 ，得出
，从墙洞的位置，到人抛出球的位置处，竖直方向上有 ，得出 ，故人距离墙的水平距离至少为 ，故要使球扔进洞，人与网的距离至少为 ，故选B.
7.［2023·莆田一中高一月考］如图所示,将质量为
的小球从倾角为 的光滑斜面上 点以速度
水平抛出即,小球运动到 点,
已知、间的高度差,取 ,则小球从
A., B., C., D.,
[解析] 小球在斜面上做类平抛运动,平行于 方向,由牛顿第二定律及位移公式
分别可得,,联立解得小球从点运动到 点所用的时间
为,到达点时的速度大小为,代入数据解得 ,
故选D.
点运动到点所用的时间和到达 点时的速度大小分别为( )
√
8.［2023·漳平一中高一月考］如图所示为乒乓球桌面示意图，球网上沿离桌面
的高度为，网到桌边的水平距离为 .在某次乒乓球训练中，从左侧与网水平距
离为 处将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌面右侧边
缘.设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是( )
A.击球点的高度与网的高度之比为
B.乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为
C.乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时竖直
分速度之比为
D.乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为
√
[解析] 乒乓球在水平方向上做匀速直线运动，网右侧的水平位移是网左侧水平
位移的两倍，由 可知，乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为
，乒乓球在竖直方向上做自由落体运动，根据 可知，乒乓
球在网上面运动时下落的高度与整个高度之比为 ，将击球点的高度分为9份，
网高占高度的8份，故击球点的高度与网的高度之比为 ，A、B错误；从抛出
到过网，所用时间为，则球运动的总时间为，根据 可知，球恰好通
过网的上沿时竖直分速度与落到右侧桌边缘时竖直分速度之比为 ，C错误；在网右侧运动时间是在网左侧运动时间的两倍，根据 可知，乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为 ，D正确.
9.(3分)［2023·山东聊城高一期末］ 大马哈鱼需要逆流而上到上游产卵，运动
过程中有时还要跃上瀑布.这种鱼跃出水面的速度可达.不计空气阻力，
取.若大马哈鱼某次跃出水面的速度方向斜向上，与水面成 角，则
它能达到的最大高度约为____，最远水平距离约为____ .
3.2
9.6
[解析] 大马哈鱼在竖直方向做竖直上抛运动，根据逆向思维，将大马哈鱼运动
到最高点的运动可看作自由落体运动，则有 ，代入数据解得
，运动时间为 ，大马哈鱼在水平方向做匀
速直线运动，最远水平距离约为 .
10.(12分)如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在处越过宽
的壕沟，沟对面水平路面比处低.取 ，空气阻力不计.求：
(摩托车视为质点，结果可用根号表示)
(1) (4分)摩托车在空中飞行的时间；
[答案]
[解析] 摩托车从 处越过壕沟的过程做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，有
代入数据解得
10.(12分)如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在处越过宽
的壕沟，沟对面水平路面比处低.取 ，空气阻力不计.求：
(摩托车视为质点，结果可用根号表示)
(2) (4分)摩托车竖直方向的末速度；
[答案]
[解析] 竖直方向的末速度
10.(12分)如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在处越过宽
的壕沟，沟对面水平路面比处低.取 ，空气阻力不计.求：
(摩托车视为质点，结果可用根号表示)
(3) (4分)摩托车开始飞越壕沟的初速度的最小值.
