沪科版数学九年级上册二次函数重难点题型梳理

沪科版数学九年级上册二次函数重难点题型梳理
一、二次函数与系数关系
1．（2023九上·惠阳期中）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2024九上·潮南期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2023九上·古蔺期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024九上·杭州期末）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·武汉月考）抛物线（，、、为常数）的部分图象如图所示，对称轴是直线，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：
①；②；③一元二次方程的两根为、，则；④对于任意实数，不等式恒成立．则上述说法正确的是　 　．（填序号）
二、二次函数与一元二次方程的关系
6．（2024九上·武汉月考）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．（2025·齐齐哈尔）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，，且.下列结论：
①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式）的解集为.其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025·遂宁）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
三、二次函数与解不等式
9．（2024九上·宁波期中）已知二次函数（b，c为常数），
（1）若抛物线与x轴正半轴的交点坐标是（1，0），对称轴为直线，求抛物线的解析式；
（2）若，设函数图象的顶点坐标为，当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）已知二次函数图象经过两点，若时，总有，求q－p的取值范围．
10．（2025九上·金华竞赛） 都是实数，且 ，则 之间的大小关系是 (　　)
A． B． C． D．
11．（2024九上·绥阳期末）在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
四、构造二次函数解决最值问题
12．（2025九上·柯桥期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
五、二次函数的新定义问题
13．（2024九上·萧山月考）对于一个函数，当自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
（1）若2是此函数的不动点，则的值为　 　．
（2）若此函数有两个相异不动点与，且，则的取值范围是　 　．
14．（2024九上·义乌月考）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为　 　．
15．（2023九上·盐城期中）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　．
16．（2024九上·英吉沙期末）在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）．
（1）若时，图象经过点，求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：．
17．（2023九上·义乌期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点.
（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线经过（1，3）.
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；
（3）如果抛物线在“G区域”内有4个整点，求a的取值范围，
六、二次函数的应用（抛物线形问题）
18．（2024九上·西城期中）利用以下素材解决问题．
问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁．
19．（2024九上·汉阳期中）如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线解析式；
（2）如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？
（3）如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度．
20．（2024九上·浙江期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．
（1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
21．（2024九上·青秀月考）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）
【解决问题】
（1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；
（2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围；
（3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．
22．（2024九上·柳州模拟）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点4（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
23．（2024九上·贵州期末）排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：） 近似满足函数关系．
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度（单位：） 与水平距离（单位：） 近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
七、二次函的数应用（利润问题）
24．（2024九上·无锡期末）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
25．（2024九上·黔南期末）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元．
（1）　 　，　 　；
（2）销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
26．（2024九上·宝安模拟）某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价（元千克）与采购量（千克）之间的函数关系如图中折线所示（不包括端点）．
（1）当时，直接写出与之间的函数解析式；
（2）若甲种蔬菜的种植成本为元/千克，采购量不超过千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利元？
27．（2024九上·遵义期末）近段时间，位于汇川区泗渡镇泗渡农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．请阅读以下材料，帮助农户解决问题．
材料1：某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中米，米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道．
材料2：当售价为60元时，每天可销售40，该农户调查发现，决定降价销售，若销售单价每降低1元，每天可多销售2千克．已知每千克草莓的成本为20元．
（1）若三个大棚的面积是1400，求道路的宽度；
（2）当售价定为多少元时，利润最大？并求出最大利润．
八、二次函数的应用（存在性问题）
28．（2023九上·霞山月考）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
29．（2024九上·高邑期末）如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出直线的解析式为　 　；
（3）若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值；
（4）在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由．
30．（2022九上·绍兴期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；
（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
31．（2023九上·滨州期中）综合与实践
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．
（1）求抛物线的解析式：
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
32．（2024九上·四平期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）当点在线段上运动时，求线段的最大值；
（3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值；
（4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
33．（2023九上·崇阳月考）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
34．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标：若不存在，请说明理由．
35．（2024九上·绍兴月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
九、二次函数的应用（面积问题）
36．（2024九上·八步期末） 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点左侧．点的坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点是抛物线对称轴上的一个动点时，求当最小时，点的坐标；
（3）若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值．
37．（2024九上·信丰期末）直线yx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A，B．M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M在线段OA上运动，
①求线段PN的最大长度．
②连接AN，求△ABN面积的最大值．
38．（2024九上·萧山月考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为.
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少
39．（2022九上·天津期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
40．（2024九上·杭州期中）有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积？
（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明．
十、二次函数的应用（增减性问题）
41．（2025九上·慈溪期末）已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
42．（2024九上·温州月考）已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为
（1）求二次函数的表达式；
（2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
43．（2024九上·余姚期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向左平移m（）个单位长度，向上平移（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值并判断点是否落在的图像上；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2.25，求n的取值范围．
44．（2025九上·钱塘期末）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故答案为：B．
【分析】首先根据函数图象，可得出a＜0，b＞0，c＞0的正负号，故而得出①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，可得出②正确；由，得，令，求函数值，即可判断③正确；令时，则，令时，，再把两个式子相加，即可判断④正确；综上即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当y> 0时，-1∴函数与x轴的交点为(-1，0)和(2，0)，且开口向下，故A、B、D选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据图象分析即可.
5．【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，
即时，，
，故①正确；
，
点，关于直线对称，
，故②正确；
二次函数的图象过点和，
，
解得，
，
当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，
若为任意实数，则；
当时，抛物线开口向下，当时，为最大值，
若为任意实数，则；
故③错误；
由得，
，
又，，
得，，
则△，
关于的方程必有两个不相等的实数根，
故④正确．
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=->0
∴b<0，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
②、∵二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函数y=ax2 + bx +c(a≠0 )的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且2∴对称轴
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③错误；
④、如图，
关于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两个根，即兩数y=ax2 +bx+c(a≠0)与y=-c交点的横坐标.
∵m<-1<2∴ 若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，； 故④正确；
⑤、∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化为ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集为，故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，得出a- b+c=0，进而判断对称轴，得出a< -b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化简不等式为x2 -x1x>0求得解集，逐一判断即可解答.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
9．【答案】（1）解：根据题意可得，解得
则解析式为；
（2）解：由可得，
由顶点坐标为，可得
可得，代入可得，
即；
（3）解： 二次函数图象经过两点
则对称轴为直线
∵，开口方向向下，
将代入可得，
，且
可得：，
则二次函数解析式为：，
顶点坐标为，
令，即
方程的两根满足：，，
∴
即抛物线与直线y=-7的两个交点的横坐标之差为4，
若 若时 ， 总有 ，则 q－p 的最大值为；
当或时，有最小值，为，
∴；
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据题意可得，解得，即可求解；
（2） 由题意可得，由顶点坐标为，可得，求解即可.
