第二十二章　二次函数单元 检测试题（含答案） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》单元检测题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．抛物线y＝x2+kx﹣1与坐标轴交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知、在抛物线的对称轴的同侧，当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．臭豆腐是中国传统特色小吃，它“闻起来臭，吃起来香”．臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂．其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）
A．4.25分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．2.75分钟
6．在直角坐标系中，点在二次函数的图象上，对于，当，，时，依次对应的函数值，，中最大的是（ ）
A． B． C． D．或（）
7. 一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．－1≤x≤3 B．x≤－1 C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
9．某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为( )
A．
B．池底所在抛物线的解析式为
C．池塘最深处到水面的距离为
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的
10．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ）

A． B． C．或 D．或
二、填空题(每题3分，共24分)
9．抛物线y=﹣2x2﹣4x+8的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是　 　．
10．二次函数的最大值是　 　．
11．如果点，在二次函数的图象上，则　 　（填“＞”、“＜”或“＝”）
14．抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k=　 　．
15．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．
16．已知二次函数，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，则 ．
x ... 0 1 3 ...
y ... ...
17．飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距离是 m
18．如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，矩形框架面积的最大值是 平方厘米．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式．
20．函数y=x（2﹣3x），当x为何值时，函数有最大值还是最小值，并求出最值．
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
22. 如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
23．如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点，且，求点的坐标．
24．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：，设该产品每天的销售利润为w元.
（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B C C C B B
二、填空题
11．y=﹣2x2﹣12x﹣5
12．
13．＜
14．【答案】x1＝-1，x2＝5
15．【答案】2
16．﹣1＜x＜3．
17．
18．①②③
三.解答题
19．解：设抛物线的解析式为y=a（x-1） +b将A，B点坐标代入得，
解得a=-2，b=8，
则y=-2(x-1) +8.
20．解：∵y=x（2﹣3x）=﹣3（x﹣）2+．
∴该抛物线的顶点坐标是（，）．
∵﹣3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，
∴该函数有最大值，最大值是．
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. (1)拱桥所在抛物线的解析式为：；
(2)此时拱桥内水面的宽度为米．
23．（1）解：抛物线解析式为，即
（2）解：因为，
所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：设，
因为，
所以，
所以或，
解方程得，则点坐标为或；
解方程得，则点坐标为，
所以B点坐标为或或．
24．（1）解：由题意可得：
，
，
时，w有最大值200，
答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（2）解：当时，可得，
解得：，，
，
不合题意，应舍去，
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答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元.