(共77张PPT)
专题课：卫星的变轨和双星问题
学习任务一 人造卫星变轨问题
学习任务二 卫星的对接问题
学习任务三 天体相距“最近最远”问题
学习任务四 双星问题和多星问题
随堂巩固
备用习题
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
◆
学习任务一 人造卫星变轨问题
［科学思维］
图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图，请思考：从绕地球运动的
轨道进入奔月轨道，飞船应采取什么措施 从奔月轨道进入绕月球运动的轨道，
又应采取什么措施呢
[答案] 在绕地球运动的轨道上加速，使
飞船做离心运动，飞船转移到奔月轨道；
要进入绕月球运动的轨道，飞船应减速.
［模型建构］
1.卫星变轨的动力学原理
(1)稳定运行：卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，
即 .
(2)变轨运行：卫星变轨时，先是线速度大小发生变化，导致需要的向心力发生
变化，进而使轨道半径 发生变化.
①当卫星减速时，卫星所需的向心力 ，卫星将做近心运动，向低轨
道变迁.
②当卫星加速时，卫星所需的向心力 ，卫星将做离心运动，向高轨
道变迁.
2.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示.
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.
(2)在 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心
运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在 点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ.
3.卫星在不同轨道上运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速度分别为、，
在轨道Ⅱ上过 点和点速度分别为、.在点加速，则
，在点加速，则 ，又因，故有 .
(2)加速度：因为在 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ
上经过点，卫星的加速度都相同，同理，经过 点时的加速度也相同.
(3)周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为、、 ，轨道半径分
别为、(半长轴)、，由开普勒第三定律可知 .
例1 ［2024·北京十五中高一期中］如图所示为飞船运动过程的示意图.飞船先进
入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3完成对接任务.
椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于点、 点.则飞船( )
A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期
B.在轨道2运动过程中，经过点时的速率比 点大
C.在轨道2运动过程中，经过点时的加速度比 点小
D.从轨道2进入轨道3时需要在 点处减速
√
[解析] 根据得 ，轨道1的运动
半径小于轨道3的运动半径，则在轨道1的运行周期小于
在轨道3的运行周期，A错误；在轨道2运动过程中， 点
为近地点，速度最大，点为远地点，速度最小，B正确；
根据 得，可知经过点时的加速度比 点大，C错误；
从轨道2进入轨道3时需要在 点加速，D错误.
例2 (多选)［2024·三明一中高一月考］ 图为“嫦娥三号”登月轨迹示意图.图中 点为环地球
运行的近地点，点为环月球运行的近月点.为环月球运行的圆轨道， 为环月球运行的椭
圆轨道.下列说法中正确的是( )
A.“嫦娥三号”在环地球轨道上的速度大于
B.“嫦娥三号”在 点进入地月转移轨道时应点火加速
C.设“嫦娥三号”在圆轨道上经过点时的加速度为，在椭圆轨道上经过 点时的加速度
为，则
D.设“嫦娥三号”在圆轨道上经过点时的速度为，在椭圆轨道上经过点时的速度为 ，
则
√
√
[解析] “嫦娥三号”在环地球轨道上的运行速度 总小于第二宇宙速度，A错误；
“嫦娥三号”需在点点火加速才能进入地月转移轨道，B正确；由 知，
“嫦娥三号”在经过圆轨道上的点和经过椭圆轨道上的 点时的加速度相等，
C错误；“嫦娥三号”要从轨道转移到轨道，需要在 点减速，D正确.
【要点总结】
分析卫星的变轨问题时，熟记并理解以下结论往往能事半功倍：
(1)变轨的两种情景：低轨 高轨：瞬间加速，向后喷气
高轨 低轨：瞬间减速，向前喷气
(2)比较公转速度的大小：同一点：沿高轨经过该点的速度大
不同点：越远越慢
(3)比较加速度大小： 同一点：相同
不同点：越远越小
(4)比较能量大小：动能，引力势能，机械能
①轨道越高： ,， ，
②同一轨道：同一轨道，能量守恒
③不同轨道：轨道变则能量变
学习任务二 卫星的对接问题
［科学思维］
若使航天器在同一轨道上运行,航天器加速会进入较高的轨道,减速会进入较低的
轨道,都不能实现对接,故要想实现对接,可使航天器在半径较小的轨道上加速,然
后进入较高的空间轨道,逐渐靠近其他航天器，两者速度接近时实现对接.
例3 ［2024·厦门一中高一月考］中国空间站由核心舱和各功能舱室组成，核心
舱有五个对接口，其中后方对接神舟系列载人飞船，前方对接天舟系列货运飞
船.若神舟、天舟、和核心舱在同一轨道上运行如图；要使神舟、天舟要和核心
舱顺利对接，则( )
A.神舟直接加速、天舟直接减速、即可和核心舱对接
B.神舟、天舟都是先加速后减速、即可和核心舱对接
C.神舟先加速后减速、天舟先减速后加速，即可和核心舱对接
D.神舟先减速后加速、天舟先加速后减速，即可和核心舱对接
√
[解析] 神舟直接加速会做离心运动，变轨到更高的轨道，天舟直接减速会做向
心运动，变轨到较低轨道，故三者不在同一轨道，无法与核心舱对接，A错误；
神舟、天舟都是先加速后减速，则神舟、天舟都是先变轨到较高轨道，后变轨
到较低轨道，由开普勒第三定律可知，轨道半径变大周期变长，则神舟、天舟
变轨过程转过的角度小于核心舱转过的角度，故天舟可以和核心舱对接，但是
神舟不能和核心舱对接，B错误；
由开普勒第三定律可知，卫星的轨道半径变大，周期变长，轨道半径变小，周期变短，故同一轨道的卫星，后面卫星想要追上前面的卫星，需要先减速变轨到较低轨道，逐渐减小与前方卫星的距离，再加速变轨到较高轨道实现对接，同一轨道的卫星，前面的卫星如果想通过变轨实现与后方卫星对接，需要先加速，变轨到较高轨道，减小与后方卫星的距离，再减速变轨到较低轨道与后方卫星实现对接，故C错误，D正确.
例4 ［2024·江苏扬州高一月考］如图所示，载人飞船先后在圆形轨道Ⅰ、椭圆轨道Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行，与天和核心舱刚好 点成功对接，已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为、，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于、 两点，则飞船( )
A.在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅰ上运行的周期
B.在轨道Ⅱ上的点和点的速度的大小之比为
C.在轨道Ⅱ上从点运行到 点的过程中动能增大
D.先到Ⅲ轨道，然后再加速，才能与天和核心舱
完成对接
√
[解析] 根据开普勒第三定律，有，所以
，即在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅰ上
运行的周期，故A错误；根据开普勒第二定律，有
，则，故B正确；在轨道Ⅱ上从
点运行到 点的过程中，只受万有引力引力作用，万有引力做负功，引力势能增大，动能减小，机械能守恒，故C错误；飞船在Ⅱ轨道上经过 点时加速变轨进入Ⅲ轨道时，才能与天和核心舱完成对接，若在Ⅲ轨道加速，则飞船将做离心运动离开Ⅲ轨道，不能与天和核心舱完成对接，故D错误.
学习任务三 天体相距“最近最远”问题
［科学探究］
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动， 卫星的角速度为
，卫星的角速度为 .若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相
距最近，如图甲所示.当它们转过的角度之差 ，即满足
时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示.