（3） 根据题意将两点坐标代入解析式得到，再令将函数解析式转化为方程，根据一元二次方程两个根的关系，求出抛物线与直线两个交点的横坐标之差为4，再根据抛物线的对称性和增减性得出结论.
10．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：
∴c≥b；
，
由②-①得
2b=2a2-2a+5，
，
∴a＜b，
∴a＜b≤c.
故答案为：A.
【分析】将c-b转化为完全平方式，利用偶次方的非负性，可得到c与b的大小关系；再将两个等式相减消去c，可得到2b-2a的值，再将其配方，可得到2b-2a≥3，据此两端的a、b的大小关系，由此可推出a、b、c之间的大小关系.
11．【答案】（1）解：将代入中，
得，
解得，
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述
（3）解：关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将 点 代入函数解析式，可求出t的值.
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论：当，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，可得到符合题意的t的值.
（3）利用点A、C的坐标j及二次函数的对称性，可得到，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
12．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：由题知，，
如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，
∵轴，
∴，
∴．
令，则有，解得，
∴，
∴．
将代入，得：，
∴点C的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数解析式为．
∵，
令点P坐标为，
则，
∴
∴，
则，
∴，
则当时，有最大值为：，
即的最大值为．
故选：C．
【分析】
观察图象知，可过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，显然可证，由相似比得，由于AB是定值，则当PM最小时最大，此时可利用抛物线上点的坐标特征设出P点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，则点M坐标可表示，则线段PM即为P、M两点横坐标的差，即PM是关于m的二次函数，且二次项系数为负，则PM有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
13．【答案】；
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）若2是此函数的不动点，则抛物线经过，
将代入得，
解得：，
故答案为：；
（2）由题意可知二次函数有两个相异不动点与，
则与是方程的两个不相等实根，且，
整理得，
，
解得，
令，
，
当时，，
解得：，
故答案为：．
【分析】
（1）根据函数不动点的概念将代入函数解析式得关于m的一元一次方程并求解即可；
（2）先由函数的不动点概念可得方程，又因为与同时满足这个方程，即与 是该方程两个不相等的实数根，则一元二次方程根的判别式，可得关于的不等式并解不等式；再令，则是抛物线与轴两个交点坐标，由于抛物线开口向下，则当时，函数值，再解关于的不等式，最后再求出两个不等式解集的公共部分即可.
14．【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
16．【答案】（1）解：把代入得：，
∵当时，，
∴，
∴，
∴二次函数的关系式为．
（2）解：令，则，
当时，则，
∴，
∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为，
∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ．
（3）证明：∵二次函数的图象和直线都经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将a=2，，，代入二次函数表达式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征令，则，根据与x轴只有一个交点，则对应一元二次方程有一个解，则，即，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标.
（3）根据题意得到，整理得，再代入不等式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：把代入得：，
∵当时，，
∴，
∴，
∴二次函数的关系式为．
（2）解：令，则，
当时，则，
∴，
∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为，
∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ．
（3）证明：∵二次函数的图象和直线都经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：∵，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：①∵抛物线经过，
∴，解得；
②由①得：，
令得，，
解得，，
∴点，点.
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
（3）解：
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
当时，如图1所示，
此时有，解得；
当时，如图2所示，
此时有，解得；
综上，如果“G区域”内仅有4个整点时，则a的取值范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点的坐标；
（2）①将点（1，3）代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值；②易得抛物线的解析式，令解析式中的y=0算出对应的自变量的值，可得点A、B的坐标，再令解析式中的x=0、x=1、x=2，算出对应的函数值即可判断得出 “G区域”内整点的坐标；
（3）令解析式中的x=0算出对应的函数值可得抛物线与y轴交点的坐标，分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
18．【答案】【解答】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接．∵，
∴．
∵，
∴，直线过点O．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
故半径为．
方案二，
∵顶点C坐标为，
∴设桥拱的函数解析式为．
∵，
∴．
代入得．
解得．
故函数解析式为．
任务二：
方案一，
如图，连接，设交于I．
由上知，
∵矩形中，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
故货船能顺利通过．
方案二，
如图，∵，
∴H横坐标为5．
∴．
故货船不能顺利通过．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；垂径定理的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，首先根据AC和CD的长度。可得出，进而得出∠ACD=60°，即可得出是等边三角形，可得出圆弧的半径为10m；方案二， 以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系， 可得出顶点C坐标为，再根据点，利用待定系数法，即可得出函数解析式为；
任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断．
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
20．【答案】（1）；
（2）m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
21．【答案】（1）
（2）
（3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
22．【答案】解：根据题意可得，A点坐标为（1.5，3.05），B点坐标为（0，3.5），
设抛物线的解析式为，
将A（1.5，3.05），B（0，3.5）代入得二元一次方程组：
，
解这个方程组得，，
因此该抛物线的解析式为，
当时，，
答：篮球在该运动员出手时的高度为2.25．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】根据题意设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式后再代入计算求解即可.
23．【答案】（1）①由表中数据可得顶点，
则，
把代入得：，
解得：，
所求函数关系为；
②能，
当时，，
该运动员第一次发球能过网
（2）判断：没有出界，
在中，令，则，
解得：（舍），，
，
没有出界
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①分析表格得到抛物线顶点，然后利用待定系数法求函数解析式即可；
②把代入，求得y的值，再与球网高度比较解题；
（2）令，求出抛物线与轴的交点即可解题．
（1）①由表中数据可得顶点，
则，
把代入得：，
解得：，
所求函数关系为；
②能，
当时，，
该运动员第一次发球能过网；
（2）判断：没有出界，
在中，令，则，
解得：（舍），，
，
没有出界．
24．【答案】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
则每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）解：由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴．
答：（）．
（3）解：．
∴当时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
【知识点】二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，根据相等关系“ 购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元 ”列方程并求解即可；
由每降价1元则每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；
结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润再求和即可得出每天的总利润w，可发现w是关于x的二次函数，由于二次项系数为负，则w有最大值，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
则每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴．
答：（）．
（3）．
∴当时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
25．【答案】（1）；25
（2）解：由（1）知第天的销售量为千克．
当时，
，
当时，取得最大值，最大值为968．
当时，．
，随的增大而增大，
．
，当时，．
答：销售优质葡萄第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）根据题意可得：32=12m-76m，n=25，
解得：m=，n=25，
故答案为：；25.
