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第2节 科学探究：向心力
第2课时 向心力的分析与计算
向心加速度
学习任务一 匀速圆周运动的向心力的分析与计算
学习任务二 对向心加速度的理解
学习任务三 向心加速度的计算与比较
随堂巩固
备用习题
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
◆
学习任务一 匀速圆周运动的向心力的分析与计算
［教材链接］
阅读教材,完成下列填空:
向心力的表达式:_______ _____.
［科学思维］
匀速圆周运动问题的解题步骤
例1 一个质量为的小球，用一长 的细绳拴着，绳的另
一端系在 点，让小球从如图所示位置从静止开始释放，运动到最
低点时小球的速度为. 小球视为质点，绳不可伸长，不计空
气阻力，取
(1) 分析小球运动到最低点时向心力的来源，画出小球受力示意图；
[答案] 如图所示
[解析] 由题意可知，当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力2个
力的作用，绳的拉力和重力的合力提供向心力.
例1 一个质量为的小球，用一长的细绳拴着，绳的另一端系在 点，
让小球从如图所示位置从静止开始释放，运动到最低点时小球的速度为.
小球视为质点，绳不可伸长，不计空气阻力，取
(2) 小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小.
[答案]
[解析] 由(1)可知，小球到达最低点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，则有
则
例2 ［2024·龙岩长汀二中高一月考］ 甲、乙两名滑冰运动员，面对面拉着弹
簧测力计做圆周运动的滑冰表演，如图所示.， ，两人相
距，弹簧测力计的示数为 ，则下列判断正确的是( )
A.两人的线速度相同，为
B.两人的运动半径相同，都是
C.两人的运动半径不同，甲为，乙为
D.两人的角速度相同，为
√
[解析] 两名运动员面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，旋转一周的时间相同,所以角速度相同，即 ,弹簧测力计对运动员的拉力提供向心力，即
,由几何关系 ,线速度
,,解得两人的运动半径分别为, ,两人的角速度为,两人线速度分别为 ,
,故选D.
学习任务二 对向心加速度的理解
［教材链接］
阅读教材，完成下列填空：
(1)向心加速度：由________产生的加速度.
(2)方向：与向心力的方向一致，始终指向______.
(3)由于向心加速度始终指向圆心,其方向是不断变化的,所以向心加速度是不断
变化的.
向心力
圆心
［物理观念］
如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑桌
面上一个小球由于受到细线的牵引而绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.分析地球
和小球的运动，并回答以下问题：
(1) 地球受到什么力的作用 这个力沿什么方向 小球受到哪些力的作用 合力沿
什么方向
[答案] 地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、
线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心.
(2) 地球和小球的加速度方向变化吗 匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢
[答案] 物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都沿半
径指向圆心，即加速度的方向时刻指向圆心，所以方向不断变化.匀速圆周运动
是一种非匀变速运动.
【辨别明理】
(1) 物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的.( )
×
(2) 物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的.( )
×
(3) 向心加速度的方向始终与速度方向垂直.( )
√
例3 下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A.向心加速度越大，物体速率变化越快
B.向心加速度越大，物体速度方向变化越慢
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
[解析] 向心加速度与速度方向垂直，不改变速率的大小，与速率的变化无关，故
A错误；向心加速度与速度方向垂直，向心加速度越大，物体速度方向变化越快，
故B错误；向心加速度与速度方向垂直，方向时刻改变，故C错误，D正确.
√
【要点总结】
1.由于向心加速度的方向时刻在变,所以匀速圆周运动是一种非匀变速运动.
2.任何做圆周运动的物体速度方向都改变，所以做圆周运动的物体都有向心加速度.
3.在变速圆周运动中,加速度的两个分量作用不同：切向加速度改变速度的大小,
向心加速度改变速度的方向，且向心加速度一定指向圆心.
学习任务三 向心加速度的计算与比较
［科学思维］
1.已知向心力表达式为，根据牛顿第二定律 得到：
(1) .
(2)由于，所以向心加速度也可以是 .
(3)由于,所以向心加速度也可以是
2.向心加速度表达式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动.
3.向心加速度与半径的关系(如图所示).
例4 ［2024· 厦门一中高一月考］、 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在
相同时间内，它们通过的路程之比是，运动方向改变的角度之比是 ，则：
(1) 它们的线速度大小之比为 _____；
[解析] 根据，可知、两艘快艇的线速度大小之比为 .
(2) 角速度大小之比为 _____；
[解析] 根据,可知、两艘快艇的角速度大小之比为 .
(3) 圆周运动的半径之比为 _____；
[解析] 根据,可知、两艘快艇的半径之比为 .
(4) 向心加速度之比为 _____.
[解析] 根据 得，向心加速度之比为 .