当它们转过的角度之差 ，即
满足 时，
两卫星再次相距离近.
例5 2022年10月31日，“梦天实验舱”发射任务取
得圆满成功！中国空间站将形成三舱“ ”字形基本
构型.假定空间站在距地面 高度处做理想的
匀速圆周运动，某时刻“北斗”系统中的中轨道卫
A.7次 B.8次 C.9次 D.14次
星与空间站相距最近如图所示，该中轨道卫星A距地面高度为 ，地
球半径为，卫星 和空间站的运行轨道在同一平面内且运行方向相
同，则从图示位置往后开始计数(不包括图示位置)，在卫星 运行一周时间内，
空间站与 相距最近的次数为( )
√
[解析] 空间站的轨道半径，北斗中轨道卫星 的轨
道半径，可得，根据开普勒第三定律 ，
得出二者的周期之比为 ，从图示位置开始，二者转过的角度相差
，得，化简得，在卫星 运行一周时
间内，取值 ，所以共7次相距最近，
故选A.
例6 ［2024·集美中学高一月考］卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周
运动，为近地卫星，卫星离地面高度为，已知地球半径为 ，表面的重力
加速度为 ,则：
(1) 、 两颗卫星周期分别是多少？
[答案]
[解析] 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，对于地面上物体重力与万
有引力相等有，对于卫星有 ，结合①式可解
得，对于卫星有 ，结合①式可解得
.
例6 ［2024·集美中学高一月考］卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周
运动，为近地卫星，卫星离地面高度为，已知地球半径为 ，表面的重力
加速度为 ,则：
(2) 、 两颗卫星速度之比是多少？
[答案]
[解析] 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，对于 卫星有
，可得，对于卫星有 ，可得
,所以 .
例6 ［2024·集美中学高一月考］卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周
运动，为近地卫星，卫星离地面高度为，已知地球半径为 ，表面的重力
加速度为 ,则：
(3) 若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间
两卫星相距最远？
[答案]
[解析] 当两卫星相差半个圆周时相距最远，故相距最远的条件为
， 代入和的周期可解得 .
学习任务四 双星问题和多星问题
［模型建构］
1.双星模型
(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球
都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕
其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，
我们把这样的两个星球称为“双星”.
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速
度相同.
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供.
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 ，两星轨道半径之
比等于两星质量的反比.
(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即
， .
2.多星模型
(1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动.如：
三星模型 四星模型
___________________________________________ _____________________________________________________
三星模型 四星模型
___________________________________________ _________________________________________________
(2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变.
(3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的.
续表
例7 ［2024·福州高一期中］宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两
者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸
引到一起.设两者的质量分别为和，两者相距为,引力常量为 .求：
(1) “双星”的轨道半径之比；
[答案]
[解析] 这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作
用而吸引在一起，从而保持两星之间的距离 不变，且两者做匀速圆周运动的角
速度 必须相同.设两者轨迹圆的圆心为，圆半径分别为和 .由万有引力提
供向心力得
解得 .
例7 ［2024·福州高一期中］宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两
者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸
引到一起.设两者的质量分别为和，两者相距为,引力常量为 .求：
(2) “双星”的线速度之比；
[答案]
[解析] 因为，所以 .
例7 ［2024·福州高一期中］宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以两
者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，但两者不会因万有引力的作用而吸
引到一起.设两者的质量分别为和，两者相距为,引力常量为 .求：
(3) “双星”的角速度.
[答案]
[解析] 由几何关系知
联立解得 .
例8 ［2024·湖北武汉高一期末］在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星
可以相互绕行，从而组成双星系统.在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的
物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程
也被称之为“潮汐瓦解”.天鹅座 就是一个由质量较小的黑洞和质量较大的恒
星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图
所示.在刚开始吞噬的时间内，恒星和黑洞的距离可认为不变，不考虑其他星体
的引力作用，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A.恒星做圆周运动的角速度变小
B.黑洞的轨道半径变大
C.恒星与黑洞之间的万有引力将变大
D.恒星与黑洞做圆周运动的线速度大小之和变小
√
[解析] 假设恒星和黑洞的质量分别为、，环绕半径分别为、，且 ，
两者之间的距离为 ，双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引
力提供向心力，其中 ，解得恒星的角速度为
，恒星和黑洞的质量之和不变，恒星和黑洞的距离认为不变，则
恒星做圆周运动的角速度不变，故A错误；根据 ，，可得 ，由于恒星和黑洞的质量之和不
变，减小，增大，所以 减小，故B错误；
恒星与黑洞之间的万有引力为，由于恒星和黑洞的质量之和不变，
减小，增大，由数学知识可得，万有引力增大，故C正确；线速度为，可得，恒星与黑洞做圆周运动的线速度大小之和为 ，所以，恒星与黑洞做圆周运动的线速度大小之和不变，故D错误.
例9 (多选)［2024·重庆杨家坪中学高一期末］ 中国科幻电影《流浪地球》讲述
了地球逃离太阳系的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系
统，三星的质量相等、半径均为 ，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三
角形的边长为，三星绕点做周期为的匀速圆周运动.已知引力常量为 ，忽
略星体的自转，下列说法正确的是( )
A.匀速圆周运动的半径为
B.每个星球的质量为
C.每个星球表面的重力加速度大小为
D.每个星球的第一宇宙速度大小为
√
√
[解析] 三星均围绕边长为的等边三角形的中心 做匀速圆周运动，由几何关系
可得匀速圆周运动的半径为，A正确；设星球质量为 ，则有
，可得 ，B错误；星球表面的重力近似等于万
有引力，有，可得 ，C错误；
根据，可得 ，D正确.
解决双星问题的基本思路与常用结论
靠彼此间的万有引力提供向心力，“双”星具有相同的周期和角速度
对
对
【要点总结】
(1)结论1：(两式相加)
周期：
(2)结论2：(两式相除)
注意:(1)万有引力定律表达式中的表示双星间的距离 ,而不是轨道半
径(双星中两颗星的轨道半径一般不同).
(2)双星结构的周期公式与普通的单星公转的周期公式形式上完全一样：区别在
于该公式里的是指双星的总质量， 是指双星间的距离(而非圆周运动的半径)，
相同点是 都是指公转周期.
1.若探月飞船绕月运行的圆形轨道半径减小,则飞船的( )
A.周期减小 B.线速度减小 C.角速度减小 D.向心加速度减小
[解析] 飞船绕月飞行做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,根据
,有 ,故飞船绕月运行的圆形轨道半径减小后,其周期减
小,选项A正确;根据,有 ,故飞船绕月运行的圆形轨道半径减
小后,其线速度增大,选项B错误;根据,有 ,故飞船绕月运行
的圆形轨道半径减小后,其角速度变大,选项C错误;根据,有 ,故
飞船绕月运行的圆形轨道半径减小后,其向心加速度变大,选项D错误.
√
2.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图所示,三
颗质量为的星球位于等边三角形的三个顶点上,任意两颗星球的距离均为 ,并
绕其中心做匀速圆周运动.忽略其他星球对它们的引力作用,引力常量为 .以下
对该三星系统的说法正确的是 ( )
A.每颗星球做圆周运动的半径都等于
B.每颗星球做圆周运动的加速度与星球的质量无关
C.每颗星球做圆周运动的线速度
D.每颗星球做圆周运动的周期为
√
[解析] 三颗星球均绕中心做圆周运动,由几何关系可知 ,A错误;
任一星球做圆周运动的向心力由其他两个星球的引力的合力提供,根据平行四边
形定则得,解得 ,B错误;
由,解得
, ,C正确,D错误.