【分析】（1）根据“ 第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克 ”列出方程32=12m-76m，n=25，再求解即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
26．【答案】（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．
把，代入函数关系式得：
，
解得，
与之间的函数解析式为：；
（2）解：设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
当时，有最大值元，
当时，，
，
当时，有最大值为元，
综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；
（3）解：由，根据（）可得，，
解得：，，
采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设当时，与之间的函数解析式为：，进而运用待定系数法即可求解；
（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，根据题意分别求出当时，当时，与的函数关系式，进而根据二次函数的性质和一次函数的性质求出其最值即可求解；
（3）由，根据（）可得，，进而解一元二次方程即可求解。
（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．
把，代入函数关系式得：
，
解得，
与之间的函数解析式为：；
（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
当时，有最大值元，
当时，，
，
当时，有最大值为元，
综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；
（3）由，根据（）可得，，
解得：，，
采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．
27．【答案】（1）解：设道路的宽度是x 米，
根据题意，可列方程为（52-2x）（30-2x）=1400，
解这个方程，得x1=1，x2=40（不符合题意，舍去），
答：道路的宽度是1米.
（2）解：设，定价为y元/kg，利润为w元，
根据题意可知：w=（y-20）[40+2（60-y）]
整理，得：w=-2y2+200y-3600=-2（y-50）2+1800
∴当y=50时，w取得最大值，最大值为1800，
答： 当售价定为50元时，利润最大，最大利润是1800元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设通道的宽为米，根据矩形面积公式建立方程即可；
（2）设售价定为y元，利润为元，根据题意可以得到一个关于的二次函数，再利用配方法求最值即可.
（1）解：设通道的宽为米，
根据题意得：，
解得：（舍去）或，
答：通道的宽为1米；
（2）解：设售价定为元，利润为元
则由题意得：，
化简得：
，
∵，
∴当时，利润最大，为元．
28．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
联立方程组：
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
解：（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案为：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y=x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可解答；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE═﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可解答；
（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG=90°和∠DGQ=90°两种情况求解即可解答．
29．【答案】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）
（3）解：如图，
点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，
点，
轴，
点，
，
，
当时，h的值最大，最大值为4；
（4）在轴的负半轴上存在点或，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）当时，，
点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
直线的解析式为；
（4）在轴的负半轴上存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：
当时，
，
，
点，点在轴的负半轴上，
点；
当时，
点，，
，，
，
，
点在轴的负半轴上，
点；
当时，点位于的垂直平分线上，
，
点位于的垂直平分线上，
此时点与点重合，不合题意，舍去；
综上所述，在轴的负半轴上存在点或，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【分析】（1）根据题意代入点A和点B即可求解；
（2）先求出点C的坐标，进而运用待定系数法即可得到直线BC的解析式；
（3）先根据题意设点，进而得到点，再表示出MN，从而根据二次函数的最值即可求解；
（4）根据等腰三角形的判定与性质分类讨论：当时，当时，当时，进而运用勾股定理结合垂直平分线的性质即可求解。
30．【答案】（1）解：将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．

（2）或
（3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，
当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②或或
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（2）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，
画出函数图象如下：
则当点在轴上方时，的取值范围为或．
（3）②设点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，
则在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得，
则此时点的坐标为或；
（Ⅱ）当时，
由（3）①可知，此时，
则点，
，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，结合函数图象即可求出答案.
（3）①求出顶点坐标可得，分情况讨论：当时，当时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设点的坐标为，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，根据等腰三角形性质建立方程，解方程即可求出答案；当时，由（3）①可知，，根据两点间距离可得，，，根据等腰直角三角形分类讨论，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．
（2）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，
画出函数图象如下：
则当点在轴上方时，的取值范围为或．
（3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，
当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②设点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，
则在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得，
则此时点的坐标为或；
（Ⅱ）当时，
由（3）①可知，此时，
则点，
，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
综上，点的坐标为或或．
31．【答案】（1）
（2）存在，或或
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
32．【答案】（1）解：∵抛物线过、两点，，
∴代入抛物线解析式可得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令可得，，解，
∵点在点右侧，
∴点坐标为，
设直线解析式为，
把、坐标代入可得，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：∵轴，点的横坐标为，
∴，，
∵在线段上运动，
∴点在点上方，
∴，
∴当时，有最大值，的最大值为.
（3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为，
∴
∵
∴
∵轴，轴，
∴
∴
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，，
∴点纵坐标为，
∴，
解得：或，
当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴.
（4）的值为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（4）解：由（）得，，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点在线段上时，由（）得，
∴，此方程无实数根，
当点不在线段上时，则有，
∴，解得或，
综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．
故答案为：或.
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）先求出，，再利用两点之间的距离公式求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）当是以为腰的等腰直角三角形时，，求出点纵坐标为，列出方程，再求出m的值即可；
（4）分类讨论：①当点在线段上时，②当点不在线段上时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：∵抛物线过、两点，
∴代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为，
令可得，，解，
∵点在点右侧，
∴点坐标为，
设直线解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵轴，点的横坐标为，
∴，，
∵在线段上运动，
∴点在点上方，
∴，
∴当时，有最大值，的最大值为；
（3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为，
∴
∵
∴
∵轴，轴，
∴
∴
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，，
∴点纵坐标为，
∴，解得或，
当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴；
（4）解：由（）得，，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点在线段上时，由（）得，
∴，此方程无实数根，
当点不在线段上时，则有，
∴，解得或，
综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．
33．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即；
设点，则点，
当绕着点O逆时针旋转得到时，如图，
∵点E在的图象上，
∴，
∴点，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：或0，
∴，，
当点M绕点O逆时针得到点E时，点，，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：，
∴点，，，，
∴点N的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征设出点E的坐标，由于EF平行y轴交BC于点F，则点F坐标可表示，再利用二次函数的对称性质可表示出点H的坐标，则线段EF和EH均可表示，则矩形的周长也表示，由于矩形周长已知，则解得出的一元二次方程即可；
（3）先利用抛物线上点的坐标特征分别求出A、C两点坐标，现利用待定系数法求得直线的解析式为，此时分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，可利用正方形的性质证明，则有，，再设，则，由直线上点的坐标特征把M坐标代入到直线的解析式中可求得m的值，此时再根据正方形的性质可利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O逆时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标．
（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即；
设点，则点，
当绕着点O逆时针旋转得到时，如图，
∵点E在的图象上，
∴，
∴点，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：或0，
∴，，
当点M绕点O逆时针得到点E时，点，，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：，
∴点，，，，
∴点N的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
34．【答案】（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合运用，二次函数的性质，点的特征．
（1）将点和点代入解析式可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出抛物线表达式；
（2）过点作轴交于点，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解方程组可求出k和t的值，据此可求出直线的解析式，设点，，利用三角形的面积计算公式进行计算可得：
，利用二次函数的性质可求出最值，据此可求出答案；
（3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况分别列出方程组和，解方程组可求出x，m，n的值，据此可求出点Q的坐标.