例4 ［2024· 厦门一中高一月考］、 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在
相同时间内，它们通过的路程之比是，运动方向改变的角度之比是 ，则：
例5 如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动.若运动
员的转速为，女运动员触地冰鞋的线速度为设 .求：
(1) 女运动员做圆周运动的角速度 ；
[答案]
[解析] 女运动员做圆周运动的角速度
例5 如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动.若运动
员的转速为，女运动员触地冰鞋的线速度为设 .求：
(2) 触地冰鞋做圆周运动的半径 ；
[答案]
[解析] 根据得
例5 如图所示，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动.若运动
员的转速为，女运动员触地冰鞋的线速度为设 .求：
(3) 触地冰鞋向心加速度 的大小.
[答案]
[解析] 根据向心加速度公式得
【要点总结】
1.同轴传动：被动轮和从动轮的中心在同一根转轴上，主动轮转动使轴转动进
而带动从动轮转动，两轮的转速及角速度相等.
2.皮带传动：两转轮在同一平面上，皮带绷紧与两轮相切，主动轮转动通过皮
带带动进而使从动轮转动，两轮边缘速度相等.
1.(多选)上海磁悬浮线路的最大转弯处半径达到 ,近距离用肉眼看几乎是
一条直线,而转弯处最小半径也达到.一个质量为 的乘客随磁悬浮列
车驶过半径为的弯道,转弯时,磁悬浮列车的速率始终为 .下列说
法正确的是( )
A.乘客受到的向心力大小约为
B.乘客受到的向心力大小约为
C.乘客受到的向心力大小约为
D.弯道半径设计特别长可以使乘客在转弯时更舒适
√
√
[解析] 根据向心力公式可计算出乘客受到的向心力大小约为 ,选
项A正确,B、C错误;根据可知,在、保持不变的情况下, 越大乘客所
受的向心力越小,在转弯时乘客更舒适,选项D正确.
2.如图所示,有两个质量不同的小球甲、乙,且 ,分
别用长度不等的两根细线挂在天花板的同一点上,它们在
同一水平面内做匀速圆周运动.设甲的向心力为 ,加速度
为;乙的向心力为,加速度为 ,则( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 设悬线与竖直方向的夹角为 ,由向心力公式得 ,则
、 ,选项D正确.
√
3.如图所示,长的轻绳一端与质量 的小球相连,另一端连接一个
质量的滑块,滑块套在竖直杆上,与竖直杆间的动摩擦因数为 .现在让
小球绕竖直杆在水平面内做匀速圆周运动,当绳子与杆的夹角 时,滑块恰
好不下滑.假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度取 .求:
(1) 小球转动的角速度 的大小;
[答案]
[解析] 对小球受力分析,由牛顿第二定律得
解得小球转动的角速度 .
3.如图所示,长的轻绳一端与质量 的小球相连,另一端连接一个
质量的滑块,滑块套在竖直杆上,与竖直杆间的动摩擦因数为 .现在让
小球绕竖直杆在水平面内做匀速圆周运动,当绳子与杆的夹角 时,滑块恰
好不下滑.假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度取 .求:
(2) 滑块与竖直杆间的动摩擦因数 .
[答案]
[解析] 对小球,在竖直方向上,有
对滑块,由平衡条件得,
解得滑块与竖直杆间的动摩擦因数
1.(对向心加速度的理解)关于向心加速度，以下说法中不正确的是( )
A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
[解析] 向心加速度是指向圆心的，故与速度方向垂直，所以它只改变线速度的
方向，不改变线速度的大小，A、B正确；若物体做圆周运动的速度大小也发生
变化，则还有切向加速度，此时合加速度方向不指向圆心,C错误；物体做匀速
圆周运动时，没有切向加速度，只有向心加速度，加速度方向指向圆心,D正确.
√
2.(向心力的大小)［2023·福州一中高一月考］、 两物体都做匀速圆周运动，
，，经过1秒，转过圆心角，转过了圆心角，则 所受的向心
力大小与 所受的向心力之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据角速度的定义式，可知，根据向心力公式 ，
可得物体的向心力大小与 物体的向心力大小之比为
，故A、C、D错误，B正确.
√
3.(向心加速度的大小)(多选)［2024·厦门高一期中］ 如图所示，一个球绕过球
心的轴线以角速度 做匀速圆周运动， ，则 ( )
A.、 两点的线速度相同
B.、 两点的角速度相同
C.、两点的线速度之比
D.、两点的向心加速度之比
√
√
[解析] 球绕过球心的轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即
，B正确；
因为、两点做圆周运动的半径不同，，根据
知，A错误；
，设球半径为，则， ，
故，C错误；
根据知 ，D正确.
4.(向心力与向心加速度)(多选)如图所示,质量为的物体沿着半径为 的半球形
金属球壳滑到最低点时的速度大小为,若物体与球壳间的动摩擦因数为 ,重力
加速度为 ,则物体在最低点时( )
A.向心加速度大小为 B.向心力大小为
C.对球壳的压力大小为 D.受到的摩擦力大小为
√
√
[解析] 向心加速度大小,故A正确;向心力大小 ,故B错误;根据牛顿
第二定律得,解得 ,则物体对球壳的压力大小为
,故C错误;物体所受的摩擦力大小 ,故D正确.
