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9.1 向量概念
探究点一 向量的基本概念
探究点二 相等向量与共线向量
探究点三 向量的夹角
【学习目标】
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理
解平面向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量（共线向量）
的意义和两个向量相等的含义.
2.能够在熟悉的实际问题情境中,理解平面向量的几何表示和基
本要素.
知识点一 向量的概念
1.既有______,又有______的量叫作向量.
2.只有______,没有______的量称为数量.
大小
方向
大小
方向
【诊断分析】
给出下列量:①面积;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧
功;⑨温度;⑩角度.
（1）这些量有什么区别？
解：①⑥⑦⑧⑨⑩这些量只有大小，没有方向；
（2）这些量中不是向量的有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
√
②③④⑤这些量既有大小又有方向.
知识点二 向量的表示法
1.有向线段：具有方向的线段叫作有向线段（如图），有向线段包含
三个要素：起点、方向、长度.
2.向量的表示
（1）向量的几何表示法：向量常用一条有向线段来表示，有向线段
的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以 为起
点，为终点的向量记为.向量 的大小称为向量的长度
（或称为模），记作 .
（2）字母表示法：用小写字母,, 来表示.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，则这些
向量的终点形成的轨迹是半径为1的圆.( )
√
2.在如图所示的方格纸上，每个小正方形的边
长均为1，则 _____.
3.向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
解：向量的模可以为0,可以为1，不能为负数.
知识点三 向量的有关概念
相关概念 定义 注意
零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0 方向是任意的
单位向量 长度等于_________长度的向量
平行向量 （共线向 量） 零向量与任一
向量平行
1个单位
平行向量
共线向量
相关概念 定义 注意
相等向量 在平面内，相
等的向量有无
数多个
相反向量 零向量的相反
向量仍是零向
量
相等
方向
相等
相反
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若向量与共线，向量与共线，则向量与 共线. ( )
×
（2）若向量与不共线，向量与不共线，则向量与 不共线.
( )
×
（3）若向量与是共线向量，则,,, 四点一定共线.( )
×
（4）向量与不共线，则与 都是非零向量. ( )
√
2.0与 有什么区别和联系？
解：区别：0表示数量,但表示零向量；
联系：| .
知识点四 向量的夹角
1.定义:对于两个______向量和 （如图所示）,在平
面内任取一点,作, ,则
叫作向量与 的______.
非零
夹角
2.向量的夹角 的取值范围是__________.当___时，与 同向;当
______时，与反向；当____时，则称向量与 垂直,记作
______.
探究点一 向量的基本概念
例1（1） 下列结论中，正确的是( )
A.零向量只有大小没有方向
B.
C.对任意一个向量， 总是成立的
D.与线段 的长度不相等
√
[解析] 零向量既有大小又有方向，故A错误；
与 方向相反，长度相等，故B正确；
零向量的模为0，则 不恒成立，故C错误；
与线段 的长度相等，故D错误.故选B.
（2）某船从点出发向正西方向航行了到达 点，然后改变
方向向北偏西 方向航行了到达 点，最后又改变方向向
正东方向航行了到达 点.
①作出向量，， ；
解：作出向量,, ,如图所示.
②求 .
解：易知和 方向相反，
与 共线.
又 ，
且.连接 ,
四边形为平行四边形， .
变式 下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但共线向量可以比较大小
C.向量的模与方向有关
D.向量的模可以比较大小
[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；
向量的模指向量的大小，等于表示向量的有向线段的长度，与方向
无关，故C不正确；
向量的模是一个数量，可以比较大小,故D正确.故选D.
√
［素养小结］
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.
如，单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度;零向
量的核心是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任意向量共线.只有
紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
探究点二 相等向量与共线向量
例2 下列说法中，正确的是( )
A.已知,，为非零向量,若与是共线向量,与是平行向量,则 与
是方向相同的向量
B.任意两个相等的非零向量的起点与终点总是一个平行四边形的四
个顶点
C.相等的非零向量必是共线向量
D.有相同起点的两个非零向量一定不是平行向量
√
[解析] 对于A，与 可能方向相同,也可能方向相反，故A错误;
对于B，任意两个相等的非零向量的起点与终点也可以在一条直线上,
故B错误;
易知C正确;
对于D，有相同起点的两个非零向量也可以是平行向量，故D错误.
故选C.
例3 如图，，，分别是的边 ，
，的中点，在以，，，，， 为起
点和终点的向量中:
（1）找出与向量 相等的向量；
解：，分别为， 的中点，
，且 ，
又是的中点， ,
与向量相等的向量是， .