（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或．
35．【答案】（1）
（2），
（3）存在，；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
36．【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，
理由：为最小，
由抛物线的表达式知，点，抛物线的对称轴为直线，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
即点；
（3）解：过点作轴，交于点，如图所示：
由（2）知，直线的解析式为．
设，则．
，
当时，有最大值，最大值为．
的最大面积.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标代入可得，再求出b、c的值即可；
（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，先求出直线AC的解析式，再将x=-1代入解析式求出y的值，可得点M的坐标；
（3）过点作轴，交于点，设，则，先利用两点之间的距离公式求出DE的长，再利用配方法求出DE的最大值，最后利用三角形的面积公式求出△ADC的面积即可.
37．【答案】（1）解：将A（3，0）代入yx+c，得c＝2，
∴直线解析式为yx+2，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2）；
（2）解：将A（3，0），B（0，2）代入yx2+bx+c，
∴，
解得，
∴yx2x+2；
（3）解：①∵M（m，0），
∴N（m，m2m+2），P（m，m+2），
∴PNm2m+2﹣（m+2）（m）2+3，
∵0＜m＜3，
∴m时，PN有最大值3；
②△ABN的面积3PN＝﹣2（m）2，
∴△ABN面积的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入yx+c求出c的值可得直线解析式，再将x=0代入解析式求出y的值即可得到点B的坐标；
（2）将点A、B的坐标分别代入yx2+bx+c， 求出b、c的值即可；
（3）①先求出点P、N的坐标，再利用两点之间距离公式求出PNm2m+2﹣（m+2）（m）2+3，最后利用二次函数的性质求出PN的最大值即可；
②利用三角形的面积公式求出△ABN的面积3PN＝﹣2（m）2，最后利用二次函数的性质求解即可.
38．【答案】（1）解：由题意得：，
，
，
故：，；
（2）解：由题意得：，
故：当时，由最大值192平方米
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用．
（1）利用据此的面积计算公式可得：，根据题意可得，解不等式可求出自变量x的取值范围；
（2）利用据此的面积计算公式可得：，利用二次函数的性质可求出最值，据此可求出答案.
（1）解：由题意得：，
，
，
故：，；
（2）解：由题意得：，
故：当时，由最大值192平方米；
39．【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时，y最大= m2.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 12×3-1×（12-a）=32 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 y=x·(21-3x) ，再根据函数解析式的性质计算求解即可。
40．【答案】（1）解：由题意，，，
∴，
∴此时窗户的透光面积为
（2）解：设，则，
∵，
∴，
则窗户的透光面积，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大；
∵，
∴与例题相比透光的最大面积变大
【知识点】正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形和正方形的性质得到：，，进而即可求出AD的长度，最后根据面积计算公式计算即可；
（2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，进而利用二次函数的性质求得最大面积为，即可求解．
（1）解：由题意，，，
∴，
∴此时窗户的透光面积为；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
则窗户的透光面积，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大；
∵，
∴与例题相比透光的最大面积变大．
41．【答案】（1）解： 对称轴是直线 ．
的图象经过点 ．

（2）解： ，
其最大值为
（3）解： 的对称轴是直线 ．
当 时，二次函数取得最大值 ．
当 时，二次函数值为 2 ．
而 当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，
当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合．
故
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用点A(3，2)和对称轴求出函数表达式；
(2)利用公式求出函数最大值；
(3)利用图象分析即可.
42．【答案】（1）
（2）m的值为
（3）的值为：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
43．【答案】（1）解：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，
可得：解得
即；
（2）解：点B平移后的点为
代入得：
解得 （不合舍去）
∴m的值为
∴
当
∴点C落在的图像上
（3）解：当时，
由题意，当时，最大值与最小值的差为
∴（不合舍去）
当时，
当时y最大，最大值为2.75
∴最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为
解得，，（不合均舍去）．
综上所述，n的取值范围为．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据对称轴以及点 ，列出方程组，求解即可；
（2）先求出点B平移后的坐标为，代入二次函数，求得m，表示出点，代入二次函数，求解即可；
（3）由二次函数的对称轴为，分三种情况讨论，当，，，分别求解即可.
44．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点，
∴．
解得：；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，
∴，
∴m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】由题可得判别式，再根据增减性得到，解出m的取值范围即可．
1 / 1沪科版数学九年级上册二次函数重难点题型梳理
一、二次函数与系数关系
1．（2023九上·惠阳期中）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故答案为：B．
【分析】首先根据函数图象，可得出a＜0，b＞0，c＞0的正负号，故而得出①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，可得出②正确；由，得，令，求函数值，即可判断③正确；令时，则，令时，，再把两个式子相加，即可判断④正确；综上即可得出答案。
2．（2024九上·潮南期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：②、∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确；
①、抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
③、∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④、∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤、当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故答案为：C．
【分析】
根据开口方向得，根据对称轴可得，与轴的交点位置交于负半轴，则，可判断 ①② ；利用最值当时，取得小值可判断③；根据对称性和图象上的点，可判断④；利用对称性可判断⑤；逐一判断即可解答．
3．（2023九上·古蔺期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
4．（2024九上·杭州期末）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵当y> 0时，-1∴函数与x轴的交点为(-1，0)和(2，0)，且开口向下，故A、B、D选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据图象分析即可.
5．（2024九上·武汉月考）抛物线（，、、为常数）的部分图象如图所示，对称轴是直线，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：
①；②；③一元二次方程的两根为、，则；④对于任意实数，不等式恒成立．则上述说法正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
二、二次函数与一元二次方程的关系
6．（2024九上·武汉月考）已知二次函数的图像过点，对称轴为直线．下列四个结论：①；②若点，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④对于任何实数k，关于x的方程必有两个不相等的实数根，其中正确的（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，
即时，，
，故①正确；
，
点，关于直线对称，
，故②正确；
二次函数的图象过点和，
，
解得，
，
当时，抛物线开口向上，当时，为最小值，
若为任意实数，则；
当时，抛物线开口向下，当时，为最大值，
若为任意实数，则；
故③错误；
由得，
，
又，，
得，，
则△，
关于的方程必有两个不相等的实数根，
故④正确．
故选：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·齐齐哈尔）如图，二次函数的图像与x轴交于两点，，且.下列结论：
①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，；⑤关于x的不等式）的解集为.其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴x=->0
∴b<0，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确，
②、∵二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，
∴a-b+c=0，
∴二次函数y=ax2 + bx +c(a≠0 )的图象与x轴交于两点(-1，0)，(x1，0)，且2∴对称轴
∴a<-b<2a，
∴a-b+c>a+a+c=2a+c，2a+b>0
∴2a+c<0，故②正确；
③、∵b=a+c
∴4a-b+2c=4a- b+2(b-a)= 2a+b>0，
∴4a-b+2c>0，故③错误；
④、如图，
关于x的一元二次方程a(x+ 1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两个根，即兩数y=ax2 +bx+c(a≠0)与y=-c交点的横坐标.