练习册
知识点一 匀速圆周运动向心力的分析与计算
1.鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如图所示.重力加速度为.当翼面与水平面成 角并以速率 匀速水平盘旋时，盘旋的半径为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 鹰在高空中盘旋时，对其受力分析，如图所示，由翼面的升力和其重力
的合力提供向心力，有，解得 .
2.［2024·泉州一中高一月考］如图所示，半径为 的圆筒绕竖直中心轴 转动，小物块靠在圆筒的内壁上.已知小物块与圆筒内壁的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力.现要使小物块不下滑，则圆筒转动的角速度至少应为( )
A. B. C. D.
[解析] 要使小物块不下落，则小物块在竖直方向上受力平衡，有 ，
筒壁对小物块的支持力提供向心力，有，而 ，联立解得
，故选D.
√
知识点二 向心加速度的理解
3.［2024·湖南师大附中高一月考］关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A.由 知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.匀速圆周运动是匀速运动
D.向心加速度越大，物体速率变化越快
[解析] 向心加速度大小恒定，方向一直改变，故A错误；向心加速度垂直于线
速度，只改变线速度的方向，不改变线速度大小，故B正确；匀速圆周运动速
度方向时刻改变，不是匀速运动，故C错误；做匀速圆周运动的物体的速率不
变，故D错误.
√
知识点三 向心加速度的计算与比较
4.［2024·莆田一中高一月考］小球做匀速圆周运动，半径为，向心加速度为 ，
则下列说法错误的是 ( )
A.小球运动的角速度 B.小球运动的周期
C.时间内小球通过的路程 D.时间内小球转过的角度
[解析] 由可得，角速度，周期 ，线速度
，在时间内，小球通过的路程 ，小球转过的角度
，故A、B、C正确，D错误.
√
5.［2024·厦门六中高一月考］如图所示为一皮带传动轮，大轮直径是小轮直径
的3倍，是大轮边缘上一点，是小轮边缘上一点，是大轮上一点， 到圆心
的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑.关于、、 三点的角速度大小之
比、线速度大小之比、向心加速度大小之比 ，下
列判断正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 、 两点是靠皮带传动的轮子边缘上的点，线速度大小相等，因为大轮
的半径是小轮半径的3倍，根据 知，，因为、 共轴转动，
则角速度相等，所以，故A错误.、 的角速度相等，根据
知，，又、的线速度大小相等，所以 ，
故B正确.、的角速度相等，根据知，，因为、 的线速
度相等，根据知，，则 ，故C、D错误.
6.［2024·上海松江二中高一月考］自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的
边缘上有、、 三点，向心加速度随半径变化图像如图所示，则( )
A.、两点加速度关系满足甲图线 B.、 两点加速度关系满足乙图线
C.、两点加速度关系满足甲图线 D.、 两点加速度关系满足乙图线
√
[解析] 根据 ，、两点的线速度大小相等，加速度与半径 成反比，
加速度关系满足甲图线，A正确，B错误；根据，、 两点的线速度大小
不相等，加速度与半径不成反比，加速度关系不满足甲图线，C错误；根据
，、 两点的角速度不相等，加速度与半径不成正比，加速度关系不
满足乙图线，D错误.
7.有一种叫“旋转飞椅”的游乐项目(如图所示).钢绳的一端系着座椅，另一端固定
在水平转盘上.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘匀速转动时，钢绳与转
轴在同一竖直平面内.将游客和座椅看作一个质点，不计空气阻力及钢绳的重力，
以下分析正确的是( )
A.旋转过程中，游客和座椅受到重力、拉力和向心力
B.根据 可知，坐在外侧的游客旋转的线速度更大
C.根据 可知，“飞椅”转动的角速度越大，
旋转半径越小
D.若“飞椅”转动的角速度变大，钢绳上的拉力大小不变
√
[解析] 旋转过程中，游客和座椅受重力、拉力作用，向心力是效果力，故A错
误；根据可知， 相同，坐在外侧的游客做圆周运动的 较大，故线速
度更大，B正确；“飞椅”转动的角速度越大，需要的向心力越大，向心力由重力
和拉力的合力提供，则钢绳上的拉力越大，钢绳与竖直方向的夹角越大，旋转
半径越大，C、D错误.
8.(多选)［2024·福州教育学院附中高一期中］ 劳技课上，某同学在体验糕点制
作“裱花”环节时，她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸 的
蛋糕，如图所示.若在蛋糕边缘每隔 均匀“点”一次奶油(“点”奶油的时间忽略不
计)，蛋糕转动一周正好均匀“点”上20点奶油.下列说法正确的是( )
A.圆盘转动的周期为
B.圆盘转动的角速度大小为
C.蛋糕边缘的线速度大小约为
D.蛋糕边缘的向心加速度约为
√
√
[解析] 一周20个时间间隔，每个时间间隔，
所以圆盘转动的周期为 ，故A正确；
圆盘转动的角速度由 ，故B正确；
蛋糕边缘的线速度大小约为 ，故C错误；
蛋糕边缘的向心加速度大小为 ，故D错误.
