1.1-2.1直线的倾斜角与斜率滚动测试卷（基础）（含解析）

1.1-2.1直线的倾斜角与斜率滚动测试卷（基础）
一、单选题
1．经过两点和的直线l的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．若直线与直线互相垂直，则实数的值是（ ）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
3．在棱长为的正方体中，是棱的中点，在线段上，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．在四棱锥中，底面是平行四边形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行六面体中，，则的长为（ ）
A． B． C．12 D．20
6．已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ）
A． B． C．与斜交 D．
7．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．不存在
二、多选题
9．若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．两两共面
B．若，则
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．不一定能构成空间的一个基底
11．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线与直线所成角的正该值是
D．直线与平面所成角的正弦值是
三、填空题
12．已知，则 ．
13．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底下的坐标为，则在基底的坐标为 ．
14．已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为 .
四、解答题
15．已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三点.
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.
16．已知向量，
(1)求与的夹角；
(2)若与垂直，求实数t的值．
17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．
(1)证明：直线平面PAD；
(2)当二面角为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
18．已知向量，且．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
19．如图，在三棱柱中，，，．
(1)求证：；
(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第2页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D B A D C AC AC
题号 11
答案 AB
1．B
【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得倾斜角.
【详解】由斜率公式得，
记直线l的倾斜角为，则，得.
故选：B
2．B
【分析】直接利用两直线垂直时系数的关系求解即可.
【详解】由题可知，，解得.
故选：B
3．C
【分析】如图，建立空间直角坐标系，设，然后根据，列方程求出的值，从而可确定出点的位置，进而可求出三棱锥的体积
【详解】如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则
，所以，
设，则，所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
所以点到平面的距离为，
所以
故选：C
4．D
【分析】先根据空间向量加法得出向量，再应用异面直线夹角余弦公式计算即可.
【详解】因为底面是平行四边形，所以，
所以.
设异面直线与所成的角为，
则.
故选：D.
5．B
【分析】利用向量表示，再利用空间向量的数量积计算得解.
【详解】在平行六面体中，，
，而，
所以 ，
.
故选：B
6．A
【分析】由条件可得，然后可得答案.
【详解】因为，且直线，
所以，
故选：A
7．D
【分析】先确定三角形的位置以及形状，利用球的半径表示棱锥的底面边长与棱锥的高，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的半径，从而可得结果.
【详解】正三棱锥的外接球的球心满足，
说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为，根据对称性易知：正三棱锥中顶点到底面的距离为球的半径，
由正弦定理有底面三角形的边长为，
棱锥的底面正三角形的高为，
正三棱锥的体积为，解得，
则此三棱锥外接球的半径是．
故选：D.
8．C
【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切的二倍角公式，可得答案.
【详解】由直线的斜率为，设其倾斜角为，则，
由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，
，，解得或，由倾斜角的取值范围为，则，
故直线的斜率为.
故选：C.
9．AC
【分析】根据平面垂直则法向量数量积为零，逐一计算，即可判断和选择.
【详解】根据题意，与平面的法向量数量积为零，
对A：因为，满足题意，故A正确；
对B：因为，故B错误；
对C：因为，满足题意，故C正确；
对D：因为，故D错误.
故选：AC.
10．AC
【分析】AC选项，根据基底的定义以及空间向量基本定理可得；B选项，，不一定垂直；D选项，判断出，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底.
【详解】A选项，由基底的定义可知，不能共面，两两共面，A正确；
B选项，，但，不一定垂直，B错误；
C选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量，总存在有序实数组，
使，C正确；
D选项，设，故，无解，
故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误.
故选：AC
11．AB
【分析】根据空间向量基本定理，将所求转化为基底进行运算即可.
【详解】记，则
因为，所以，故A正确；
因为，故B正确；
因为，，，
所以，所以，故C不正确；
易知，又，所以为平面的法向量，记直线与平面所成角为，则，故D不正确.
故选：AB
12．
【分析】直接根据向量的夹角公式求解.
【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故
故答案为：
13．
【分析】根据空间向量的基本定理：设坐标，分别以、为基底表示，即可得方程组求参数，进而确定坐标.
【详解】由题意知：，若在基底的坐标为，
∴，
∴，可得，
∴在基底的坐标为.
故答案为：
14．1
【分析】通过平面向量基本定理推导出空间向量基本定理得推论.
【详解】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：
即，整理得：，
又，所以，，，从而.
故答案为：1
15．.解析　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==,直线AC的斜率kAC==.
(2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是
16．(1)
(2)
【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；
(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1），，
，，
，
令与的夹角为，
则，
则与的夹角为.
（2），，
又与垂直，，
即，解得.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行；
（2）作出辅助线，得到，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求出答案.
【详解】（1）取PD中点E，连接AE，NE，
∵N为PC中点，
∴且，
又∵且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD．
（2）连接，取AD中点F，连接，
因为底面是菱形，，所以为等边三角形，
故⊥，
因为为等边三角形，所以⊥，
故为二面角的平面角，
因为二面角为，故，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，设，则，，
∴，，，，
∴，，，
，，，
设平面PCD的一个法向量，
故，
令得，故，
设MN与平面PCD所成角为，
∴．
18．(1)9；
(2).
【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可；
（2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可.
【详解】（1）解：因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以；
（2）解：，
，
，
设向量与夹角为，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知可推得，，进而得出平面，.然后根据勾股定理，可证得，进而得出平面，即可得出证明；
（2）设，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，然后求出以及平面的法向量，根据向量法即可求出答案.
【详解】（1），
，.
，，
.
，平面，平面，
平面.
又平面，.
在中，有.
，，
，
，.
又平面，平面，，
平面.
平面，
．
（2）
由（1）知，平面，.
设，则，，
则以为原点，分别以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，.
设平面的一个法向量为，
，即，
取，则，，所以是平面的一个法向量，
，
直线与平面所成角的正弦值．
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