∵m<-1<2∴ 若m和n是关于x的一元二次方程）的两根，且，则，； 故④正确；
⑤、∵二次函数的图像与x轴交于两点，
∴y=ax2 +bx+c=a(x+1)(x-x1)=ax2+a(1-x1)x-ax1，
∴b=a(1-x1)， c=-ax1，
∴b-a=-ax1，
∴ax2+bx+c>可化为ax2+(b-a)x>0，
即ax2- ax1x>0，
∵a>0，
∴x2-x1x>0，
解得： x<0或x>x1，
∴ 于x的不等式）的解集为，故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与y轴的交点，确定a，b，c的符号，即可判断①，根据二次函数y= ax2 + bx + c(a≠0)的图象过(-1，0)，得出a- b+c=0，进而判断对称轴，得出a< -b<2a，进而判断②和③，根据函数图象判断④.将一般式写成交点式得出b=a(1-x1)，c=-ax1， 化简不等式为x2 -x1x>0求得解集，逐一判断即可解答.
8．（2025·遂宁）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，
且，当时，则的取值范围为．
其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a<0，对称轴为直线x=1，则
∴b=-2a>0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)， 即c=m，
∵20，
∴abc<0， 故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(-2，0)，
∴当x=﹣3时， y=9a﹣3b+c<0，故②错误；
∵(-2，0)， (4，0)在抛物线 的图象上，
∴4a-2b+c=0，
又∵b=-2a，
∴4a+4a+c=0，
∴8a+c=0即c=-8a，
∵2∴2<-8a<3，
即
当 时，y取得最大值，最大值为
故③正确；
即
，
对称轴为直线 当 时，
Δ的值随a的增大而增大，
又∵
∴当 时，
∴当 时， 恒成立，即
有两个不相等实根，故④正确；
若点在抛物线 上， 且
即
解得： 且
故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为 则当 时，即可判断②；根据 ， ，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据 结合函数图象分析，即可得出 进而判断⑤， 即可求解.
三、二次函数与解不等式
9．（2024九上·宁波期中）已知二次函数（b，c为常数），
（1）若抛物线与x轴正半轴的交点坐标是（1，0），对称轴为直线，求抛物线的解析式；
（2）若，设函数图象的顶点坐标为，当b的值变化时，求m与n的关系式；
（3）已知二次函数图象经过两点，若时，总有，求q－p的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意可得，解得
则解析式为；
（2）解：由可得，
由顶点坐标为，可得
可得，代入可得，
即；
（3）解： 二次函数图象经过两点
则对称轴为直线
∵，开口方向向下，
将代入可得，
，且
可得：，
则二次函数解析式为：，
顶点坐标为，
令，即
方程的两根满足：，，
∴
即抛物线与直线y=-7的两个交点的横坐标之差为4，
若 若时 ， 总有 ，则 q－p 的最大值为；
当或时，有最小值，为，
∴；
【知识点】列二次函数关系式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据题意可得，解得，即可求解；
（2） 由题意可得，由顶点坐标为，可得，求解即可.
（3） 根据题意将两点坐标代入解析式得到，再令将函数解析式转化为方程，根据一元二次方程两个根的关系，求出抛物线与直线两个交点的横坐标之差为4，再根据抛物线的对称性和增减性得出结论.
10．（2025九上·金华竞赛） 都是实数，且 ，则 之间的大小关系是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：
∴c≥b；
，
由②-①得
2b=2a2-2a+5，
，
∴a＜b，
∴a＜b≤c.
故答案为：A.
【分析】将c-b转化为完全平方式，利用偶次方的非负性，可得到c与b的大小关系；再将两个等式相减消去c，可得到2b-2a的值，再将其配方，可得到2b-2a≥3，据此两端的a、b的大小关系，由此可推出a、b、c之间的大小关系.
11．（2024九上·绥阳期末）在二次函数中，
（1）若它的图象过点，则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为，求出t的值：
（3）如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】（1）解：将代入中，
得，
解得，
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述
（3）解：关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将 点 代入函数解析式，可求出t的值.
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论：当，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，可得到符合题意的t的值.
（3）利用点A、C的坐标j及二次函数的对称性，可得到，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
四、构造二次函数解决最值问题
12．（2025九上·柯桥期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：由题知，，
如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，
∵轴，
∴，
∴．
令，则有，解得，
∴，
∴．
将代入，得：，
∴点C的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数解析式为．
∵，
令点P坐标为，
则，
∴
∴，
则，
∴，
则当时，有最大值为：，
即的最大值为．
故选：C．
【分析】
观察图象知，可过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，显然可证，由相似比得，由于AB是定值，则当PM最小时最大，此时可利用抛物线上点的坐标特征设出P点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，则点M坐标可表示，则线段PM即为P、M两点横坐标的差，即PM是关于m的二次函数，且二次项系数为负，则PM有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
五、二次函数的新定义问题
13．（2024九上·萧山月考）对于一个函数，当自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
（1）若2是此函数的不动点，则的值为　 　．
（2）若此函数有两个相异不动点与，且，则的取值范围是　 　．
【答案】；
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）若2是此函数的不动点，则抛物线经过，
将代入得，
解得：，
故答案为：；
（2）由题意可知二次函数有两个相异不动点与，
则与是方程的两个不相等实根，且，
整理得，
，
解得，
令，
，
当时，，
解得：，
故答案为：．
【分析】
（1）根据函数不动点的概念将代入函数解析式得关于m的一元一次方程并求解即可；
（2）先由函数的不动点概念可得方程，又因为与同时满足这个方程，即与 是该方程两个不相等的实数根，则一元二次方程根的判别式，可得关于的不等式并解不等式；再令，则是抛物线与轴两个交点坐标，由于抛物线开口向下，则当时，函数值，再解关于的不等式，最后再求出两个不等式解集的公共部分即可.
14．（2024九上·义乌月考）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
15．（2023九上·盐城期中）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
16．（2024九上·英吉沙期末）在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）．
（1）若时，图象经过点，求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：．
【答案】（1）解：把代入得：，
∵当时，，
∴，
∴，
∴二次函数的关系式为．
（2）解：令，则，
当时，则，
∴，
∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为，
∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ．
（3）证明：∵二次函数的图象和直线都经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将a=2，，，代入二次函数表达式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征令，则，根据与x轴只有一个交点，则对应一元二次方程有一个解，则，即，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标.
（3）根据题意得到，整理得，再代入不等式，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：把代入得：，
∵当时，，
∴，
∴，
∴二次函数的关系式为．
（2）解：令，则，
当时，则，
∴，
∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为，
∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ．
（3）证明：∵二次函数的图象和直线都经过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．（2023九上·义乌期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.我们规定；抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区城”（不包含边界），横、纵坐标都是整数的点称为整点.