9.(多选)小球质量为，用长为的轻质细线悬挂在点，在点的正下方 处有
一钉子 ，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线
碰到钉子的瞬时，设线没有断裂，则下列说法正确的是( )
A.小球的线速度突然增大到原来的2倍
B.小球的角速度突然增大到原来的2倍
C.小球的向心加速度突然增大到原来的2倍
D.细线对小球的拉力突然增大到原来的2倍
√
√
[解析] 当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度不会发生突变，故A错误；根据
可知，当变为原来的时，小球的角速度 突然变为原来的2倍，故B正
确；根据可知，当变为原来的时，小球的加速度 突然变为原来的2倍，
故C正确；在最低点时，根据牛顿第二定律得
，则，当变为原来的
时， 不会变为原来的2倍，故D错误.
10.如图所示，长度不同的两根轻质细绳悬挂于同一点，另一端各系一个质量不
同的小球和 ，使它们在同一水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
( )
A.轻绳拉力的大小一定不相同
B.两球运动的角速度相同
C.小球运动的周期大于 的周期
D.小球的向心加速度小于小球 的向心加速度
√
[解析] 设绳子与竖直方向的夹角为 ，绳子拉力为，竖直方向 ，
可得 ，长度不同的两根轻质细绳悬挂于同一点，另一端各系一个质量
不同的小球和 ，由于不清楚两个小球的质量关系，可知绳子拉力可能相等，
故A错误；水平方向，根据 ，由题图可知，可知小球 的向
心加速度大于小球 的向心加速度，故D错误；设悬挂点与两
个小球所在平面高度为，根据 ，由几何关系
，联立可得 ，可知两球运动的角速度相同，
根据 可知两球运动的周期相同，故B正确，C错误.
11.(3分)［2023·泉州五中高一月考］ 如图所示，一圆环的圆心为 ，若以它的直径所在的直线为轴做匀速转动，则圆环上、 两点的线速度大小之比是
______.
若圆环的半径是，绕轴线转动的周期是，环上 点的向心加速度大小是________ .
[解析] 、两点以圆环的直径 所在的直线为轴做匀速转动，它们的角速度
相同，都为 ，点转动的半径， 点转动的半径
，根据得 .
根据向心加速度的公式得， 点的向心加速度为
.
12.(12分)［2024·龙岩武平一中高一月考］ 如图所示,一个人用一根长 、只能
承受拉力的轻绳拴着一个质量为 的小球,在竖直平面内做圆周运动,已知
圆心离地面的高度.小球在转动到最低点时轻绳恰好断了.
取
(1) (6分)轻绳断时小球运动的角速度是多大
[答案]
[解析] 设绳断时角速度为 ,有
解得 .
12.(12分)［2024·龙岩武平一中高一月考］ 如图所示,一个人用一根长 、只能
承受拉力的轻绳拴着一个质量为 的小球,在竖直平面
内做圆周运动,已知圆心离地面的高度.小球在转动
到最低点时轻绳恰好断了. 取
(2) (6分)轻绳断后,小球落地点与抛出点间的水平距离是多少
[答案]
[解析] 绳断后,小球做平抛运动,其初速度
由平抛运动规律有
解得
水平距离 .
13.(16分)［2024·江苏徐州一中高一月考］ 如图所示为儿童乐园中的观览车，
观览车上的吊篮在动力的带动下匀速转动，观览车的转动周期为 ，小朋友坐在吊篮里可以尽情观赏周围的美景.已知小朋友的质量为 ，他随观览车做圆周运动的半径为，重力加速度为 .
(1) (8分)求小朋友转动的向心加速度大小；
[答案]
[解析] 小朋友做圆周运动的角速度
向心加速度
联立解得
13.(16分)［2024·江苏徐州一中高一月考］ 如图所示为儿童乐园中的观览车，观览车上的吊篮在动力的带动下匀速转动，观览车的转动周期为 ，小朋友坐在吊篮里可以尽情观赏周围的美景.已知小朋友的质量
为 ，他随观览车做圆周运动的半径为，重力加速度
为 .
(2) (8分)当吊篮处于最低点时，求吊篮对小朋友的
作用力的大小.
[答案]
[解析] 根据向心力公式有
如图由受力分析可得
解得
［教材链接］ ［科学思维］ 例1 （1）如图所示
（2） 例2 D ［教材链接］向心力 圆心
［物理观念］ （1）地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心. （2）物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都沿半径指向圆心，即加速度的方向时刻指向圆心，所以方向不断变化.匀速圆周运动是一种非匀变速运动. 【辨别明理】 （1）× （2）× （3）√ 例3 D
例4 （1） （2） （3） （4） 例5 （1） （2） （3） 随堂巩固 1.C 2.B 3.BD 4.AD
基础巩固练
1.B 2.D 3.B 4.D 5.B
综合提升练
6.A 7.B 8.AB 9.BC 10.B
11.
