第二十二章　二次函数单元检测试题 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》单元检测题
一、选择题(每题3分，共30分)
1.抛物线 的顶点坐标为 ，则 ， 的值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
2.下列函数中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中是二次函数的个数
A． B． C． D．
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数 的图象可能为
A． B． C D．
4．抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
5．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，下列结论：①ac＞0；②2a+b=0；③b-4ac＞0；④a-b+c＞0；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为(，﹣2)；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
8. 如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．－1≤x≤3 B．x≤－1 C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
9．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P、Q同时从点C出发，点P沿运动到点B时停止，点Q沿折线运动到点B时停止，它们运动的速度都是，设P、Q同时出发t秒时，的面积为，则y与t的函数关系图象大致是图中的（ ）

B．
C． D．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若，且，则的取值范围为 ．
12．如果α、β是方程x2+2（k+3）x+k2-3＝0的两实根，则（α﹣1）2+（β﹣1）2的最小值是 ．
13．抛物线开口向上，其对称轴为直线，若其与轴一交点为B（3，0），则当时，的取值范围是 ．
14．抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k=　 　．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的的部分图像如图，图像经过（﹣1，0），对称轴为x＝2．下列4个结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③一元二次方程cx2+bx+a＝0两根为﹣1和；④不等式a（x+1）（x﹣5）＜﹣3的解集满足x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论序号是 ．
16．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m=－3时，函数图象的顶点坐标是；②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象必经过两定点．其中正确的结论有 （填写序号）．
17．已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 ．
18．如图利用135°的墙角修建一个梯形的储料场，并使∠C=90°．如果新建的墙BCD总长24m，那么BC= 储料场的面积最大．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．已知二次函数的图象经过点、，求这个二次函数的表达式．
20．如图，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，当点P在直线AC下方时，过点P作轴，交直线AC于点E，作轴，交直线AC于点F，求的最大值．
21．已知二次函数经过点与．
(1)求b，c的值．
(2)求该二次函数图象的顶点坐标．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A（0，3）．

（1）求b，c的值．
（2）P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连接AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23.“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现"这种文化衫每天的销售件数 (件）与销售单价 (元）满足一次函数关系： "．如果义卖这种文化衫每天的利润为 (元)，那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
24E.如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，抛物线 经过点 ．
(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 已知点 是抛物线上的一个动点，并且点 在第一象限内，连接 ，，设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，求 与 的函数表达式，并求出 的最大值；
(3) 在（）的条件下，当 取得最大值时动点 相应的位置记为点 ，写出点 的坐标．
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D B C C C B B
二、填空题
11．
12．8
13．x<1或x>3.
14．【答案】x1＝-1，x2＝5
15．①④
16．①②④
17．，
18．16
三.解答题
19．
20．(1)y＝x2＋2x 3(2)
21．(1)(2)
4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. 解：(1)∵函数的图象过A(1，0)，B(0，3)，
∴
解得
故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，且当x＝0时，y＝3，∴当x＝－2时，y＝3，故当y＜3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.
23．（1）（，为整数）.
（2）z;
（3）当门票价格为40元时，景点每日获取最大利润是8900元.
24．【答案】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得是的一次函数，
设，把，，，代入可得：
，解得：，
∴y关于x的函数表达式为；
设，当时，，当时，，
∴，解得：，
∴z与x之间的函数关系式为：
（2）解：设总利润为元，则
；
当时，取得最大值，
所以，第15天利润最大，最大值为：（元）.
（3）解：由题意可得：第20天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，
设此时利润为：元，则
当时，取得最大值，
最大值为：；
当最大值为时，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
综上：第天时，取得最大值，当利润为元时，.
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【解析】【分析】（1）由题意可得y是x的一次函数，设y=kx+b，将x=1、y=220；x=2、y=240代入求出k、b的值，可得y与x的关系式；设z=mx+n，将x=1、z=98；x=2、z=96代入求出m、n的值，可得z与x之间的函数关系式；
（2）设总利润为w元，根据(售价-成本价)×销售量可得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；
（3）由题意可得：第20天开始每件商品的单价为(-2x+100-a)元，每件商品的利润为(-2x+80-a)元，设此时利润为w1元，根据每件的利润×销售量=总利润可得w1与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.