（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）如果抛物线经过（1，3）.
①求a的值
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的坐标；
（3）如果抛物线在“G区域”内有4个整点，求a的取值范围，
【答案】（1）解：∵，
∴顶点P的坐标为；
（2）解：①∵抛物线经过，
∴，解得；
②由①得：，
令得，，
解得，，
∴点，点.
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
当时，，
∴，两个整点在“G区域”；
（3）解：
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为.
当时，如图1所示，
此时有，解得；
当时，如图2所示，
此时有，解得；
综上，如果“G区域”内仅有4个整点时，则a的取值范围为或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式即可得出顶点的坐标；
（2）①将点（1，3）代入y=ax2-2ax-3a可算出a的值；②易得抛物线的解析式，令解析式中的y=0算出对应的自变量的值，可得点A、B的坐标，再令解析式中的x=0、x=1、x=2，算出对应的函数值即可判断得出 “G区域”内整点的坐标；
（3）令解析式中的x=0算出对应的函数值可得抛物线与y轴交点的坐标，分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．
六、二次函数的应用（抛物线形问题）
18．（2024九上·西城期中）利用以下素材解决问题．
问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离
设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型
任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式．
任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁．
【答案】【解答】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接．∵，
∴．
∵，
∴，直线过点O．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
故半径为．
方案二，
∵顶点C坐标为，
∴设桥拱的函数解析式为．
∵，
∴．
代入得．
解得．
故函数解析式为．
任务二：
方案一，
如图，连接，设交于I．
由上知，
∵矩形中，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
故货船能顺利通过．
方案二，
如图，∵，
∴H横坐标为5．
∴．
故货船不能顺利通过．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；垂径定理的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，首先根据AC和CD的长度。可得出，进而得出∠ACD=60°，即可得出是等边三角形，可得出圆弧的半径为10m；方案二， 以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系， 可得出顶点C坐标为，再根据点，利用待定系数法，即可得出函数解析式为；
任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断．
19．（2024九上·汉阳期中）如图为抛物线形拱桥平面示意图，拱顶离水面，水面宽．以现有水平面的水平直线为轴，与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线解析式；
（2）如图（1），若水面下降，水面宽度增加多少？
（3）如图（2），为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”，露出水平面部分为，使点，在抛物线上，点，为露出水面的端点，若确保点，的间距不少于，求的最大长度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
20．（2024九上·浙江期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．
（1）以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式；
（2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度．
【答案】（1）；
（2）m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
21．（2024九上·青秀月考）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）
【解决问题】
（1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；
（2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围；
（3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．
【答案】（1）
（2）
（3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
22．（2024九上·柳州模拟）2023年第十九届亚运会在杭州举行，这是我国第三次举办亚运会，在中国队对阵韩国队的男篮四分之一决赛中，中国队表现出色，赢得了比赛．如图，一名中国运动员在距离篮球框中心A点4（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为3.5，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
【答案】解：根据题意可得，A点坐标为（1.5，3.05），B点坐标为（0，3.5），
设抛物线的解析式为，
将A（1.5，3.05），B（0，3.5）代入得二元一次方程组：
，
解这个方程组得，，
因此该抛物线的解析式为，
当时，，
答：篮球在该运动员出手时的高度为2.25．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】根据题意设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式后再代入计算求解即可.
23．（2024九上·贵州期末）排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：） 近似满足函数关系．
（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．
（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度（单位：） 与水平距离（单位：） 近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
【答案】（1）①由表中数据可得顶点，
则，
把代入得：，
解得：，
所求函数关系为；
②能，
当时，，
该运动员第一次发球能过网
（2）判断：没有出界，
在中，令，则，
解得：（舍），，
，
没有出界
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①分析表格得到抛物线顶点，然后利用待定系数法求函数解析式即可；
②把代入，求得y的值，再与球网高度比较解题；
（2）令，求出抛物线与轴的交点即可解题．
（1）①由表中数据可得顶点，
则，
把代入得：，
解得：，
所求函数关系为；
②能，
当时，，
该运动员第一次发球能过网；
（2）判断：没有出界，
在中，令，则，
解得：（舍），，
，
没有出界．
七、二次函的数应用（利润问题）
24．（2024九上·无锡期末）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
【答案】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
则每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）解：由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴．
答：（）．
（3）解：．
∴当时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
【知识点】二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，根据相等关系“ 购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元 ”列方程并求解即可；
由每降价1元则每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；
结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润再求和即可得出每天的总利润w，可发现w是关于x的二次函数，由于二次项系数为负，则w有最大值，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
则每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴．
答：（）．
（3）．
∴当时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
25．（2024九上·黔南期末）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元．
（1）　 　，　 　；
（2）销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；25
（2）解：由（1）知第天的销售量为千克．
当时，
，
当时，取得最大值，最大值为968．
当时，．
，随的增大而增大，
．
，当时，．
答：销售优质葡萄第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）根据题意可得：32=12m-76m，n=25，
解得：m=，n=25，
故答案为：；25.
【分析】（1）根据“ 第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克 ”列出方程32=12m-76m，n=25，再求解即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
26．（2024九上·宝安模拟）某经销商到“幸福村”蔬菜种植基地定点采购甲种蔬菜，已知甲种蔬菜的单价（元千克）与采购量（千克）之间的函数关系如图中折线所示（不包括端点）．
（1）当时，直接写出与之间的函数解析式；
（2）若甲种蔬菜的种植成本为元/千克，采购量不超过千克，那么当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求采购甲种蔬菜多少千克时，蔬菜种植基地能获利元？
【答案】（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．
把，代入函数关系式得：
，
解得，
与之间的函数解析式为：；
（2）解：设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
当时，有最大值元，
当时，，
，
当时，有最大值为元，
综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；
（3）解：由，根据（）可得，，
解得：，，
采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设当时，与之间的函数解析式为：，进而运用待定系数法即可求解；
（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，根据题意分别求出当时，当时，与的函数关系式，进而根据二次函数的性质和一次函数的性质求出其最值即可求解；
（3）由，根据（）可得，，进而解一元二次方程即可求解。
（1）解：设当时，与之间的函数解析式为：．
把，代入函数关系式得：
，
解得，
与之间的函数解析式为：；
（2）设当采购量是千克时，蔬菜种植基地获利元，
当时，，
当时，有最大值元，
当时，，
，
当时，有最大值为元，
综上所述，当采购甲种蔬菜千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润，最大利润为元；
（3）由，根据（）可得，，
解得：，，
采购甲种蔬菜是千克或千克时，蔬菜种植基地能获利元．
27．（2024九上·遵义期末）近段时间，位于汇川区泗渡镇泗渡农场的125亩草莓迎来了冬季采摘期，该农场以优良的生态环境为基础，采用蜜蜂自然授粉的方式，提升草莓的产量和品质使得草莓香甜可口，果实饱满，吸引了不少游客前往采摘．请阅读以下材料，帮助农户解决问题．
材料1：某农户承包了一块矩形土地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示，其中米，米，阴影部分规划为大棚种植草莓，其余部分是等宽的通道．
材料2：当售价为60元时，每天可销售40，该农户调查发现，决定降价销售，若销售单价每降低1元，每天可多销售2千克．已知每千克草莓的成本为20元．
（1）若三个大棚的面积是1400，求道路的宽度；
（2）当售价定为多少元时，利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）解：设道路的宽度是x 米，
根据题意，可列方程为（52-2x）（30-2x）=1400，
解这个方程，得x1=1，x2=40（不符合题意，舍去），
答：道路的宽度是1米.