12.（1） （2）
13.（1） （2）第2课时 向心力的分析与计算 向心加速度
1.B [解析] 鹰在高空中盘旋时,对其受力分析,如图所示,由翼面的升力和其重力的合力提供向心力,有mgtan θ=m,解得R=.
2.D [解析] 要使小物块A不下落,则小物块在竖直方向上受力平衡,有Fm=mg,筒壁对小物块的支持力提供向心力,有N=mω2r,而Fm=μN,联立解得ω=,故选D.
3.B [解析] 向心加速度大小恒定,方向一直改变,故A错误;向心加速度垂直于线速度,只改变线速度的方向,不改变线速度大小,故B正确;匀速圆周运动速度方向时刻改变,不是匀速运动,故C错误;做匀速圆周运动的物体的速率不变,故D错误.
4.D [解析] 由a=ω2R=R=可得,角速度ω=,周期T=2π,线速度v=,在t时间内,小球通过的路程l=vt=·t,小球转过的角度θ=ωt=t,故A、B、C正确,D错误.
5.B [解析] A、B两点是靠皮带传动的轮子边缘上的点,线速度大小相等,因为大轮的半径是小轮半径的3倍,根据v=rω知,ωA∶ωB=1∶3,因为A、C共轴转动,则角速度相等,所以ωA∶ωB∶ωC=1∶3∶1,故A错误.A、C的角速度相等,根据v=rω知,vA∶vC=3∶1,又A、B的线速度大小相等,所以vA∶vB∶vC=3∶3∶1,故B正确.A、C的角速度相等,根据a=rω2知,aA∶aC=3∶1,因为A、B的线速度相等,根据a=知,aA∶aB=1∶3,则aA∶aB∶aC=3∶9∶1,故C、D错误.
6.A [解析] 根据a= ,A、B两点的线速度v大小相等,加速度a与半径R成反比,加速度关系满足甲图线,A正确,B错误;根据a=, A、C两点的线速度大小不相等,加速度与半径不成反比,加速度关系不满足甲图线,C错误;根据a=ω2R ,A、C两点的角速度不相等,加速度与半径不成正比,加速度关系不满足乙图线,D错误.
7.B [解析] 旋转过程中,游客和座椅受重力、拉力作用,向心力是效果力,故A错误;根据v=ωr可知,ω相同,坐在外侧的游客做圆周运动的r较大,故线速度更大,B正确;“飞椅”转动的角速度越大,需要的向心力越大,向心力由重力和拉力的合力提供,则钢绳上的拉力越大,钢绳与竖直方向的夹角越大,旋转半径越大,C、D错误.
8.AB [解析] 一周20个时间间隔,每个时间间隔2 s,所以圆盘转动的周期为40 s,故A正确;圆盘转动的角速度由ω== rad/s,故B正确;蛋糕边缘的线速度大小约为v=ωr= m/s,故C错误;蛋糕边缘的向心加速度大小为a=ωv≈ m/s2,故D错误.
9.BC [解析] 当细线碰到钉子的瞬间,小球的线速度不会发生突变,故A错误;根据ω=可知,当r变为原来的时,小球的角速度ω突然变为原来的2倍,故B正确;根据a=可知,当r变为原来的时,小球的加速度a突然变为原来的2倍,故C正确;在最低点时,根据牛顿第二定律得F-mg=m,则F=mg+m,当r变为原来的时,F不会变为原来的2倍,故D错误.
10.B [解析] 设绳子与竖直方向的夹角为θ,绳子拉力为T,竖直方向Tcos θ=mg,可得T=,长度不同的两根轻质细绳悬挂于同一点,另一端各系一个质量不同的小球A和B,由于不清楚两个小球的质量关系,可知绳子拉力可能相等,故A错误;水平方向,根据an=gtan θ,由题图可知θA>θB,可知小球A的向心加速度大于小球B的向心加速度,故D错误;设悬挂点与两个小球所在平面高度为h,根据gtan θ=ω2·r,由几何关系tan θ=,联立可得ω=,可知两球运动的角速度相同,根据T=可知两球运动的周期相同,故B正确,C错误.
11.∶1 4000π2
[解析] P、Q两点以圆环的直径AB所在的直线为轴做匀速转动,它们的角速度相同,都为ω,Q点转动的半径r1=Rsin 30°=R,P点转动的半径r2=Rsin 60°=R, 根据v=ωr得==.根据向心加速度的公式得,Q点的向心加速度为a===4000π2 m/s2.
12.(1)8 rad/s (2)8 m
[解析] (1)设绳断时角速度为ω,有F-mg=mω2L
解得ω=8 rad/s.
(2)绳断后,小球做平抛运动,其初速度v=ωL=8 m/s
由平抛运动规律有h-L=gt2
解得t=1 s
水平距离x=vt=8 m.