3.我国实践二十一号卫星 将一颗失效的北斗2号卫星从拥挤的地球同步
轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的轨道上,此举标志着航天器被动移位和太空
垃圾处理新方式的成功执行.这颗失效的北斗2号卫星原本运行在高度约36 000
公里的地球同步静止轨道上,在失效卫星旁边进行了近距离操作,之后将其拖离了
同步轨道,经过转移轨道抬升了 高度后,最终将其送到圆形卫星墓地轨道,
完成任务后随即返回到地球静止轨道.如图所示为这个过程中几个轨道示意图,其
中1为地球同步静止轨道,2为转移轨道,3为墓地轨道,为1、2
轨道的切点, 为2、3轨道的切点,下列判断正确的是( )
A.北斗2号在轨道1运行时的速度为
B.北斗2号在轨道1运行时的周期大于在轨道3运行时的周期
C.俘获北斗2号后需要在 点加速才能进入轨道2
D.返回时需要在 点加速才能进入轨道2
√
[解析] 北斗2号在轨道1运行时,运行轨道半径远大于地球的半径,根据 ,
可知,其速度小于 ,选项A错误; 根据开普勒第三定律可知,轨道半径越大,
则周期越大,则北斗2号在轨道1运行时的周期小于在轨道3运行时的周期,选项B
错误;俘获北斗2号后需要在 点加速做离心运动,才
能进入轨道2,选项C正确;返回时需要在 点减速做
向心运动才能进入轨道2,选项D错误.
1.(卫星变轨模型应用)(多选)［2024·三明高一期末］ 发射地球
同步卫星要经过三个阶段：先将卫星发射至近地圆轨道1，然
后使其沿椭圆轨道2运行，最后将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、
2相切于点，轨道2、3相切于 点，如图所示.当卫星分别在1、
2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )
A.卫星在轨道1上经过点时的加速度小于它在轨道2上经过 点时的加速度
B.卫星在轨道1上经过点时的速度等于它在轨道2上经过 点时的速度大小
C.卫星在轨道3上受到的万有引力小于它在轨道1上受到的万有引力
D.卫星由轨道2变轨到轨道3时要在 点加速
√
√
[解析] 根据万有引力提供向心力,有，可得 ，所以卫星在轨道
1上经过点时的加速度等于它在轨道2上经过 点时的加速度，故 A错误；卫星
在轨道1上经过 点时要加速做离心运动才能进入轨道2，故卫星在轨道1上经过
点时的速度小于它在轨道2上经过 点时的速度，故B错误；根据万有引力定律
可知，距离越大，则同一卫星受到的万有引力越小，
因此在轨道3上受到的万有引力小于它在轨道1上受到的万有
引力，故C正确；由轨道2变轨到轨道3，必须在 点加速，故
D正确.
2.(对接问题)北京时间2021年10月16日，我国长征二号 遥十三运载火箭搭载神
舟十三号载人飞船顺利升空.如图为做匀速圆周运动的三舱，已知三舱飞行周期
为，地球半径为，轨道舱的质量为，距离地面的高度为，引力常量为 ，
则下列说法正确的是( )
A.返回舱和轨道舱对接时各自受力平衡
B.长征二号 遥十三运载火箭需要把神舟十三号
载人飞船加速到第二宇宙速度，然后停止加速
C.三舱在轨运行的速度大小为
D.由已知数据可以求出地球的质量和密度
√
[解析] 返回舱和轨道舱对接时二者相对静止均做匀速圆周运动，并非处于受力
平衡状态，A错误；第一宇宙速度为地球卫星的最小发射速度也是最大环绕速
度，当卫星的速度达到第二宇宙速度时，人造卫星将脱离地球的束缚，B错误；
三舱在轨飞行的速度大小为,选项C错误；设地球质量为 ，地
球密度为 ，由,得
, ,D正确.
3.(天体相距“最近最远”问题)(多选)“轨道康复者”航天器是“垃圾”卫星的救星，被称为“太空110”，它可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命.假设“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的四分之一，其运动方向与地球自转方向一致，轨道平面与地球赤道平面重合，下列说法正确的是( )
A.“轨道康复者”的线速度大于地球的第一宇宙速度
B.“轨道康复者”的向心加速度大于站在赤道上的人的向心加速度
C.“轨道康复者”与同步卫星相邻两次距离最近的时间间隔为 天
D.“轨道康复者”可在该轨道上减速，以实现对同步卫星的拯救
√
√
[解析] 卫星做匀速圆周运动，由,可得 ,
因为“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的
四分之一，大于地球半径，所以“轨道康复者”的线速度小于
地球的第一宇宙速度，故A错误；根据 ,可知
“轨道康复者”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，而根据 可知，同步卫星的向心加速度大于站在赤道上的人的向心加速度，可知“轨道康复者”的向心加速度大于站在赤道上的人的向心加速度，选项B正确；
对“轨道康复者”与同步卫星，有,因,则 ,设两者相邻两次相距最近的时间间隔为，则,解得 天,选项C正确；“轨道康复者”可在该轨道上加速做离心运动进入同步卫星轨道，以实现对同步卫星的拯救，故D错误.
4.(双星问题)［2024·古田一中高一月考］ 冥王星与其附近的另一星体“卡戎”可
视为双星系统,质量之比约为,同时绕它们连线上的 点做匀速圆周运动.由此
可知,冥王星绕 点运动的( )
A.轨道半径约为“卡戎”的 B.角速度约为“卡戎”的
C.线速度大小约为“卡戎”的7倍 D.向心力大小约为“卡戎”的7倍
[解析] 设两星轨道半径分别为、,由 ,故
,选项A正确;两星角速度相同,选项B错误;线速度 ,则
,选项C错误;两星间的万有引力是相互作用力，大小相等，双星系统
中的向心力由万有引力提供，故 ,选项D错误.
√
练习册
知识点一 人造卫星的变轨和对接问题
1.［2023·泉州五中高一月考］2021年5月15日，我国“天问一号”卫星探测器携带
着陆巡视器“祝融号”成功着陆火星.如图为探测器实施火星捕获的轨道简化图，则
探测器( )
A.在轨道1的运行周期小于在轨道2的运行周期
B.在轨道1经过点的速度大于在轨道2经过 点的速度
C.在轨道1经过点的加速度小于在轨道2经过 点的加速度
D.在轨道1经过点的加速度大于在轨道2经过 点的加速度
√
[解析] 根据开普勒第三定律可得，由于轨道1的半长轴 小于轨道2的半
长轴 ，可知探测器在轨道1的运行周期小于在轨道2的运行周期，A正确；卫
星从高轨道变轨到低轨道时需要点火减速，即探测器从轨道2变轨到轨道1需要
在点减速，故探测器在轨道1经过点的速度小于在轨道2经过 点的速度，B错
误；根据牛顿第二定律可得,解得，
由于、 都相同，可知探测器在轨道1经过点的
加速度等于在轨道2经过 点的加速度，C、D错误.