（2）解：设，定价为y元/kg，利润为w元，
根据题意可知：w=（y-20）[40+2（60-y）]
整理，得：w=-2y2+200y-3600=-2（y-50）2+1800
∴当y=50时，w取得最大值，最大值为1800，
答： 当售价定为50元时，利润最大，最大利润是1800元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设通道的宽为米，根据矩形面积公式建立方程即可；
（2）设售价定为y元，利润为元，根据题意可以得到一个关于的二次函数，再利用配方法求最值即可.
（1）解：设通道的宽为米，
根据题意得：，
解得：（舍去）或，
答：通道的宽为1米；
（2）解：设售价定为元，利润为元
则由题意得：，
化简得：
，
∵，
∴当时，利润最大，为元．
八、二次函数的应用（存在性问题）
28．（2023九上·霞山月考）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
联立方程组：
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
解：（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案为：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y=x﹣4与抛物线的解析式联立方程组并求解即可解答；
（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4），则PE═﹣x2+3x+4，然后依据S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可解答；
（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据∠QDG=90°和∠DGQ=90°两种情况求解即可解答．
29．（2024九上·高邑期末）如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出直线的解析式为　 　；
（3）若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值；
（4）在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）
（3）解：如图，
点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，
点，
轴，
点，
，
，
当时，h的值最大，最大值为4；
（4）在轴的负半轴上存在点或，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（2）当时，，
点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
直线的解析式为；
（4）在轴的负半轴上存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：
当时，
，
，
点，点在轴的负半轴上，
点；
当时，
点，，
，，
，
，
点在轴的负半轴上，
点；
当时，点位于的垂直平分线上，
，
点位于的垂直平分线上，
此时点与点重合，不合题意，舍去；
综上所述，在轴的负半轴上存在点或，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【分析】（1）根据题意代入点A和点B即可求解；
（2）先求出点C的坐标，进而运用待定系数法即可得到直线BC的解析式；
（3）先根据题意设点，进而得到点，再表示出MN，从而根据二次函数的最值即可求解；
（4）根据等腰三角形的判定与性质分类讨论：当时，当时，当时，进而运用勾股定理结合垂直平分线的性质即可求解。
30．（2022九上·绍兴期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；
（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．

（2）或
（3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，
当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②或或
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（2）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，
画出函数图象如下：
则当点在轴上方时，的取值范围为或．
（3）②设点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，
则在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得，
则此时点的坐标为或；
（Ⅱ）当时，
由（3）①可知，此时，
则点，
，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
综上，点的坐标为或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，结合函数图象即可求出答案.
（3）①求出顶点坐标可得，分情况讨论：当时，当时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设点的坐标为，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，根据等腰三角形性质建立方程，解方程即可求出答案；当时，由（3）①可知，，根据两点间距离可得，，，根据等腰直角三角形分类讨论，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：将点代入得：，
解得，
则此抛物线的解析式为．
（2）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
则此抛物线与轴的另一个交点坐标为，
画出函数图象如下：
则当点在轴上方时，的取值范围为或．
（3）解：①二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
即，
（Ⅰ）如图，当时，
当时，随的增大而减小，
则此时点即为最低点，
所以，
解得或（不符题设，舍去）；
（Ⅱ）如图，当时，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则此时抛物线的顶点即为最低点，
所以，
解得，符合题设，
综上，的值为或3；
②设点的坐标为，
由题意，分以下两种情况：
（Ⅰ）如图，当时，设对称轴直线与轴的交点为点，
则在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三线合一），
，
解得，
则此时点的坐标为或；
（Ⅱ）当时，
由（3）①可知，此时，
则点，
，
，
，
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
解得，
所以此时点的坐标为；
当时，是等腰直角三角形，
则，即，
方程组无解，
所以此时不存在符合条件的点；
综上，点的坐标为或或．
31．（2023九上·滨州期中）综合与实践
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．
（1）求抛物线的解析式：
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
【答案】（1）
（2）存在，或或
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
32．（2024九上·四平期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）当点在线段上运动时，求线段的最大值；
（3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值；
（4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵抛物线过、两点，，
∴代入抛物线解析式可得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令可得，，解，
∵点在点右侧，
∴点坐标为，
设直线解析式为，
把、坐标代入可得，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：∵轴，点的横坐标为，
∴，，
∵在线段上运动，
∴点在点上方，
∴，
∴当时，有最大值，的最大值为.
（3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为，
∴
∵
∴
∵轴，轴，
∴
∴
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，，
∴点纵坐标为，
∴，
解得：或，
当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴.
（4）的值为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（4）解：由（）得，，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点在线段上时，由（）得，
∴，此方程无实数根，
当点不在线段上时，则有，
∴，解得或，
综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．
故答案为：或.
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）先求出，，再利用两点之间的距离公式求出，最后利用二次函数的性质分析求解即可；
（3）当是以为腰的等腰直角三角形时，，求出点纵坐标为，列出方程，再求出m的值即可；
（4）分类讨论：①当点在线段上时，②当点不在线段上时，再分别列出方程求解即可.