（2）找出与向量 共线的向量;
解：，分别为，的中点， ，
与向量共线的向量是，，，，，， .
（3）找出与向量 相反的向量.
解：，分别为， 的中点，
，且，
又是 的中点，
与向量相反的向量是， .
变式1 如图所示，是正三角形 的中心，四
边形和四边形 均为平行四边形，则
与向量相等的向量有____（不包括 ）；与
向量相反的向量有_________；与向量 的
模相等的向量有_______________________
（不包括 ）.（填图中所画出的向量）
，
，，，，
[解析] 因为是正三角形 的中心，所以.
因为四边形 为平行四边形，
所以，且 .
根据题图可知，与向量相等的向量有.
由已知可得， ，且，且 ，
所以与向量相反的向量有，.
因为 ，
所以与向量的模相等的向量有，，，， .
变式2 如图，在矩形中，，，分别为与 的
中点，则在以，，，，， 为起点和终点的所有向量中，相
等向量的对数为( )
A.9 B.11 C.18 D.24
√
[解析] 如图，由已知可得， ， ，
，， ，有12对相等向量，
同理与以上向量方向相反的向量也有12对相等向量，
所以共24对相等向量.故选D.
［素养小结］
解决此类问题时，必须要把握好相等向量、平行向量、相反向量等
概念的特征及相互关系．
探究点三 向量的夹角
例4 在平行四边形中，，且向量与 的夹角为
.
（1）与 的夹角为多少？
解：因为在平行四边形中， ，所以该平行四边形
为菱形，
又 ，所以为等边三角形，
所以向量 与的夹角为 .
（2）与 的夹角为多少？
解：因为，所以向量与的夹角为 ，
易知 ，所以与的夹角为 .
变式 在中,已知,,向量与的夹角 为钝角,则
的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
[解析] 由题知,向量与的夹角 为的补角,则 是锐角,
但不能确定 的形状.故选D.
√
［素养小结］
寻找两个向量的夹角时,必须把两个向量的起点平移到同一个点.如在
中,,,分别是三角形的内角,则向量与的夹角为 ,向量
与的夹角为 .
1.向量与数量的区别
（1）向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量没有方向；
（2）数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使 ，也
不能说 ；
（3）注意数0与零向量 的区别.
2.用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如，， .
3.解决与向量的概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长
度．如：
（1）共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；
（2）相等向量的核心是方向相同且长度相等；
（3）单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
（4）零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任意
向量共线．
4.向量相等具有传递性，即，，则 .而向量的平行不
具有传递性，若，，则未必有 ，因为零向量平行于任
意向量．
1.向量的概念
（1）大小、方向是向量的两个要素.
（2）注意两个特殊的向量:零向量与单位向量.前者长度为0,方向任
意;后者长度为1.
（3）零向量是非常特殊的一个向量，忽视它极易致误，解题时要多
留心有无非零向量的要求， 与任意向量共线，故在有关向量共线的
概念辨析题中，常以 为背景设置陷阱．
例1 给出下列命题,其中真命题的个数是( )
①单位向量都相等;②单位向量都共线;③共线的单位向量必相等;④
零向量的模为0;⑤零向量没有方向;⑥零向量与任意向量共线.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为单位向量的方向不确定,所以①和②是假命题；
因为共线的单位向量可能方向相反,所以它们不一定相等,所以③是假命题；
因为零向量的模为0,所以④是真命题；
因为零向量的方向是任意的,所以⑤是假命题；
因为零向量与任意向量共线,所以⑥是真命题.
综上，④⑥是真命题，故选C.
√
2.相等向量与共线向量
（1）长度相等方向相同的向量是相等向量.寻找相等向量要把握住向
量的两个要素:大小和方向.
（2）对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素,与向量的大
小无关.故判断两个非零向量是否共线时,只需判断两个向量所在的直
线是否平行或者重合.
例2 给出下列说法：
①若，则 ；
②若，，则 ；
③“”的充要条件是“且 ”；
④若，，则 ；
⑤若，，，是不共线的四个点，则“”是“四边形
为平行四边形”的充要条件.
其中，正确说法的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] 对于①，因为，但，的方向不确定，所以， 不
一定相等，故①错误.
对于②，若，，则 ，故②正确.
对于③，且或，所以“ 且
”是“”的必要不充分条件，故③错误.
对于④，若 ，则 不一定共线，故④错误.
对于⑤，若A，B，C，D是不共线的四个点，则当时，
可得且 ，此时四边形为平行四边形；
当四边形 为平行四边形时，由相等向量的定义可知 .