2.［2024·福州一中高一月考］北京时间2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星
发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第56颗北斗导航卫星.这颗卫星属地球
静止轨道卫星，是我国北斗三号工程的首颗备份卫星.其绕地飞行经历变轨到静止
轨道过程可简化为如图所示，Ⅰ为近地轨道(轨道半径可视为等于地球半径)，Ⅱ为与
轨道Ⅰ、Ⅲ相切的椭圆转移轨道，、为切点，Ⅲ为轨道半径为 的静止轨道. 已知
地球半径为，其自转周转为 .则北斗导航卫星( )
A.需要在 点点火加速才能由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅱ运行经过点的加速度大于沿轨道Ⅲ运行经过 点的加速度
C.沿轨道Ⅱ从点运动到 点过程中，引力做负功，机械能不断增大
D.沿轨道Ⅱ运行的周期为
√
[解析] 由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需点火加速做离心运动，故A正确；根据 ，
解得，可得在轨道Ⅲ经过点时的加速度等于在轨道Ⅱ经过 点时的加速
度，故B错误；卫星在轨道Ⅱ上从点运动到 点过程中，卫星与地球的距离增
加，万有引力减小，引力做负功，动能减小，势能增大，
机械能守恒，故C错误；根据开普勒第三定律有
，解得 ，故D错误.
3.(多选)［2023·长汀一中高一月考］ 天舟二号货运飞船是中国空间站货物运输系
统的第一次应用性飞行，在距地面400千米高空精准对接于天和核心舱后向端口，
为空间站送去6.8吨补给物资.为避免占用轨道资源，天舟二号依次从400千米高度
的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，然后将近地点变至大气层高度
90千米以下，受控再入大气层烧蚀销毁，展现了中国航天的责任和担当，树立了
负责任大国形象.下列说法正确的是( )
A.“天舟二号”需要与天和核心舱在同一高度轨道上加速以实现对接
B.“天舟二号”对接天和核心舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
C.“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，周
期变小
D.“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，机
械能减少
√
√
[解析] 若“天舟二号”需要与天和核心舱在同一高度轨道上对接，则“天舟二号”
加速会做离心运动，将无法完成对接，所以“天舟二号”需要在较低轨道上加速
以实现对接，故A错误；根据，可得 ，可知“天舟二号”对
接天和核心舱后，轨道半径将不变，故B错误；对围绕同一中心天体运动的物
体，根据开普勒第三定律 ，可知“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至
近地点为200千米高度的椭圆轨道，周期变小，故C正确；“天舟二号”从400千米
高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，需要减速做近心运动，除
了万有引力的其他力对“天舟二号”做负功，所以“天舟二号”机械能减少，故D
正确.
知识点二 天体相距“最近最远”问题
4.［2023·泉州一中高一月考］两颗行星、 均在同一平面内沿相同的环绕方向围绕中心天体运动，经过观测发现每隔最短时间行星与行星 相距最近一次.两行星的运动均可看作匀速圆周运动，若行星的运行周期为，则行星 的运行周期为( )
A. B. C. D.
[解析] 半径越小，周期越小， ，从第一次相距最近到第二次相距最近，
比多走 ，，解得 ，故选A.
√
知识点三 双星问题
5.［2024·漳州一中高一月考］宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之
间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统.在浩瀚的银河系中，多数恒星都
是双星系统.设某双星系统、绕其连线上的 点做匀速圆周运动，如图所示.若
，则( )
A.星球的质量一定大于 的质量
B.星球的线速度一定小于 的线速度
C.双星间距离一定时，双星的质量越大，则其转动周期越大
D.双星的质量一定时，双星之间的距离越大，则其转动周期
越大
√
[解析] 根据万有引力提供向心力，有,因为 ，所以
,即的质量一定小于 的质量，选项A错误；双星系统的角速度相等，
因为，根据 可知，星球的线速度一定大于 的线速度，选项B错
误；设两星体间距为 ，根据万有引力提供向心力，有
，解得周期为 ,
由此可知，双星的距离一定时，质量越大，则周期越小，选
项C错误；双星的总质量一定时，双星之间的距离越大，则
其转动周期越大，选项D正确.
6.2024年3月20日，“鹊桥二号”中继星成功发射升空，为“嫦娥四号”“嫦娥六号”
等任务提供地月间中继通信.3月25日，“鹊桥二号”中继星经过约112小时奔月飞
行后，在距月面约440公里处开始实施近月制动，约19分钟后，顺利进入环月轨
道飞行，其运动轨迹演示如图所示.下列说法正确的是( )
A.“鹊桥二号”在地月转移轨道通过点的加速度大于在环月圆轨道通过 点的加
速度
B.“鹊桥二号”在环月椭圆轨道近月点的速度大于远月点的速度
C.“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于
D.“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面
积相等
√
[解析] 根据牛顿第二定律可得，可得 ，可知“鹊桥二号”在地月
转移轨道通过点的加速度等于在环月圆轨道通过 点的加速度，故A错误；根
据开普勒第二定律，“鹊桥二号”在环月椭圆轨道近月点的速度大于远月点的速
度，B正确；第二宇宙速度为脱离地球吸引的最小发射速度，“鹊桥二号” 中继
星没有脱离地球的束缚，可知“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度小于第二
宇宙速度 ，故C错误；由于“鹊桥二号”与“嫦娥四号”在不同轨道绕月
球转动，根据开普勒第二定律可知，“鹊桥二号” 与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积不相等，故D错误.
7.(多选)［2024·三明一中高一月考］ 如图所示，质量相同的三颗卫星、、
绕地球逆时针做匀速圆周运动，其中、在地球的同步轨道上， 距离地球表面
的高度为，此时、恰好相距最近.已知地球质量为，半径为 ，地球自转的
角速度为 ，引力常量为 ，则( )
A.发射卫星时速度要大于
B.卫星的线速度大于卫星 的线速度
C.要使卫星与实现对接，可让卫星 加速
D.卫星和下次相距最近还需经过时间为
√
√
[解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动， 是指在地球上发射的物体绕地球
飞行做圆周运动所需的最小发射速度， 是物体挣脱地球引力束缚的最
小发射速度，所以发射卫星时速度应大于而小于 ，A错误；
由万有引力提供向心力得 ，则轨道半径小的速度
大，B正确；让卫星 加速，所需的向心力增大，由于万有
引力小于所需的向心力，卫星 会做离心运动，进入更高
轨道，所以不能与实现对接，C错误；
、 在地球的同步轨道上，所以卫星、 和地球具有相同的周期和角速度，
由万有引力提供向心力，即，得 ，距离地球表面的高度为，所以卫星的角速度，此时、 恰好
相距最近，到卫星和下一次相距最近，有
，解得 ,D正确.
8.(多选)［2024·漳州一中高一月考］ 厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我
国郭守敬望远镜积累的海量恒星光斑，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮
星组成的双星系统，研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上.中
子星与红矮星的质量比约为，同时绕它们连线上某点 做匀速圆周运动，则
下列说法正确的是( )
A.中子星的角速度小于红矮星的角速度
B.中子星与红矮星做圆周运动的半径之比为
C.中子星与红矮星做圆周运动的向心加速度之比为
D.若假设两颗恒星间的距离为，中子星的公转周期为 ，则
中子星与红矮星质量之和为
√
√
[解析] 中子星与红矮星组成双星系统，同时绕它们连线上某点 做匀速圆周运
动，则中子星绕 点运动的角速度等于红矮星的角速度，故A错误；中子星与红
矮星之间的万有引力是一对相互作用力，大小相等，由万有引力提供向心力，
可知中子星与红矮星做匀速圆周运动的向心力大小相等，则有,解得 ,故B正确；由于中子星与红矮星做匀速圆周运动的向心力大小相等，根据牛顿第二定律 可
知,所以 ,故C错误；
由B选项可知，又,所以, ,根据万有引力提供向心力, 解得, ,所以 ,故D正确.