（1）解：∵抛物线过、两点，
∴代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为，
令可得，，解，
∵点在点右侧，
∴点坐标为，
设直线解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：∵轴，点的横坐标为，
∴，，
∵在线段上运动，
∴点在点上方，
∴，
∴当时，有最大值，的最大值为；
（3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为，
∴
∵
∴
∵轴，轴，
∴
∴
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，，
∴点纵坐标为，
∴，解得或，
当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴；
（4）解：由（）得，，
当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有，
当点在线段上时，由（）得，
∴，此方程无实数根，
当点不在线段上时，则有，
∴，解得或，
综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或．
33．（2023九上·崇阳月考）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】
（3）
解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即；
设点，则点，
当绕着点O逆时针旋转得到时，如图，
∵点E在的图象上，
∴，
∴点，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：或0，
∴，，
当点M绕点O逆时针得到点E时，点，，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：，
∴点，，，，
∴点N的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【分析】
（1）直接利用待定系数法即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征设出点E的坐标，由于EF平行y轴交BC于点F，则点F坐标可表示，再利用二次函数的对称性质可表示出点H的坐标，则线段EF和EH均可表示，则矩形的周长也表示，由于矩形周长已知，则解得出的一元二次方程即可；
（3）先利用抛物线上点的坐标特征分别求出A、C两点坐标，现利用待定系数法求得直线的解析式为，此时分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，可利用正方形的性质证明，则有，，再设，则，由直线上点的坐标特征把M坐标代入到直线的解析式中可求得m的值，此时再根据正方形的性质可利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O逆时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标．
（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即；
设点，则点，
当绕着点O逆时针旋转得到时，如图，
∵点E在的图象上，
∴，
∴点，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：或0，
∴，，
当点M绕点O逆时针得到点E时，点，，
∵点E在的图象上，
∴，
解得：，
∴点，，，，
∴点N的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
34．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合运用，二次函数的性质，点的特征．
（1）将点和点代入解析式可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出抛物线表达式；
（2）过点作轴交于点，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解方程组可求出k和t的值，据此可求出直线的解析式，设点，，利用三角形的面积计算公式进行计算可得：
，利用二次函数的性质可求出最值，据此可求出答案；
（3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况分别列出方程组和，解方程组可求出x，m，n的值，据此可求出点Q的坐标.
（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或．
35．（2024九上·绍兴月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
九、二次函数的应用（面积问题）
36．（2024九上·八步期末） 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点左侧．点的坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点是抛物线对称轴上的一个动点时，求当最小时，点的坐标；
（3）若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，
理由：为最小，
由抛物线的表达式知，点，抛物线的对称轴为直线，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
即点；
（3）解：过点作轴，交于点，如图所示：
由（2）知，直线的解析式为．
设，则．
，
当时，有最大值，最大值为．
的最大面积.
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标代入可得，再求出b、c的值即可；
（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，先求出直线AC的解析式，再将x=-1代入解析式求出y的值，可得点M的坐标；
（3）过点作轴，交于点，设，则，先利用两点之间的距离公式求出DE的长，再利用配方法求出DE的最大值，最后利用三角形的面积公式求出△ADC的面积即可.
37．（2024九上·信丰期末）直线yx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A，B．M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M在线段OA上运动，
①求线段PN的最大长度．
②连接AN，求△ABN面积的最大值．
【答案】（1）解：将A（3，0）代入yx+c，得c＝2，
∴直线解析式为yx+2，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2）；
（2）解：将A（3，0），B（0，2）代入yx2+bx+c，
∴，
解得，
∴yx2x+2；
（3）解：①∵M（m，0），
∴N（m，m2m+2），P（m，m+2），
∴PNm2m+2﹣（m+2）（m）2+3，
∵0＜m＜3，
∴m时，PN有最大值3；
②△ABN的面积3PN＝﹣2（m）2，
∴△ABN面积的最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入yx+c求出c的值可得直线解析式，再将x=0代入解析式求出y的值即可得到点B的坐标；
（2）将点A、B的坐标分别代入yx2+bx+c， 求出b、c的值即可；
（3）①先求出点P、N的坐标，再利用两点之间距离公式求出PNm2m+2﹣（m+2）（m）2+3，最后利用二次函数的性质求出PN的最大值即可；
②利用三角形的面积公式求出△ABN的面积3PN＝﹣2（m）2，最后利用二次函数的性质求解即可.
38．（2024九上·萧山月考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为.
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少
【答案】（1）解：由题意得：，
，
，
故：，；
（2）解：由题意得：，
故：当时，由最大值192平方米
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用．
（1）利用据此的面积计算公式可得：，根据题意可得，解不等式可求出自变量x的取值范围；
（2）利用据此的面积计算公式可得：，利用二次函数的性质可求出最值，据此可求出答案.
（1）解：由题意得：，
，
，
故：，；
（2）解：由题意得：，
故：当时，由最大值192平方米；
39．（2022九上·天津期中）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时，y最大= m2.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 12×3-1×（12-a）=32 ，再求解即可；
（2）根据题意先求出 y=x·(21-3x) ，再根据函数解析式的性质计算求解即可。
40．（2024九上·杭州期中）有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积？
（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明．
【答案】（1）解：由题意，，，
∴，
∴此时窗户的透光面积为
（2）解：设，则，
∵，
∴，
则窗户的透光面积，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大；
∵，
∴与例题相比透光的最大面积变大
【知识点】正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形和正方形的性质得到：，，进而即可求出AD的长度，最后根据面积计算公式计算即可；
（2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，进而利用二次函数的性质求得最大面积为，即可求解．
（1）解：由题意，，，
∴，
∴此时窗户的透光面积为；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
则窗户的透光面积，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大；
∵，
∴与例题相比透光的最大面积变大．
十、二次函数的应用（增减性问题）
41．（2025九上·慈溪期末）已知二次函数 （ 为常数）的图象经过点 ，对称轴是直线 。
（1）求此二次函数的表达式。
（2）求二次函数 的最大值。
（3）当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围。
【答案】（1）解： 对称轴是直线 ．
的图象经过点 ．

（2）解： ，
其最大值为
（3）解： 的对称轴是直线 ．
当 时，二次函数取得最大值 ．
当 时，二次函数值为 2 ．
而 当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，
当 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的函数值，亦符合．
故
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用点A(3，2)和对称轴求出函数表达式；
(2)利用公式求出函数最大值；
(3)利用图象分析即可.
42．（2024九上·温州月考）已知二次函数（b，c为常数）的顶点坐标为
（1）求二次函数的表达式；
（2）将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时， 二次函数的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
【答案】（1）
（2）m的值为
（3）的值为：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
43．（2024九上·余姚期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向左平移m（）个单位长度，向上平移（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值并判断点是否落在的图像上；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2.25，求n的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，
可得：解得
即；
（2）解：点B平移后的点为
代入得：
解得 （不合舍去）
∴m的值为
∴
当
∴点C落在的图像上
（3）解：当时，
由题意，当时，最大值与最小值的差为
∴（不合舍去）
当时，
当时y最大，最大值为2.75
∴最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为
解得，，（不合均舍去）．
综上所述，n的取值范围为．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据对称轴以及点 ，列出方程组，求解即可；
（2）先求出点B平移后的坐标为，代入二次函数，求得m，表示出点，代入二次函数，求解即可；
（3）由二次函数的对称轴为，分三种情况讨论，当，，，分别求解即可.
44．（2025九上·钱塘期末）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点，
∴．
解得：；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，
∴，
∴m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】由题可得判别式，再根据增减性得到，解出m的取值范围即可．
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