13.(1)R (2)mg+mR
[解析] (1)小朋友做圆周运动的角速度ω=
向心加速度a=ω2R
联立解得a=R
(2)根据向心力公式有F向心=mω2R
如图由受力分析可得F-mg=F向心
解得F=mg+mR第2课时 向心力的分析与计算 向心加速度
[教材链接] mω2r m
例1 (1)如图所示 (2)3 N
[解析] (1)由题意可知,当小球运动到最低点时,小球受重力和绳的拉力2个力的作用,绳的拉力和重力的合力提供向心力.
(2)由(1)可知,小球到达最低点时,绳的拉力和重力的合力提供向心力,则有T-mg=m
则T=mg+m=3 N
例2 D [解析] 两名运动员面对面拉着弹簧测力计做圆周运动,旋转一周的时间相同,所以角速度相同,即ω甲=ω乙,弹簧测力计对运动员的拉力提供向心力,即F=m甲r甲=m乙r乙=5 N,由几何关系r甲+r乙=0.9 m,线速度v甲=ω甲r甲,v乙=ω乙r乙,解得两人的运动半径分别为r甲=0.4 m,r乙=0.5 m,两人的角速度为ω甲=ω乙=0.5 rad/s,两人线速度分别为v甲=0.2 m/s,v乙=0.25 m/s,故选D.
[教材链接] (1)向心力 (2)圆心
[物理观念] (1)地球受到太阳的引力作用,方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、线的拉力作用,合力等于线的拉力,方向沿半径指向圆心.
(2)物体的加速度跟它所受合力方向一致,所以地球和小球的加速度都沿半径指向圆心,即加速度的方向时刻指向圆心,所以方向不断变化.匀速圆周运动是一种非匀变速运动.
【辨别明理】 (1)× (2)× (3)√
例3 D [解析] 向心加速度与速度方向垂直,不改变速率的大小,与速率的变化无关,故A错误;向心加速度与速度方向垂直,向心加速度越大,物体速度方向变化越快,故B错误;向心加速度与速度方向垂直,方向时刻改变,故C错误,D正确.
例4 (1)4∶3 (2)3∶2 (3)8∶9 (4)2∶1
[解析] (1)根据v=,可知A、B两艘快艇的线速度大小之比为4∶3.
(2)根据ω=,可知A、B两艘快艇的角速度大小之比为3∶2.
(3)根据r=,可知A、B两艘快艇的半径之比为8∶9.
(4)根据a=vω得,向心加速度之比为==×=.
例5 (1)π rad/s (2)1.5 m (3)15 m/s2
[解析] (1)女运动员做圆周运动的角速度
ω=2πn=2π×0.5 rad/s=π rad/s
(2)根据v=ωr得r== m=1.5 m
(3)根据向心加速度公式得
a向=ω2r=π2×1.5 m/s2=15 m/s2
随堂巩固
1.C [解析] 向心加速度是指向圆心的,故与速度方向垂直,所以它只改变线速度的方向,不改变线速度的大小,A、B正确;若物体做圆周运动的速度大小也发生变化,则还有切向加速度,此时合加速度方向不指向圆心,C错误;物体做匀速圆周运动时,没有切向加速度,只有向心加速度,加速度方向指向圆心,D正确.
2.B [解析] 根据角速度的定义式ω=,可知=,根据向心力公式F=mω2r,可得A物体的向心力大小与B物体的向心力大小之比为=··=××=,故A、C、D错误,B正确.
3.BD [解析] 球绕过球心的轴线转动,球上各点应具有相同的周期和角速度,即ωa=ωb,B正确;因为a、b两点做圆周运动的半径不同,rb>ra,根据v=ωr知vb>va,A错误;θ=30°,设球半径为R,则rb=R,ra=Rcos 30°=R,故==,C错误;根据a=ω2r知==,D正确.
4.AD [解析] 向心加速度大小a=,故A正确;向心力大小F=m,故B错误;根据牛顿第二定律得N-mg=m,解得N=mg+m,则物体对球壳的压力大小为mg+m,故C错误;物体所受的摩擦力大小f=μN=μ,故D正确.◆ 知识点一 匀速圆周运动向心力的分析与计算
1.鹰在高空中盘旋时,垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力,如图所示.重力加速度为g.当翼面与水平面成θ角并以速率v匀速水平盘旋时,盘旋的半径为 ( )
A.R=
B.R=
C.R=
D.R=
2.[2024·泉州一中高一月考] 如图所示,半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO'转动,小物块靠在圆筒的内壁上.已知小物块与圆筒内壁的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力.现要使小物块不下滑,则圆筒转动的角速度至少应为 ( )