所以若A，B，C，D是不共线的四个点，则“”是
“四边形 为平行四边形”的充要条件，故⑤正确.
综上可知，②⑤正确，则正确说法共2个.故选A.第9章 平面向量
9.1 向量概念
【课前预习】
知识点一
1.大小 方向 2.大小 方向
诊断分析
解:(1)①⑥⑦⑧⑨这些量只有大小,没有方向;②③④⑤这些量既有大小又有方向.
(2)D
知识点二
诊断分析
1.√ 2.3
3.解:向量的模可以为0,可以为1,不能为负数.
知识点三
1个单位 a∥b 平行向量 共线向量 相等 方向 相等
相反
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4) √
2.区别:0表示数量,但0表示零向量;联系:|0|=0.
知识点四
1.非零 夹角 2.[0°,180°] 0° 180° 90° a⊥b
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B [解析] 零向量既有大小又有方向,故A错误;与方向相反,长度相等,故B正确;零向量的模为0,则|a|>0不恒成立,故C错误;||与线段BA的长度相等,故D错误.故选B.
(2)解:①作出向量,,,如图所示.
②易知和方向相反,
∴与共线.
又||=||=150 km,
∴AB∥CD且AB=CD.连接AD,
∴四边形ABCD为平行四边形,∴||=||=200 km.
变式 D [解析] 不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的模指向量的大小,等于表示向量的有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.故选D.
探究点二
例2 C [解析] 对于A,a与c可能方向相同,也可能方向相反,故A错误;对于B,任意两个相等的非零向量的起点与终点也可以在一条直线上,故B错误;易知C正确;对于D,有相同起点的两个非零向量也可以是平行向量,故D错误.故选C.
例3 解:(1)∵E,F分别为BC,AC的中点,
∴EF∥BA,且EF=BA,
又D是BA的中点,∴==,
∴与向量相等的向量是,.
(2)∵D,F分别为BA,AC的中点,∴DF∥BC,
∴与向量共线的向量是,,,,,,.
(3)∵D,E分别为AB,BC的中点,
∴DE∥AC,且DE=AC,又F是AC的中点,
∴与向量相反的向量是,.
变式1 , ,,,, [解析] 因为O是正三角形ABC的中心,所以OA=OB=OC.因为四边形AOCD为平行四边形,所以AD∥OC,且AD=OC.根据题图可知,与向量相等的向量有.由已知可得,OA∥CD,且OA=CD,OA∥BE且OA=BE,所以与向量相反的向量有,.因为OA=CD=BE=OB=OC=AD,所以与向量的模相等的向量有,,,,.
变式2 D [解析] 如图,由已知可得===,==,=,=,=,有12对相等向量,同理与以上向量方向相反的向量也有12对相等向量,所以共24对相等向量.故选D.
探究点四
例4 解:(1)因为在平行四边形ABCD中,||=||,所以该平行四边形为菱形,又∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形,所以向量与的夹角为∠BAC=30°.
(2)因为=,所以向量与的夹角为∠BDC,易知∠BDC=60°,所以与的夹角为60°.
变式 D [解析] 由题知,向量a与b的夹角θ为∠ABC的补角,则∠ABC是锐角,但不能确定△ABC的形状.故选D.第9章 平面向量
9.1 向量概念
1.B [解析] 两个单位向量可能方向不同,因此不一定相等,所以选项A不正确;重力既有大小又有方向,是向量,所以选项B正确;向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线段,所以选项C不正确;若a或b为零向量,则满足a与b平行,但a与b的方向不一定相同或相反,所以选项D不正确.故选B.
2.C [解析] 向量不能比较大小,故A错误;模相等的两个向量,方向可能不同,故B错误;不相等的向量也可能是共线向量,故D错误;C显然正确.
3.AB [解析] 向量是可以平移的,若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合,故A中说法错误;模相等的两个平行向量方向不一定相同,故B中说法错误;若a和b都是单位向量,则|a|=|b|,故C中说法正确;两个相等向量的模一定相等,故D中说法正确.故选AB.
4.D [解析] ∵在四边形ABCD中,=,∴AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD为平行四边形,∴=.
5.B [解析] 由题意可得与的夹角为180°-∠ABC=180°-60°=120°,A错误;如图,过点D作DE∥CB,交AB于E,则易知∠ADE=60°,故与的夹角为
∠ADE=60°,B正确;因为∥,所以与的夹角等于与的夹角,为120°,C错误;与的夹角为∠ADC=180°-60°=120°,D错误.故选B.