[答案]
[解析] 摩托车恰好越过壕沟时的初速度即为所求最小初速度.水平方向做匀速直
线运动，有
代入数据解得
11.(16分)［2024·福建师大附中高一月考］ 在篮球比赛中，投篮的投出角度太
大和太小，都会影响投篮的命中率.在某次投篮表演中运动员在空中一个漂亮的
投篮，篮球以与水平面成 的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点
和篮筐正好在同一水平面上，投球点到篮筐距离为，不考虑空气阻力，
取 .(答案可保留根号)
(1) (5分)篮球在空中运动时间有多长？
[答案]
[解析] 由题意知，篮球在空中做斜抛运动，水平位移 ，落入篮筐时的
速度与水平方向的夹角 ，由于投球点和篮筐正好在同一水平面上，根
据对称关系，设篮球从最高点到落入筐中的时间为 ，
则水平方向有
竖直方向上有
根据角度关系得
联立解得，，，
根据对称性，篮球在空中运动的时间
所以
11.(16分)［2024·福建师大附中高一月考］ 在篮球比赛中，投篮的投出角度太
大和太小，都会影响投篮的命中率.在某次投篮表演中运动员在空中一个漂亮的
投篮，篮球以与水平面成 的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点
和篮筐正好在同一水平面上，投球点到篮筐距离为，不考虑空气阻力，
取 .(答案可保留根号)
(2) (5分)篮球运动过程中的最小速度有多大？
[答案]
[解析] 根据 可知篮球运动过程的最小速度是最高点的速度，即最小速度为
11.(16分)［2024·福建师大附中高一月考］ 在篮球比赛中，投篮的投出角度太
大和太小，都会影响投篮的命中率.在某次投篮表演中运动员在空中一个漂亮的
投篮，篮球以与水平面成 的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点
和篮筐正好在同一水平面上，投球点到篮筐距离为，不考虑空气阻力，
取 .(答案可保留根号)
(3) (6分)篮球进筐的速度有多大？
[答案]
[解析] 篮球进筐的速度，得
例1 C 例2 D 例3 AD 例4 AB
例5 （1） （2）<
随堂巩固
1.C 2.A 3.C
基础巩固练
1.BC 2.B 3.C 4.BC 5.C
综合提升练
6.B 7.D 8.D 9.3.2 9.6
10.（1） （2） （3）
11.（1） （2） （3）专题课:抛体运动中的临界问题 类平抛运动
1.BC [解析] 若能安全跳过去,根据h=gt2得t== s=1 s则安全跳过去的最小初速度为v0== m/s=6.2 m/s>4.5 m/s,可知他安全跳过去是不可能的, A、D错误,B、C正确.
2.B [解析] 要使小球直接落在容器的底部,设最小初速度为v1,则有L=gt12 ,v1=,联立解得v1=,设最大初速度为v2,则有2L=g,v2=,联立解得v2=,因此小球抛出的初速度大小范围为3.C [解析] 根据h=gt2可得运动的时间t=,所有小面圈在空中运动的时间都相同,A正确,不符合题意;根据Δv=gΔt可得所有小面圈的速度的变化量都相同,B正确,不符合题意;因为水平位移的范围为L4.BC [解析] 出水口与着火点之间的最大高度差为h=20 m,由h=gt2,解得水从出水口到着火点的最长时间t=2 s,由于5 m/s≤v0≤15 m/s,因此出水口与着火点的水平距离s的范围为10 m≤s≤30 m,故A错误,B正确;如果出水口与着火点的水平距离不能小于15 m,则最小出水速度为7.5 m/s,故C正确;如果着火点高度为40 m,保持出水口水平,则水不能到达着火点,故D错误.
5.C [解析] 设A、B质点抛出时的水平初速度为v0,下落高度为h,A质点做平抛运动,运动的时间为tA=,B质点做类平抛运动,在斜面上沿垂直v0方向有=gsin θ,θ为斜面与水平面的夹角,解得tB=,可知tB>tA,质点沿x轴方向运动的距离为x=v0t,可得x16.B [解析] 球的运动是斜上抛运动,最后垂直墙进入洞里,则可以把它看成是从洞开始的平抛运动,从洞到高h的网过程中有H-h=gt2,得出t== s=0.4 s,水平方向上,若恰好擦网有L=v0t,得出v0== m/s=5 m/s,从墙洞的位置,到人抛出球的位置处,竖直方向上有H-h0=gt'2,得出t'=0.6 s,故人距离墙的水平距离至少为x=v0t'=5×0.6 m=3 m,故要使球扔进洞,人与网的距离至少为x'=x-L=3 m-2 m=1 m,故选B.
7.D [解析] 小球在斜面上做类平抛运动,平行于CE方向,由牛顿第二定律及位移公式分别可得mgsin θ=ma,=at2,联立解得小球从A点运动到B点所用的时间为t=2 s,到达B点时的速度大小为v=,代入数据解得v=10 m/s,故选D.