9.(12分)［2024·江苏南通高一期中］ 如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星，对地球赤道覆盖的最大
张角 ，设地球半径为，地球表面重力加速度为 .
(1) (6分)求做圆周运动的角速度 ；
[答案]
[解析] 设地球质量为，卫星的质量为， 的轨道半径
万有引力提供向心力有
解得
9.(12分)［2024·江苏南通高一期中］ 如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方
向与地球自转方向相同的卫星，对地球赤道覆盖的最大张角 ，设地球
半径为，地球表面重力加速度为 .
(2) (6分)已知地球自转周期为 ，赤道上有一个航天测控
站(图中未标出)，求、 从相距最近到开始不能直接通
信的间隔时间 .(卫星信号传输时间可忽略)
[答案]
[解析] 角度关系
解得
［科学思维］ 在绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动，飞船转移到奔月轨道；要进入绕月球运动的轨道，飞船应减速.
例1 B 例2 BD 例3 D 例4 B 例5 A
例6 （1） （2） （3）
例7 （1） （2） （3） 例8 C 例9 AD
随堂巩固 1.CD 2.D 3.BC 4.A
基础巩固练
1.A 2.A 3.CD 4.A 5.D
综合提升练
6.B 7.BD 8.BD
9.（1） （2）专题课: 卫星的变轨 双星和多星问题
1.A [解析] 根据开普勒第三定律可得=,由于轨道1的半长轴a1小于轨道2的半长轴a2,可知探测器在轨道1的运行周期小于在轨道2的运行周期,A正确;卫星从高轨道变轨到低轨道时需要点火减速,即探测器从轨道2变轨到轨道1需要在P点减速,故探测器在轨道1经过P点的速度小于在轨道2经过P点的速度,B错误;根据牛顿第二定律可得=ma,解得a=,由于M、r都相同,可知探测器在轨道1经过P点的加速度等于在轨道2经过P点的加速度,C、D错误.
2.A [解析] 由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需点火加速做离心运动,故A正确;根据=ma,解得a=,可得在轨道Ⅲ经过Q点时的加速度等于在轨道Ⅱ经过Q点时的加速度,故B错误;卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中,卫星与地球的距离增加,万有引力减小,引力做负功,动能减小,势能增大,机械能守恒,故C错误;根据开普勒第三定律有=,解得T1=T,故D错误.
3.CD [解析] 若“天舟二号”需要与天和核心舱在同一高度轨道上对接,则“天舟二号”加速会做离心运动,将无法完成对接,所以“天舟二号”需要在较低轨道上加速以实现对接,故A错误;根据G=m,可得v=,可知“天舟二号”对接天和核心舱后,轨道半径将不变,故B错误;对围绕同一中心天体运动的物体,根据开普勒第三定律=k,可知“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道,周期变小,故C正确;“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道,需要减速做近心运动,除了万有引力的其他力对“天舟二号”做负功,所以“天舟二号”机械能减少,故D正确.
4.A [解析] 半径越小,周期越小,TB>TA, 从第一次相距最近到第二次相距最近,A比B多走360°,θA-θB=2π=t-t,解得TB=,故选A.
5.D [解析] 根据万有引力提供向心力,有m1ω2r1=m2ω2r2,因为r1>r2,所以m1r2,根据v=rω可知,星球A的线速度一定大于B的线速度,选项B错误;设两星体间距为L,根据万有引力提供向心力,有G=mr1=mr2,解得周期为T=2π,由此可知,双星的距离一定时,质量越大,则周期越小,选项C错误;双星的总质量一定时,双星之间的距离越大,则其转动周期越大,选项D正确.
6.B [解析] 根据牛顿第二定律可得=ma,可得a=,可知“鹊桥二号”在地月转移轨道通过A点的加速度等于在环月圆轨道通过A点的加速度,故A错误;根据开普勒第二定律,“鹊桥二号”在环月椭圆轨道近月点的速度大于远月点的速度,B正确;第二宇宙速度为脱离地球吸引的最小发射速度,“鹊桥二号”中继星没有脱离地球的束缚,可知“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度小于第二宇宙速度11.2 km/s,故C错误;由于“鹊桥二号”与“嫦娥四号”在不同轨道绕月球转动,根据开普勒第二定律可知,“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积不相等,故D错误.
7.BD [解析] 卫星b绕地球做匀速圆周运动,7.9 km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行做圆周运动所需的最小发射速度,11.2 km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,所以发射卫星b时速度应大于7.9 km/s而小于11.2 km/s,A错误;由万有引力提供向心力得v=,则轨道半径小的速度大,B正确;让卫星c加速,所需的向心力增大,由于万有引力小于所需的向心力,卫星c会做离心运动,进入更高轨道,所以不能与b实现对接,C错误;b、c在地球的同步轨道上,所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度,由万有引力提供向心力,即G=mω2r,得ω=,a距离地球表面的高度为R,所以卫星a的角速度ωa=,此时a、b恰好相距最近,到卫星a和b下一次相距最近,有(ωa-ω)t=2π,解得t=,D正确.
8.BD [解析] 中子星与红矮星组成双星系统,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动,则中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度,故A错误;中子星与红矮星之间的万有引力是一对相互作用力,大小相等,由万有引力提供向心力,可知中子星与红矮星做匀速圆周运动的向心力大小相等,则有m中ω2r中=m红ω2r红,解得==,故B正确;由于中子星与红矮星做匀速圆周运动的向心力大小相等,根据牛顿第二定律F=ma可知m中a中=m红a红,所以==,故C错误;由B选项可知=,又r中+r红=L,所以r中=,r红=,根据万有引力提供向心力F=G=m中r中=m红r红,解得m红=,m中=,所以m红+m中=,故D正确.
9.(1) (2)
[解析] (1)设地球质量为M,卫星A的质量为m,A的轨道半径r=
万有引力提供向心力有G=mω2r
=m0g
解得ω=
(2)角度关系ωt-t=
解得t=专题课: 卫星的变轨 双星和多星问题
[科学思维] 在绕地球运动的轨道上加速,使飞船做离心运动,飞船转移到奔月轨道;要进入绕月球运动的轨道,飞船应减速.
例1 B [解析] 根据G=mr得T=,轨道1的运动半径小于轨道3的运动半径,则在轨道1的运行周期小于在轨道3的运行周期,A错误;在轨道2运动过程中,A点为近地点,速度最大,B点为远地点,速度最小,B正确;根据G=ma得a=G,可知经过A点时的加速度比B点大,C错误;从轨道2进入轨道3时需要在B点加速,D错误.
例2 BD [解析] “嫦娥三号”在环地球轨道上的运行速度v总小于第二宇宙速度,A错误;“嫦娥三号”需在M点点火加速才能进入地月转移轨道,B正确;由a=知,“嫦娥三号”在经过圆轨道a上的N点和经过椭圆轨道b上的N点时的加速度相等,C错误;“嫦娥三号”要从b轨道转移到a轨道,需要在N点减速,D正确.
