第二十二章　二次函数单元检测试题（含答案）2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》单元检测题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．已知二次函数y＝x2﹣2mx以下各点不可能成为二次函数顶点的是（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
2．已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点
C．抛物线的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减少
4．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
5．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4
C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
6．已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
8. 如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．－1≤x≤3 B．x≤－1 C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
9．二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴为，顶点坐标为
B．开口向下，对称轴为，顶点坐标为
C．开口向上，对称轴为，顶点坐标为
D．开口向上，对称轴为，顶点坐标为
10．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
； ②； ③； ④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分，共24分)
11．如果抛物线开口向下，那么的取值范围为 ．
12．二次函数的顶点坐标为（ ），对称轴为 ．
13. 如果函数是二次函数，那么k的值一定是_____
14．抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k=　 　．
15．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．
16．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为　 　．
17．为了节省材料，某工厂以岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则给出下列四个结论：①米，②；③；④长方形的最大面积为300平方米，其中，正确的是 .

18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点P坐标是
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19. 已知抛物线．
(1)求这条抛物线顶点的坐标及对称轴；
(2)当时，直接写出y的取值范围______．
20. 已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
22．小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6750千克？
(3)如果增种的桃树x（棵）满足：，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是多少千克
23．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是宽是．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标；
（2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D B C C C B B
二、填空题
11．
12． 直线
13. 【答案】 0
14．【答案】x1＝-1，x2＝5
15．【答案】2
16．﹣1＜x＜3．
17．
18．①②③
三.解答题
19. (1)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；(2)
20. 解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
，
即a的值是1，b的值是﹣2．
　
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. (1)(2)增种桃树10棵(3)桃园的总产量最少是7000千克
23．（1），10m，（2）能
24.（1）解析式为y=﹣x2+2x+3，顶点E（1，4）；（2）点C在以BE为直径的圆上；（3）存在，R（4，﹣5），Q（1，﹣2）或R（﹣2，﹣5），Q（1，﹣8）或R（2，3），Q（1，0）．
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