8.D [解析] 乒乓球在水平方向上做匀速直线运动,网右侧的水平位移是网左侧水平位移的两倍,由x=v0t可知,乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为t左∶t右=1∶2,乒乓球在竖直方向上做自由落体运动,根据h=gt2可知,乒乓球在网上面运动时下落的高度与整个高度之比为1∶9,将击球点的高度分为9份,网高占高度的8份,故击球点的高度与网的高度之比为9∶8,A、B错误;从抛出到过网,所用时间为Δt,则球运动的总时间为3Δt,根据v=gt可知,球恰好通过网的上沿时竖直分速度与落到右侧桌边缘时竖直分速度之比为1∶3,C错误;在网右侧运动时间是在网左侧运动时间的两倍,根据Δv=gt可知,乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2,D正确.
9.3.2 9.6
[解析] 大马哈鱼在竖直方向做竖直上抛运动,根据逆向思维,将大马哈鱼运动到最高点的运动可看作自由落体运动,则有(vsin 53°)2=2gh,代入数据解得h=3.2 m,运动时间为t== s=0.8 s,大马哈鱼在水平方向做匀速直线运动,最远水平距离约为x=2vtcos 53°=2×10×0.8×0.6 m=9.6 m.
10.(1)0.6 s (2)6 m/s (3)20 m/s
[解析] (1)摩托车从A处越过壕沟的过程做平抛运动,竖直方向上做自由落体运动,有
h=gt2
代入数据解得t=0.6 s
(2)竖直方向的末速度
vy=gt=6 m/s
(3)摩托车恰好越过壕沟时的初速度即为所求最小初速度.水平方向做匀速直线运动,有
x=v0t
代入数据解得v0=20 m/s
11.(1) s (2) m/s (3) m/s
[解析] (1)由题意知,篮球在空中做斜抛运动,水平位移x=10 m,落入篮筐时的速度v与水平方向的夹角θ=37°,由于投球点和篮筐正好在同一水平面上,根据对称关系,设篮球从最高点到落入筐中的时间为t,则水平方向有
vxt==5 m
竖直方向上有vy=gt
根据角度关系得=tan θ=
联立解得
t= s,v=,vx= m/s,vy= m/s
根据对称性,篮球在空中运动的时间t总=2t
所以t总= s
(2)根据v=
可知篮球运动过程的最小速度是最高点的速度,即最小速度为vmin=vx= m/s
(3)篮球进筐的速度v=,得v= m/s专题课:抛体运动中的临界问题 类平抛运动
例1 C [解析] 小物体做平抛运动,根据平抛运动规律可知,恰好擦着窗子上沿右侧穿过时初速度v最大,此时有L=vmaxt,h=gt2,解得vmax=7 m/s,恰好擦着窗子下沿左侧穿过时初速度v最小,此时有L+d=vmint',H+h=gt'2,解得vmin=3 m/s,所以v的取值范围是3 m/s例2 D [解析] 当发射机正对右侧台面发射,乒乓球恰好过网时,发射速率最小,由平抛运动规律可知,=v1t,3h-h=gt2,联立解得v1=;当发射机正对右侧台面的某个角发射且乒乓球恰好到达那个角上时,发射速率最大;由平抛运动规律可知,=v2t',3h=gt'2,联立解得v2=,即速率v的取值范围为例3 AD [解析] 运动员离斜面最远时速度方向与斜面平行,即满足tan θ=,运动员竖直方向的速度大小vy=v0tan θ,从飞出到离斜面最远的时间t==tan θ,故A正确;运动员在飞行着陆区做平抛运动,根据位移分解有tan θ=,着陆时,令速度与水平方向夹角为α,根据速度分解有tan α===2tan θ,可知,运动员落在飞行着陆区时的速度方向相同,故B错误;运动员在飞行着陆区做平抛运动,令落点到飞出点间距为L,则有Lsin θ=gt2,Lcos θ=v0t,解得t=,故C错误;运动员在飞行着陆区做平抛运动,将运动沿斜坡与垂直于斜坡分解,垂直于斜坡方向分运动为初速度为v0sin θ,加速度为gcos θ的双向匀变速直线运动,当速度减为0时,距离斜坡最远,利用逆向思维有(v0sin θ)2=2gcos θHmax,解得Hmax=,故D正确.