A. B.
C. D.
◆ 知识点二 向心加速度的理解
3.[2024·湖南师大附中高一月考] 关于匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.由a=知,匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.匀速圆周运动是匀速运动
D.向心加速度越大,物体速率变化越快
◆ 知识点三 向心加速度的计算与比较
4.[2024·莆田一中高一月考] 小球做匀速圆周运动,半径为R,向心加速度为a,则下列说法错误的是 ( )
A.小球运动的角速度ω=
B.小球运动的周期T=2π
C.t时间内小球通过的路程l=t
D.t时间内小球转过的角度θ=
5.[2024·厦门六中高一月考] 如图所示为一皮带传动轮,大轮直径是小轮直径的3倍,A是大轮边缘上一点,B是小轮边缘上一点,C是大轮上一点,C到圆心O1的距离等于小轮半径,转动时皮带不打滑.关于A、B、C三点的角速度大小之比ωA∶ωB∶ωC、线速度大小之比vA∶vB∶vC、向心加速度大小之比aA∶aB∶aC,下列判断正确的是 ( )
A.ωA∶ωB∶ωC=1∶3∶3
B.vA∶vB∶vC=3∶3∶1
C.aA∶aB∶aC=3∶6∶1
D.aA∶aB∶aC=3∶3∶1
6.[2024·上海松江二中高一月考] 自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的边缘上有A、B、C三点,向心加速度随半径变化图像如图所示,则 ( )
A.A、B两点加速度关系满足甲图线
B.A、B两点加速度关系满足乙图线
C.A、C两点加速度关系满足甲图线
D.A、C两点加速度关系满足乙图线
7.有一种叫“旋转飞椅”的游乐项目(如图所示).钢绳的一端系着座椅,另一端固定在水平转盘上.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内. 将游客和座椅看作一个质点,不计空气阻力及钢绳的重力,以下分析正确的是 ( )
A.旋转过程中,游客和座椅受到重力、拉力和向心力
B.根据v=ωr可知,坐在外侧的游客旋转的线速度更大
C.根据F=mω2r可知,“飞椅”转动的角速度越大,旋转半径越小
D.若“飞椅”转动的角速度变大,钢绳上的拉力大小不变
8.(多选)[2024·福州教育学院附中高一期中] 劳技课上,某同学在体验糕点制作“裱花”环节时,她在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕,如图所示.若在蛋糕边缘每隔2 s均匀“点”一次奶油(“点”奶油的时间忽略不计),蛋糕转动一周正好均匀“点”上20点奶油.下列说法正确的是 ( )
A.圆盘转动的周期为40 s
B.圆盘转动的角速度大小为 rad/s
C.蛋糕边缘的线速度大小约为 m/s
D.蛋糕边缘的向心加速度约为25 m/s2
9.(多选)小球质量为m,用长为L的轻质细线悬挂在O点,在O点的正下方处有一钉子P,把细线沿水平方向拉直,如图所示,无初速度地释放小球,当细线碰到钉子的瞬时,设线没有断裂,则下列说法正确的是 ( )
A.小球的线速度突然增大到原来的2倍
B.小球的角速度突然增大到原来的2倍
C.小球的向心加速度突然增大到原来的2倍
D.细线对小球的拉力突然增大到原来的2倍
10.如图所示,长度不同的两根轻质细绳悬挂于同一点,另一端各系一个质量不同的小球A和B,使它们在同一水平面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 ( )
A.轻绳拉力的大小一定不相同
B.两球运动的角速度相同
C.小球A运动的周期大于B的周期
D.小球A的向心加速度小于小球B的向心加速度
11.(3分)[2023·泉州五中高一月考] 如图所示,一圆环的圆心为O,若以它的直径AB所在的直线为轴做匀速转动,则圆环上P、Q两点的线速度大小之比是 .若圆环的半径是20 cm,绕轴线转动的周期是0.01 s,环上Q点的向心加速度大小是 m/s2.
12.(12分)[2024·龙岩武平一中高一月考] 如图所示,一个人用一根长1 m、只能承受74 N拉力的轻绳拴着一个质量为1 kg的小球,在竖直平面内做圆周运动,已知圆心O离地面的高度h=6 m.小球在转动到最低点时轻绳恰好断了.(g取10 m/s2)
(1)(6分)轻绳断时小球运动的角速度是多大
(2)(6分)轻绳断后,小球落地点与抛出点间的水平距离是多少
13.(16分)[2024·江苏徐州一中高一月考] 如图所示为儿童乐园中的观览车,观览车上的吊篮在动力的带动下匀速转动,观览车的转动周期为T,小朋友坐在吊篮里可以尽情观赏周围的美景.已知小朋友的质量为m,他随观览车做圆周运动的半径为R,重力加速度为g.
(1)(8分)求小朋友转动的向心加速度大小;
(2)(8分)当吊篮处于最低点时,求吊篮对小朋友的作用力的大小.
第3节 离心现象 (时间:40分钟 总分:60分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)第2课时 向心力的分析与计算 向心加速度
学习任务一 匀速圆周运动的向心力的分析与计算
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
向心力的表达式:F= = .