例3 D [解析] 神舟直接加速会做离心运动,变轨到更高的轨道,天舟直接减速会做向心运动,变轨到较低轨道,故三者不在同一轨道,无法与核心舱对接,A错误;神舟、天舟都是先加速后减速,则神舟、天舟都是先变轨到较高轨道,后变轨到较低轨道,由开普勒第三定律可知,轨道半径变大周期变长,则神舟、天舟变轨过程转过的角度小于核心舱转过的角度,故天舟可以和核心舱对接,但是神舟不能和核心舱对接,B错误;由开普勒第三定律可知,卫星的轨道半径变大,周期变长,轨道半径变小,周期变短,故同一轨道的卫星,后面卫星想要追上前面的卫星,需要先减速变轨到较低轨道,逐渐减小与前方卫星的距离,再加速变轨到较高轨道实现对接,同一轨道的卫星,前面的卫星如果想通过变轨实现与后方卫星对接,需要先加速,变轨到较高轨道,减小与后方卫星的距离,再减速变轨到较低轨道与后方卫星实现对接,故C错误,D正确.
例4 B [解析] 根据开普勒第三定律,有=,所以T1例5 A [解析] 空间站的轨道半径r1=R+h1=6.85×106 m,北斗中轨道卫星A的轨道半径r2=R+h2=2.74×107 m,可得=,根据开普勒第三定律=k,得出二者的周期之比为==,从图示位置开始,二者转过的角度相差n2π,得t=n2π(n=1,2,3,…),化简得t=,在卫星A运行一周时间T2内,n取值(0,7],所以共7次相距最近,故选A.
例6 (1)2π 16π (2)2∶1 (3)
[解析] (1)卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,对于地面上物体重力与万有引力相等有G=m0g①,对于a卫星有G=maR,结合①式可解得Ta=2π,对于b卫星有G=mb(3R+R),结合①式可解得Tb=16π.
(2)卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,对于a卫星有G=ma,可得va=,对于b卫星有G=mb,可得vb=,所以=2∶1.
(3)当两卫星相差半个圆周时相距最远,故相距最远的条件为t-t=π,代入a和b的周期可解得t=.
例7 (1)m2∶m1 (2)m2∶m1 (3)
[解析] (1)这两颗星必须各自以一定的速度绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸引在一起,从而保持两星之间的距离L不变,且两者做匀速圆周运动的角速度ω必须相同.设两者轨迹圆的圆心为O,圆半径分别为R1和R2.由万有引力提供向心力得
G=m1ω2R1
G=m2ω2R2
解得=.
(2)因为v=ωR,所以==.
(3)由几何关系知R1+R2=L
联立解得ω=.
例8 C [解析] 假设恒星和黑洞的质量分别为M、m,环绕半径分别为R、r,且M>m,两者之间的距离为L,双星系统属于同轴转动的模型,角速度相等,根据万有引力提供向心力G=Mω2R=mω2r,其中R+r=L,解得恒星的角速度为ω=,恒星和黑洞的质量之和不变,恒星和黑洞的距离认为不变,则恒星做圆周运动的角速度不变,故A错误;根据G=Mω2R=mω2r,R+r=L,可得r=L,由于恒星和黑洞的质量之和不变,M减小,m增大,所以r减小,故B错误;恒星与黑洞之间的万有引力为F=G,由于恒星和黑洞的质量之和不变,M减小,m增大,由数学知识可得,万有引力增大,故C正确;线速度为v=ωr,可得,恒星与黑洞做圆周运动的线速度大小之和为v恒+v黑=ωR+ωr=ω×L+ω×L=ωL,所以,恒星与黑洞做圆周运动的线速度大小之和不变,故D错误.
例9 AD [解析] 三星均围绕边长为d的等边三角形的中心O做匀速圆周运动,由几何关系可得匀速圆周运动的半径为r==d,A正确;设星球质量为M,则有2Gcos 30°=Mr,可得M=,B错误;星球表面的重力近似等于万有引力,有mg=G,可得g=,C错误;根据G=m,可得v=,D正确.
随堂巩固
1.CD [解析] 根据万有引力提供向心力,有G=ma,可得a=,所以卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度,故 A错误;卫星在轨道1上经过Q点时要加速做离心运动才能进入轨道2,故卫星在轨道1上经过Q点时的速度小于它在轨道2上经过Q点时的速度,故B错误;根据万有引力定律F=G可知,距离越大,则同一卫星受到的万有引力越小,因此在轨道3上受到的万有引力小于它在轨道1上受到的万有引力,故C正确;由轨道2变轨到轨道3,必须在P点加速,故D正确.
2.D [解析] 返回舱和轨道舱对接时二者相对静止均做匀速圆周运动,并非处于受力平衡状态,A错误;第一宇宙速度为地球卫星的最小发射速度也是最大环绕速度,当卫星的速度达到第二宇宙速度时,人造卫星将脱离地球的束缚,B错误;
三舱在轨飞行的速度大小为v==,选项C错误;设地球质量为M,地球密度为ρ,由G=m(R1+R2),得M=,ρ==,D正确.
3.BC [解析] 卫星做匀速圆周运动,由=m,可得v=,因为“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的四分之一,大于地球半径,所以“轨道康复者”的线速度小于地球的第一宇宙速度,故A错误;根据=ma,可知“轨道康复者”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度,而根据a=ω2r可知,同步卫星的向心加速度大于站在赤道上的人的向心加速度,可知“轨道康复者”的向心加速度大于站在赤道上的人的向心加速度,选项B正确;对“轨道康复者”与同步卫星,有==,因T同=24 h,则T康=3 h,设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t,则-=1,解得t= h=天,选项C正确;“轨道康复者”可在该轨道上加速做离心运动进入同步卫星轨道,以实现对同步卫星的拯救,故D错误.
4.A [解析] 设两星轨道半径分别为r1、r2,由=Mω2r1=mω2r2,故r1∶r2=m∶M=1∶7,选项A正确;两星角速度相同,选项B错误;线速度v=ωr,则v1∶v2=1∶7,选项C错误;两星间的万有引力是相互作用力,大小相等,双星系统中的向心力由万有引力提供,故F1∶F2=1∶1,选项D错误.◆ 知识点一 人造卫星的变轨和对接问题
1.[2023·泉州五中高一月考] 2021年5月15日,我国“天问一号”卫星探测器携带着陆巡视器“祝融号”成功着陆火星.如图为探测器实施火星捕获的轨道简化图,则探测器 ( )
A.在轨道1的运行周期小于在轨道2的运行周期
B.在轨道1经过P点的速度大于在轨道2经过P点的速度
C.在轨道1经过P点的加速度小于在轨道2经过P点的加速度
D.在轨道1经过P点的加速度大于在轨道2经过P点的加速度
2.[2024·福州一中高一月考] 北京时间2023年5月17日10时49分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,成功发射第56颗北斗导航卫星.这颗卫星属地球静止轨道卫星,是我国北斗三号工程的首颗备份卫星.其绕地飞行经历变轨到静止轨道过程可简化为如图所示,Ⅰ为近地轨道(轨道半径可视为等于地球半径),Ⅱ为与轨道Ⅰ、Ⅲ相切的椭圆转移轨道,P、Q为切点,Ⅲ为轨道半径为r的静止轨道.已知地球半径为R,其自转周转为T.则北斗导航卫星 ( )
A.需要在P点点火加速才能由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
B. 沿轨道Ⅱ运行经过Q点的加速度大于沿轨道Ⅲ运行经过Q点的加速度
C. 沿轨道Ⅱ从P点运动到Q点过程中,引力做负功,机械能不断增大
D. 沿轨道Ⅱ运行的周期为T
3.(多选)[2023·长汀一中高一月考] 天舟二号货运飞船是中国空间站货物运输系统的第一次应用性飞行,在距地面400千米高空精准对接于天和核心舱后向端口,为空间站送去6.8吨补给物资.为避免占用轨道资源,天舟二号依次从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道,然后将近地点变至大气层高度90千米以下,受控再入大气层烧蚀销毁,展现了中国航天的责任和担当,树立了负责任大国形象.下列说法正确的是 ( )
A.“天舟二号”需要与天和核心舱在同一高度轨道上加速以实现对接
B.“天舟二号”对接天和核心舱后,空间站由于质量增大,轨道半径将变小
C.“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道,周期变小
D.“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道,机械能减少
◆ 知识点二 天体相距“最近最远”问题
4.[2023·泉州一中高一月考] 两颗行星A、B均在同一平面内沿相同的环绕方向围绕中心天体运动,经过观测发现每隔最短时间t行星A与行星B相距最近一次.两行星的运动均可看作匀速圆周运动,若行星A的运行周期为TA,则行星B的运行周期为( )