例4 AB [解析] 小球受重力和支持力两个力作用,合力沿斜面向下,与初速度方向垂直,做类平抛运动,其运动轨迹为抛物线,故A正确;根据牛顿第二定律知,小球的加速度a==gsin θ,故B正确;小球在沿加速度方向上的位移为,根据=at2,解得t= ,故C错误;小球在沿初速度方向的位移s=v0t= ,小球在沿加速度方向的位移的水平分位移y=cos θ=,则小球在水平方向的总位移s总=> >v0,故D错误.
例5 (1)20 s (2)20 m/s 10 m/s
[解析] (1)由题可知,汽车在水平方向做匀速直线运动,根据y x图像可知,到离地200 m高处时的水平位移x为600 m,则从启动飞行模式到离地200 m高处的时间为
t== s=20 s
(2)由题可知,汽车在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动,根据匀变速直线运动规律有y=t
可得,到达200 m高处时竖直速度的大小为
vy== m/s=20 m/s
则到达200 m高处时的瞬时速度的大小为
v==10 m/s
随堂巩固
1.C [解析] 圆环做平抛运动,其竖直分运动为自由落体运动,由h1-h2=gt2,得t== s=0.2 s,环前端与细圆筒的水平距离x=1.2 m,圆环的最小抛出速度v2== m/s=6 m/s,圆环后端与细圆筒的水平距离为x+2r=1.2 m+0.2 m=1.4 m,则圆环的最大抛出速度v1== m/s=7 m/s,故圆环被抛出时的速度大小的取值范围为6 m/s2.A [解析] 若小球打在第四级台阶的边缘上,则下落高度h1=4d,根据h1=g,解得t1== s= s,而水平位移x1=4d,则平抛运动的水平速度v1== m/s=2 m/s;若小球打在第三级台阶的边缘上,则下落高度h2=3d,根据h2=g,解得t2== s= s,而水平位移x2=3d,则平抛运动的水平速度v2== m/s= m/s,故 m/s3.C [解析] 受力分析可知F合=mg-F=,由牛顿第二定律可知a==,方向竖直向下,与初速度方向垂直,故该物体做类平抛运动,所以有h=at2,解得t=,故A选项错误;水平距离x=v0t=v0,故B选项错误;该物体做类平抛运动,所以轨迹为抛物线,故C选项正确;做类平抛运动的物体的运动时间与初速度无关,故D选项错误.◆ 知识点一 抛体运动中的临界极值问题
1.(多选)如图所示,一个电影替身演员准备跑过一个屋顶,然后水平跳跃并离开屋顶,在下一个建筑物的屋顶上着地.如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s,那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g取9.8 m/s2) ( )
A.他安全跳过去是可能的
B.他安全跳过去是不可能的
C.如果要安全跳过去,他在屋顶跑动的最小速度为6.2 m/s
D.如果要安全跳过去,他在屋顶跑动的最小速度为4.5 m/s
2.如图所示,一圆柱形容器高为L,底部直径也为L,一小球离地高为2L,球到容器左侧的水平距离也为L,重力加速度为g,现将小球水平抛出,要使小球直接落在容器底部,小球抛出的初速度大小v的范围为 ( )
A.B.C.D.3.[2024·莆田一中高一月考] 中国的面食文化博大精深,种类繁多,其中“山西刀削面”堪称天下一绝,传统的操作手法是一手托面一手拿刀,直接将面削到开水锅里.如图,小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h,与锅沿的水平距离为L,锅的半径也为L,将削出的小面圈的运动视为平抛运动,且小面圈都落入锅中,重力加速度为g,则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是 ( )
A.运动的时间都相同
B.速度的变化量都相同
C.落入锅中时,最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度为v0,则L4.(多选)如图所示,消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火,消防水炮离地的最大高度H=40 m,出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节,其水平射出的初速度可在5~15 m/s之间进行调节,着火点在高h=20 m的楼层.出水口与着火点不能靠得太近,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2.下列说法正确的是 ( )
A.如果要有效灭火,出水口与着火点的水平距离s最大为40 m
B.如果要有效灭火,出水口与着火点的水平距离s最小为10 m
C.如果出水口与着火点的水平距离s不能小于15 m,则射出水的初速度最小为7.5 m/s
