第二十一章 一元二次方程 单元检测试题（含答案）2025--2026学年人教版九年级数学上册

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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. ax2+bx+c＝0 B. x2+ ＝1
C. x2﹣1＝0 D. 2x+3y﹣5＝0
2.把一元二次方程（x+3）2＝x（3x﹣1）化成一般形式，正确的是（ ）
A. 2x2﹣7x﹣9＝0 B. 2x2﹣5x﹣9＝0
C. 4x2+7x+9＝0 D. 2x2﹣6x﹣10＝0
3.若x1·x2是一元一次方程 的两根，则x1·x2的值为（ ）
A. -5 B. 5 C. -4 D. 4
4．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
5．已知关于的方程的一个解是，则原方程的另一个解是（ ）
A．或7 B．或4 C．或7 D．或7
6．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5
7．若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．4
8．若是关于x的方程的根，则的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．
9.某电影一上映就获得追捧，目前票房已突破27亿.第一天票房约2.66亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达6.66亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为( )
A. B.
C. D.
10.若，是关于x的一元二次方程的两实根，且，则m等于( )
A.-2 B.-3 C.2 D.3
二、填空题(每题3分，共24分)
11．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　 　．
12．若x＝1是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则实数m的值为 　 　．
13．一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方可变形为 　 　．
14．若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2024的值为 　 　．
15．已知一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个根为x1、x2，则+的值为 　 　．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
18.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”.已知关于x的一元二次方程和互为“友好方程”，则m的值为____________.
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19.请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1） ；
.
20.已知关于x的一元二次方程 .
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m的取值范围.
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值．
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23． 如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
24．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系.
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，若该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A C B B C A D
二．填空题（共8小题）
11．解：∵方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0且|m|＝2，
解得：m＝2．
故答案为：2．
12．解：把x＝1代入方程x2﹣3x+m＝0得1﹣3+m＝0，
解得m＝2，
即m的值为2．
13．解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
∴（x﹣3）2＝14．
故答案为（x﹣3）2＝14．
14． ．
15．﹣3．
16． 2032．
17．25 [ 1 ＋( 1 ＋ x)＋( 1 ＋ x )2 ]＝ 82.75　
18．50.7（1+x）2=125.6
三．解答题（共7小题）
19.【答案】 （1）解：
a=2，b=6，c=3
∴
解得：
（2）解：
解得：
【考点】公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法： 解一元二次方程即可；（2）移项，利用因式分解法解一元二次方程即可.
20.【答案】 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得
x(25-2x+1)=80，
化简，得x2-13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，
答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米.
【解析】【分析】 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，则知平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，根据矩形的面积为80构建方程求解，再结合实际情况取值即可.

21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0．
解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6，
∴k＝﹣6．
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，
∴16﹣5x＝±8，
∴x1＝，x2＝；
∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB＝16﹣3y，
∴PB BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12，
解得y＝4；
②当＜y≤时，
BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，则
BP CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，
解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）；
③＜y≤8时，
QP＝CQ﹣PQ＝22﹣y，则
QP CB＝（22﹣y）×6＝12，
解得y＝18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
24．答案：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为.
将，代入，
得，解得，
年销售量y与销售单价x的函数关系式为.
（2）设该设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为万元，年销售量为台.
根据题意，得.
整理，得.解得，.
此设备的销售单价不得高于70万元，
.
答：该设备的销售单价应是50万元.