A. B.
C. D.
◆ 知识点三 双星问题
5.[2024·漳州一中高一月考] 宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转,称之为双星系统.在浩瀚的银河系中,多数恒星都是双星系统.设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动,如图所示.若AO>OB,则 ( )
A.星球A的质量一定大于B的质量
B.星球A的线速度一定小于B的线速度
C.双星间距离一定时,双星的质量越大,则其转动周期越大
D.双星的质量一定时,双星之间的距离越大,则其转动周期越大
6.2024年3月20日,“鹊桥二号”中继星成功发射升空,为“嫦娥四号”“嫦娥六号”等任务提供地月间中继通信.3月25日,“鹊桥二号”中继星经过约112小时奔月飞行后,在距月面约440公里处开始实施近月制动,约19分钟后,顺利进入环月轨道飞行,其运动轨迹演示如图所示.下列说法正确的是 ( )
A.“鹊桥二号”在地月转移轨道通过A点的加速度大于在环月圆轨道通过A点的加速度
B.“鹊桥二号”在环月椭圆轨道近月点的速度大于远月点的速度
C.“鹊桥二号”在地球表面附近的发射速度大于11.2 km/s
D.“鹊桥二号”与月心连线和“嫦娥四号”与月心连线在相等时间内分别扫过的面积相等
7.(多选)[2024·三明一中高一月考] 如图所示,质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球逆时针做匀速圆周运动,其中b、c在地球的同步轨道上,a距离地球表面的高度为R,此时a、b恰好相距最近.已知地球质量为M,半径为R,地球自转的角速度为ω,引力常量为G,则 ( )
A.发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
B.卫星a的线速度大于卫星b的线速度
C.要使卫星c与b实现对接,可让卫星c加速
D.卫星a和b下次相距最近还需经过时间为
8.(多选)[2024·漳州一中高一月考] 厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光斑,发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统,研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上.中子星与红矮星的质量比约为2∶1,同时绕它们连线上某点О做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 ( )
A.中子星的角速度小于红矮星的角速度
B.中子星与红矮星做圆周运动的半径之比为1∶2
C.中子星与红矮星做圆周运动的向心加速度之比为2∶1
D.若假设两颗恒星间的距离为L,中子星的公转周期为T,则中子星与红矮星质量之和为
9.(12分)[2024·江苏南通高一期中] 如图所示,在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A,对地球赤道覆盖的最大张角α=60°,设地球半径为R,地球表面重力加速度为g.
(1)(6分)求A做圆周运动的角速度ω;
(2)(6分)已知地球自转周期为T0,赤道上有一个航天测控站B(图中未标出),求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间t.(卫星信号传输时间可忽略)
本章易错过关(四) (时间:40分钟 总分:70分)
一、选择题(本题共8小题,单选题每小题4分,多选题每小题6分,共36分)专题课: 卫星的变轨 双星和多星问题
学习任务一 人造卫星变轨问题
[科学思维] 图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图,请思考:从绕地球运动的轨道进入奔月轨道,飞船应采取什么措施 从奔月轨道进入绕月球运动的轨道,又应采取什么措施呢
[模型建构] 1.卫星变轨的动力学原理
(1)稳定运行:卫星绕天体稳定运行时,万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,即G=m.
(2)变轨运行:卫星变轨时,先是线速度大小发生变化,导致需要的向心力发生变化,进而使轨道半径r发生变化.
①当卫星减速时,卫星所需的向心力m②当卫星加速时,卫星所需的向心力m>G,卫星将做离心运动,向高轨道变迁.
2.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示.
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.
(2)在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ.
3.卫星在不同轨道上运行物理量的大小比较
(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速度分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点速度分别为vA、vB.在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点时的加速度也相同.
(3)周期:设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T1例1 [2024·北京十五中高一期中] 如图所示为飞船运动过程的示意图.飞船先进入圆轨道1做匀速圆周运动,再经椭圆轨道2,最终进入圆轨道3完成对接任务.椭圆轨道2分别与轨道1、轨道3相切于A点、B点.则飞船 ( )
A.在轨道1的运行周期大于在轨道3的运行周期
B.在轨道2运动过程中,经过A点时的速率比B点大
C.在轨道2运动过程中,经过A点时的加速度比B点小
D.从轨道2进入轨道3时需要在B点处减速
[反思感悟]
例2 (多选)[2024·三明一中高一月考] 图为“嫦娥三号”登月轨迹示意图.图中M点为环地球运行的近地点,N点为环月球运行的近月点.a为环月球运行的圆轨道,b为环月球运行的椭圆轨道.下列说法中正确的是 ( )
A.“嫦娥三号”在环地球轨道上的速度大于11.2 km/s
B.“嫦娥三号”在M点进入地月转移轨道时应点火加速
C.设“嫦娥三号”在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1,在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2,则a1>a2
D.设“嫦娥三号”在圆轨道a上经过N点时的速度为v1,在椭圆轨道b上经过N点时的速度为v2,则v1【要点总结】
分析卫星的变轨问题时,熟记并理解以下结论往往能事半功倍:
(1)变轨的两种情景:低轨→高轨:瞬间加速,向后喷气
高轨→低轨:瞬间减速,向前喷气
(2)比较公转速度的大小:同一点:沿高轨经过该点的速度大
不同点:越远越慢
(3)比较加速度大小: 同一点:相同
不同点:越远越小
(4)比较能量大小:动能Ek=,引力势能Ep=-,机械能E=-
①轨道越高:r↑,Ek↓,Ep↑,E↑
②同一轨道:同一轨道,能量守恒Ep1+Ek1=Ep2+Ek2
③不同轨道:轨道变则能量变
学习任务二 卫星的对接问题
[科学思维] 若使航天器在同一轨道上运行,航天器加速会进入较高的轨道,减速会进入较低的轨道,都不能实现对接,故要想实现对接,可使航天器在半径较小的轨道上加速,然后进入较高的空间轨道,逐渐靠近其他航天器,两者速度接近时实现对接.
