第二十二章　二次函数单元 检测试题（含答案） 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》单元检测题
一、选择题(每题3分，共30分)
1. 下列函数解析式中，一定是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
3．抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（－1，2） B．（－1，－2）
C．（1，－2） D．（1，2）
4．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
5．下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
7．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(　　)
A．5 B．10 C．1 D．2
8. 如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．－1≤x≤3 B．x≤－1 C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
9．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　）

A．16米 B．18米 C．20米 D．24米
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而减小.
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知函数的图象是抛物线，则 ．
12．抛物线y=x2-9与x轴的两个交点之间的距离为 ．
13. 如果函数是二次函数，那么k的值一定是_____
14．已知二次函数的图象上两点，，且满足．当时，该函数的最大值为，则t的值为 ．
15．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．
16．有一座抛物线形拱桥，其最大高度为9m，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的函数解析式为 ，其中自变量x的取值范围是 ．
17．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为　 　m时，竖直高度达到最大值．
18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0，c>0，b<0 ；②b2-4ac>0； ③a+b>am2+bm(m为实数)；④b+2a=0；⑤-a+c>0 正确的有　 　。
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．求下列二次函数的表达式：
(1)已知二次函数的图象的顶点为，且经过点；
(2)已知二次函数的图象经过点，，．
20．已知二次函数（a，b为常数，）．
(1)若，求二次函数的顶点坐标．
(2)若，设函数的对称轴为直线，求k的值．
(3)点在函数图象上，点在函数图象上，当，时，试比较m，n的大小．
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
22. 掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，
实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x之间的函数关系如图2所示．
掷出时，起点处高度为，实心球行进至最高点处．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
23．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
24．二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程 的两个根；
（2）写出y随y的增大而减小的自变量y的取值范围；
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B C C C B B
二、填空题
11. 【答案】
12. 【答案】y =
13. 【答案】 0
14．【答案】x1＝-1，x2＝5
15．【答案】2
16．﹣1＜x＜3．
17．
18．①②③
三.解答题
19. 解：（1）依题意得
∴
∴m＝0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
20. 解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
，
即a的值是1，b的值是﹣2．
　
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. 解：(1)∵函数的图象过A(1，0)，B(0，3)，
∴
解得
故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，且当x＝0时，y＝3，∴当x＝－2时，y＝3，故当y＜3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.
23．解：（1）由题意，得：w=（x﹣20） y，
=（x﹣20） （﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，
x==35，
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润；
（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40，
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元；
（3）∵a=﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当30≤x≤40时，w≥2000，
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000，
设成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000，
∵a=﹣200＜0，
∴P随x的增大而减小，
∴当x=32时，P最小=3600，
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
24．（1）解：由图像知，该二次函数经过（1，0），（3，0），（2，2）三点，
且对称轴为x=2.将以上三点分别代入二次函数得：
解该方程组可得：
将a，b，c的值代入二次函数得y=-2x +8x-6.解一元二次方程-2x +8x-6=0
-2（x +4x-3）=0
即-2（x-1）（x-3）=0，解得，x=1或x=3．
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（2）解：通过观察图像可知：对称轴为x=2，即当x>2时， 随 的增大而减小