D.若该着火点高度为40 m,则该消防车仍能有效灭火
◆ 知识点二 类平抛运动
5.[2024·泉州五中高一月考] 如图所示,A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出,A在竖直平面内运动,落地点为P1,B紧贴光滑的斜面运动,落地点为P2,P1、P2在同一水平面内, P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2,不计空气阻力.下列说法正确的是( )
A.x1=x2
B.x1>x2
C.x1D.无法判断
6.如图,一个人拿着一个小球想把它扔进前方一堵竖直墙的洞里,洞比较小,球的速度必须垂直于墙的方向才能进入,洞离地面的高度H=3.3 m,人抛球出手时,球离地面高度h0=1.5 m,人和墙之间有一张竖直网,网高度h=2.5 m,网离墙距离L=2 m,不计空气阻力,g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
A.只要人调整好抛球速度大小以及抛射角度,不管人站在离网多远的地方,都可以把球扔进洞
B.要使球扔进洞,人必须站在距离网至少1 m处
C.要使球扔进洞,人必须站在距离网至少1.5 m处
D.要使球扔进洞,人必须站在距离网至少2 m处
7.[2023·莆田一中高一月考] 如图所示,将质量为m的小球从倾角为θ=30°的光滑斜面上A点以速度v0=10 m/s水平抛出(即v0∥CD),小球运动到B点,已知A、B间的高度差h=5 m,g取10 m/s2,则小球从A点运动到B点所用的时间和到达B点时的速度大小分别为 ( )
A.1 s,20 m/s
B.1 s,10 m/s
C.2 s,20 m/s
D.2 s,10 m/s
8.[2023·漳平一中高一月考] 如图所示为乒乓球桌面示意图,球网上沿离桌面的高度为H,网到桌边的水平距离为L.在某次乒乓球训练中,从左侧与网水平距离为处将球沿垂直于网的方向水平击出,球恰好通过网的上沿落到桌面右侧边缘.设乒乓球的运动为平抛运动,下列判断正确的是 ( )
A.击球点的高度与网的高度之比为2∶1
B.乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为2∶1
C.乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时竖直分速度之比为1∶2
D.乒乓球在网左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2
9.(3分)[2023·山东聊城高一期末] 大马哈鱼需要逆流而上到上游产卵,运动过程中有时还要跃上瀑布.这种鱼跃出水面的速度可达10 m/s.不计空气阻力,g取10 m/s2.若大马哈鱼某次跃出水面的速度方向斜向上,与水面成53°角,则它能达到的最大高度约为 m,最远水平距离约为 m.(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)
10.(12分)如图所示,某人骑摩托车在水平道路上行驶,要在A处越过宽x=12 m的壕沟,沟对面水平路面比A处低h=1.8 m.g取10 m/s2,空气阻力不计.求:(摩托车视为质点,结果可用根号表示)
(1)(4分)摩托车在空中飞行的时间;
(2)(4分)摩托车竖直方向的末速度;
(3)(4分)摩托车开始飞越壕沟的初速度的最小值.
11.(16分)[2024·福建师大附中高一月考] 在篮球比赛中,投篮的投出角度太大和太小,都会影响投篮的命中率.在某次投篮表演中运动员在空中一个漂亮的投篮,篮球以与水平面成37°的倾角准确落入篮筐,这次跳起投篮时,投球点和篮筐正好在同一水平面上,投球点到篮筐距离为10 m,不考虑空气阻力,g取10 m/s2.(答案可保留根号)
(1)(5分)篮球在空中运动时间有多长
(2)(5分)篮球运动过程中的最小速度有多大
(3)(6分)篮球进筐的速度有多大
本章易错过关(二) (时间:40分钟 总分:69分)
一、选择题(本题共7小题,单选题每小题4分,多选题每小题6分,共32分)专题课:抛体运动中的临界问题 类平抛运动
学习任务一 抛体运动中的临界极值问题
[科学思维]
与平抛运动相关的临界极值情况
(1)有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在临界点.
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述过程中存在着“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点.
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述过程中存在着极值,这些极值也往往是临界点.