例3 [2024·厦门一中高一月考] 中国空间站由核心舱和各功能舱室组成,核心舱有五个对接口,其中后方对接神舟系列载人飞船,前方对接天舟系列货运飞船.若神舟、天舟、和核心舱在同一轨道上运行如图;要使神舟、天舟要和核心舱顺利对接,则 ( )
A.神舟直接加速、天舟直接减速、即可和核心舱对接
B.神舟、天舟都是先加速后减速、即可和核心舱对接
C.神舟先加速后减速、天舟先减速后加速,即可和核心舱对接
D.神舟先减速后加速、天舟先加速后减速,即可和核心舱对接
[反思感悟]
例4 [2024·江苏扬州高一月考] 如图所示,载人飞船先后在圆形轨道Ⅰ、椭圆轨道Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行,与天和核心舱刚好B点成功对接,已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为r1、r2,轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点,则飞船 ( )
A.在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅰ上运行的周期
B.在轨道Ⅱ上的A点和B点的速度的大小之比为r2∶r1
C.在轨道Ⅱ上从A点运行到B点的过程中动能增大
D.先到Ⅲ轨道,然后再加速,才能与天和核心舱完成对接
学习任务三 天体相距“最近最远”问题
[科学探究] 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动,a卫星的角速度为ωa,b卫星的角速度为ωb.若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方,相距最近,如图甲所示.当它们转过的角度之差Δθ=π,即满足ωaΔt-ωbΔt=π时,两卫星第一次相距最远,如图乙所示.当它们转过的角度之差Δθ=2π,即满足ωaΔt-ωbΔt=2π时,两卫星再次相距离近.
例5 2022年10月31日,“梦天实验舱”发射任务取得圆满成功!中国空间站将形成三舱“T”字形基本构型.假定空间站在距地面450 km高度处做理想的匀速圆周运动,某时刻“北斗”系统中的中轨道卫星A与空间站相距最近如图所示,该中轨道卫星A距地面高度为2.1×107 m,地球半径为6.4×106 m,卫星A和空间站的运行轨道在同一平面内且运行方向相同,则从图示位置往后开始计数(不包括图示位置),在卫星A运行一周时间内,空间站与A相距最近的次数为 ( )
A.7次 B.8次 C.9次 D.14次
[反思感悟]
例6 [2024·集美中学高一月考] 卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动,a为近地卫星,b卫星离地面高度为3R,已知地球半径为R,表面的重力加速度为g,则:
(1)a、b两颗卫星周期分别是多少
(2)a、b两颗卫星速度之比是多少
(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方,则至少经过多长时间两卫星相距最远
学习任务四 双星问题和多星问题
[模型建构] 1.双星模型
(1)如图所示,宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球,它们离其他星球都较远,其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下,它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动,通常,我们把这样的两个星球称为“双星”.
(2)特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动,两星的运行周期、角速度相同.
②两星的向心力大小相等,由它们间的万有引力提供.
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离,即r1+r2=L,两星轨道半径之比等于两星质量的反比.
(3)处理方法:双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力,即=m1ω2r1,G=m2ω2r2.
2.多星模型
(1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动.如:
三星模型 四星模型
(2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同,以保持其相对位置不变.
(3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的.
例7 [2024·福州高一期中] 宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,但两者不会因万有引力的作用而吸引到一起.设两者的质量分别为m1和m2,两者相距为L,引力常量为G.求:
(1)“双星”的轨道半径之比;
(2)“双星”的线速度之比;
(3)“双星”的角速度.
例8 [2024·湖北武汉高一期末] 在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时,黑洞和恒星可以相互绕行,从而组成双星系统.在相互绕行的过程中,质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中,从而被吞噬掉,黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解”.天鹅座X 1就是一个由质量较小的黑洞和质量较大的恒星组成的双星系统,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,如图所示.在刚开始吞噬的时间内,恒星和黑洞的距离可认为不变,不考虑其他星体的引力作用,则在这段时间内,下列说法正确的是 ( )
A.恒星做圆周运动的角速度变小
B.黑洞的轨道半径变大
C.恒星与黑洞之间的万有引力将变大
D.恒星与黑洞做圆周运动的线速度大小之和变小
[反思感悟]
例9 (多选)[2024·重庆杨家坪中学高一期末] 中国科幻电影《流浪地球》讲述了地球逃离太阳系的故事,假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统,三星的质量相等、半径均为R,稳定分布在等边三角形的三个顶点上,三角形的边长为d,三星绕O点做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G,忽略星体的自转,下列说法正确的是 ( )
A.匀速圆周运动的半径为d
B.每个星球的质量为
C.每个星球表面的重力加速度大小为
D.每个星球的第一宇宙速度大小为
[反思感悟]
【要点总结】
解决双星问题的基本思路与常用结论
靠彼此间的万有引力提供向心力,“双”星具有相同的周期和角速度
对S1:=M1ω2r1→M2=
对S2:=M2ω2r2→M1=
(1)结论1:(两式相加)M1+M2=→M总=→周期:T=
(2)结论2:(两式相除)=
注意:(1)万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离r=r1+r2,而不是轨道半径(双星中两颗星的轨道半径一般不同).
(2)双星结构的周期公式与普通的单星公转的周期公式形式上完全一样:区别在于该公式里的M是指双星的总质量,r是指双星间的距离(而非圆周运动的半径),相同点是T都是指公转周期.
1.(卫星变轨模型应用)(多选)[2024·三明高一期末] 发射地球同步卫星要经过三个阶段:先将卫星发射至近地圆轨道1,然后使其沿椭圆轨道2运行,最后将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点,轨道2、3相切于P点,如图所示.当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时,以下说法正确的是 ( )
A.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度小于它在轨道2上经过Q点时的加速度
B.卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度大小
C.卫星在轨道3上受到的万有引力小于它在轨道1上受到的万有引力
D.卫星由轨道2变轨到轨道3时要在P点加速
2.(对接问题)北京时间2021年10月16日,我国长征二号F遥十三运载火箭搭载神舟十三号载人飞船顺利升空.如图为做匀速圆周运动的三舱,已知三舱飞行周期为T,地球半径为R1,轨道舱的质量为m,距离地面的高度为R2,引力常量为G,则下列说法正确的是 ( )
A.返回舱和轨道舱对接时各自受力平衡
B.长征二号F遥十三运载火箭需要把神舟十三号载人飞船加速到第二宇宙速度,然后停止加速
C.三舱在轨运行的速度大小为v=
D.由已知数据可以求出地球的质量和密度
3.(天体相距“最近最远”问题)(多选)“轨道康复者”航天器是“垃圾”卫星的救星,被称为“太空110”,它可在太空中给“垃圾”卫星补充能源,延长卫星的使用寿命.假设“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的四分之一,其运动方向与地球自转方向一致,轨道平面与地球赤道平面重合,下列说法正确的是 ( )
A.“轨道康复者”的线速度大于地球的第一宇宙速度
B.“轨道康复者”的向心加速度大于站在赤道上的人的向心加速度
C.“轨道康复者”与同步卫星相邻两次距离最近的时间间隔为天
D.“轨道康复者”可在该轨道上减速,以实现对同步卫星的拯救
4.(双星问题)[2024·古田一中高一月考] 冥王星与其附近的另一星体“卡戎”可视为双星系统,质量之比约为7∶1,同时绕它们连线上的O点做匀速圆周运动.由此可知,冥王星绕O点运动的 ( )
A.轨道半径约为“卡戎”的
B.角速度约为“卡戎”的
C.线速度大小约为“卡戎”的7倍
D.向心力大小约为“卡戎”的7倍