[科学思维] 匀速圆周运动问题的解题步骤
例1 一个质量为0.1 kg的小球,用一长0.45 m的细绳拴着,绳的另一端系在O点,让小球从如图所示位置从静止开始释放,运动到最低点时小球的速度为3 m/s.(小球视为质点,绳不可伸长,不计空气阻力,g取10 m/s2)
(1)分析小球运动到最低点时向心力的来源,画出小球受力示意图;
(2)小球到达最低点时绳对小球的拉力的大小.
例2 [2024·龙岩长汀二中高一月考] 甲、乙两名滑冰运动员,面对面拉着弹簧测力计做圆周运动的滑冰表演,如图所示.m甲=50 kg,m乙=40 kg,两人相距0.9 m,弹簧测力计的示数为5 N,则下列判断正确的是 ( )
A.两人的线速度相同,为40 m/s
B.两人的运动半径相同,都是0.45 m
C.两人的运动半径不同,甲为0.5 m,乙为0.4 m
D.两人的角速度相同,为0.5 rad/s
[反思感悟]
学习任务二 对向心加速度的理解
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
(1)向心加速度:由 产生的加速度.
(2)方向:与向心力的方向一致,始终指向 .
(3)由于向心加速度始终指向圆心,其方向是不断变化的,所以向心加速度是不断变化的.
[物理观念] 如图甲所示,表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的);如图乙所示,光滑桌面上一个小球由于受到细线的牵引而绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.分析地球和小球的运动,并回答以下问题:
(1)地球受到什么力的作用 这个力沿什么方向 小球受到哪些力的作用 合力沿什么方向
(2)地球和小球的加速度方向变化吗 匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢
【辨别明理】
(1)物体做匀速圆周运动时,其向心加速度是恒定的. ( )
(2)物体做匀速圆周运动时,在相等时间内速度变化量是相同的. ( )
(3)向心加速度的方向始终与速度方向垂直. ( )
例3 下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( )
A.向心加速度越大,物体速率变化越快
B.向心加速度越大,物体速度方向变化越慢
C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的
D.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
[反思感悟]
【要点总结】
1.由于向心加速度的方向时刻在变,所以匀速圆周运动是一种非匀变速运动.
2.任何做圆周运动的物体速度方向都改变,所以做圆周运动的物体都有向心加速度.
3.在变速圆周运动中,加速度的两个分量作用不同:切向加速度改变速度的大小,向心加速度改变速度的方向,且向心加速度一定指向圆心.
学习任务三 向心加速度的计算与比较
[科学思维]
1.已知向心力表达式为F=m=mrω2,根据牛顿第二定律F=ma得到:
(1)a==ω2r.
(2)由于v=ωr,所以向心加速度也可以是a=ωv.
(3)由于ω==2πf,所以向心加速度也可以是a=r=4π2f2r.
2.向心加速度表达式不仅适用于匀速圆周运动,也适用于变速圆周运动.
3.向心加速度与半径的关系(如图所示).
例4 [2024· 厦门一中高一月考] A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动,在相同时间内,它们通过的路程之比是4∶3,运动方向改变的角度之比是3∶2,则:
(1)它们的线速度大小之比为 vA∶vB= ;
(2)角速度大小之比为ωA∶ωB= ;
(3)圆周运动的半径之比为 RA∶RB= ;
(4)向心加速度之比为 aA∶aB= .
例5 如图所示,男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动.若运动员的转速为0.5 r/s,女运动员触地冰鞋的线速度为1.5π m/s(设π2=10).求:
(1)女运动员做圆周运动的角速度ω;
(2)触地冰鞋做圆周运动的半径r;
(3)触地冰鞋向心加速度a向的大小.
【要点总结】
1.同轴传动:被动轮和从动轮的中心在同一根转轴上,主动轮转动使轴转动进而带动从动轮转动,两轮的转速及角速度相等.
2.皮带传动:两转轮在同一平面上,皮带绷紧与两轮相切,主动轮转动通过皮带带动进而使从动轮转动,两轮边缘速度相等.
1.(对向心加速度的理解)关于向心加速度,以下说法中不正确的是 ( )
A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
2.(向心力的大小)[2023·福州一中高一月考] A、B两物体都做匀速圆周运动,=,=,经过1秒,A转过圆心角,B转过了圆心角,则A所受的向心力大小与B所受的向心力之比为 ( )
A.1∶4 B.4∶9 C.9∶16 D.16∶9
3.(向心加速度的大小)(多选)[2024·厦门高一期中] 如图所示,一个球绕过球心的轴线OO'以角速度ω做匀速圆周运动,θ=30°,则 ( )
A.a、b两点的线速度相同
B.a、b两点的角速度相同
C.a、b两点的线速度之比va∶vb=2∶
D.a、b两点的向心加速度之比aa∶ab=∶2
4.(向心力与向心加速度)(多选)如图所示,质量为m的物体沿着半径为R的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v,若物体与球壳间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则物体在最低点时 ( )
A.向心加速度大小为
B.向心力大小为m
C.对球壳的压力大小为m
D.受到的摩擦力大小为μm