例1 如图所示,窗子上、下沿间的高度差H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m.某人在到墙壁距离为L=1.4 m、
距窗子上沿高度为h=0.2 m 处的P点将可视为质点的小物体以速度v水平抛出,小物体直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2,则v的取值范围是 ( )
A.v>2.3 m/s B.2.3 m/sC.3 m/s例2 [2023·泉州高一期末] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为L1和L2,中间球网高度为h,发射机安装于台面左侧边缘的中点,能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球,发射点距台面高度为3h.不计空气的作用,重力加速度大小为g,若乒乓球的发射速率v在某范围内,通过选择合适的方向,就能使乒乓球落到球网右侧台面上,则v的取值范围是 ( )
A.B.C.D.例3 (多选)[2024·泉州一中高一月考] 冬奥会中跳台滑雪项目是勇敢者的运动,运动员踏着专用滑雪板,不带雪杖在助滑区上获得高速后水平飞出,图乙是滑道的简略示意图,飞行着陆区斜面倾角为θ,从飞出点水平飞出时的速度大小为v0,各功能区的高度和坡度都是定值,运动员可视为质点和忽略各种阻力,重力加速度为g,则 ( )
A.运动员水平飞出后,当t=tan θ时,运动员离斜面最远
B.由于运动员质量不同,因此落在飞行着陆区时的速度方向不同
C.运动员水平飞出后到落回斜面的时间是
D.运动员水平飞出后离斜面最远距离为
【要点总结】
平抛运动临界问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质
(2)根据题意确定临界状态
(3)确定临界轨迹,画出轨迹示意图
(4)应用平抛运动的规律,结合临界条件列方程求解
学习任务二 类平抛运动
[科学思维]
1.类平抛运动的分析
所谓类平抛运动,就是受力特点和运动特点类似于平抛运动,即受到一个恒定的外力且外力与初速度方向垂直,物体做匀变速曲线运动.
(1)受力特点:物体所受合力为恒力,且与初速度的方向垂直.
(2)运动特点:沿初速度v0方向做匀速直线运动,沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动.
2.求解方法
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动.
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向上列方程求解.
例4 (多选)如图所示,一光滑宽阔的斜面倾角为θ,高为h,现有一小球在A处以水平速度v0射出,最后从B处离开斜面,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.小球的运动轨迹为抛物线
B.小球的加速度为gsin θ
C.小球从A处到达B处所用的时间为
D.小球到达B处时水平方向位移大小为v0
例5 [2024·江苏镇江高一月考] 正在公路上行驶的汽车,只需按下一个键,就能轻松切换到飞行模式,变身飞机跃入天空,这就是飞行汽车!一辆飞行汽车在平直的公路上以30 m/s的速度行驶,某时刻司机启动飞行模式,汽车保持水平速度不变,沿竖直方向开始匀加速爬升,经过一段时间爬升到200 m高处.用x表示水平位移,y表示竖直位移,这一过程的y x图像如图所示.g取10 m/s2,求汽车飞行时:
(1)从启动飞行模式,到离地200 m高处需要多长时间;
(2)到达200 m高处时竖直速度和瞬时速度的大小(可用根式表示).
【要点总结】
类平抛运动与平抛运动的区别:
做平抛运动的物体初速度水平,物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力,a=g;做类平抛运动的物体初速度不一定水平,但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力,a=.
1.(平抛运动的临界问题)[2023·莆田一中高一月考] 套圈游戏是一项趣味活动.如图所示,某次游戏中,一小孩从距地面高h1=0.45 m处水平抛出半径r=0.1 m的圆环(圆环面始终水平),套住了距圆环前端水平距离为x=1.2 m、高度h2=0.25 m的竖直细圆筒.g取10 m/s2,小孩抛出圆环的速度可能是 ( )
A.4.3 m/s
B.4.6 m/s
C.6.5 m/s
D.7.5 m/s
2.(抛体运动的临界问题)如图所示,一阶梯的每级台阶的高与宽都为0.4 m,小球以水平速度v飞出,欲打在第四级台阶上,g取10 m/s2,则v的取值范围是 ( )
A. m/sB.2 m/sC. m/sD. m/s3.(类平抛运动)[2024·福州高一期末] 如图所示,一物体在某液体中运动时只受到重力G和恒定的浮力F的作用,且F为重力的.若物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在N点,M、N间的竖直高度为h,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.从M运动到N的时间为
B.M与N之间的水平距离为v0
C.从M运动到N的轨迹为抛物线
D.减小水平初速度v0,运动时间将变长