6.B [解析] ∵E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点,∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC的长均不相等,∴与向量的模相等的向量有,,,,,共5个.
7.C [解析] ∵三个四边形是全等的菱形,∴||=||,AB∥CD∥FH,故与共线,又D,C,E三点共线,∴与共线.∴选项A,B,D一定成立.故选C.
8.A [解析] 因为一架飞机向西飞行400 km,再向东飞行500 km,所以飞机飞行的路程s=400+500=900(km),位移为向东100 km,所以|a|=100 km,所以s-|a|=900-100=800(km).故选A.
9.D [解析] 由=,=,||=||,知四边形ABCD的对角线相互平分且相等,所以四边形ABCD为矩形.故选D.
10.0 [解析] 与任一向量平行的向量只有0.
11.①②③ [解析] 根据正方形的特征,结合相等向量、平行向量的定义可知,只有④是错误的,与的模相等,方向不相同,所以不是相等向量.
12.3 8 [解析] 与相等的向量有,,,共3个;与的模相等且夹角为60°的向量有,,,,,,,,共8个.
13.解:依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的两个向量都和平行且模为.因为共有12个小方格,所以与向量平行且模为的向量共有24个.
易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个.
14.解:根据题意作出示意图,如图所示,记A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地.依题意知,三角形ABC为正三角形,∴AC=2000.
又∵∠ACD=90°,CD=2000,
∴△ACD为等腰直角三角形,则AD=2000,∠CAD=45°.故丁地在甲地的东南方向,距甲地2000 km.
15.π [解析] 由=可知四边形ABCD为平行四边形,由||=||=||,可知四边形ABCD为菱形,△ABD为等边三角形,故∠ABC=120°,菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处,设其半径为r,则r=||sin 60°=,所以内切圆的面积S=πr2=π.
16.解:(1)如图所示,操作8次后赛车的位移为零向量.
(2)要使赛车行进一周后能回到出发点,只需赛车的位移为零向量,则赛车行进的轨迹是内角为180°-α的正n边形,故有n(180°-α)=(n-2)180°(n≥3,n∈N*),得α=,其中n为不小于3的正整数.第9章 平面向量
9.1 向量概念
【学习目标】
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量(共线向量)的意义和两个向量相等的含义.
2.能够在熟悉的实际问题情境中,理解平面向量的几何表示和基本要素.
◆ 知识点一 向量的概念
1.既有 ,又有 的量叫作向量.
2.只有 ,没有 的量称为数量.
【诊断分析】 给出下列量:①面积;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨温度;角度.
(1)这些量有什么区别
(2)这些量中不是向量的有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
◆ 知识点二 向量的表示法
1.有向线段:具有方向的线段叫作有向线段(如图),有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2.向量的表示
(1)向量的几何表示法:向量常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向,以A为起点,B为终点的向量记为.向量的大小称为向量的长度(或称为模),记作||.
(2)字母表示法:用小写字母a,b,c来表示.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一点,则这些向量的终点形成的轨迹是半径为1的圆. ( )
2.在如图所示的方格纸上,每个小正方形的边长均为1,则||= .
3.向量的模可以为0吗 可以为1吗 可以为负数吗
◆ 知识点三 向量的有关概念
相关概念 定义 注意
零向量 长度为0的向量称为零向量,记作0 方向是任意的
单位向量 长度等于 长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.向量a与b平行,记作 . 任意一组 都可以平移到同一条直线上,因此平行向量又称为 零向量与任一向量平行
相等向量 长度 且 相同的向量叫作相等向量.向量a与b相等,记作a=b 在平面内,相等的向量有无数多个
相反向量 与向量a长度 ,方向 的向量,叫作a的相反向量,记作-a 零向量的相反向量仍是零向量
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线. ( )
(2)若向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线. ( )
(3)若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点一定共线. ( )
(4)向量a与b不共线,则a与b都是非零向量. ( )
2.0与0有什么区别和联系
◆ 知识点四 向量的夹角
1.定义:对于两个 向量a和b(如图所示),在平面内任取一点O,作=a,=b,则
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的 .
2.向量的夹角θ的取值范围是 .当θ= 时,a与b同向;当θ= 时,a与b反向;当θ= 时,则称向量a与b垂直,记作 .
◆ 探究点一 向量的基本概念
例1 (1)下列结论中,正确的是 ( )
A.零向量只有大小没有方向
B.||=||
C.对任意一个向量a,|a|>0总是成立的
D.||与线段BA的长度不相等
(2)某船从A点出发向正西方向航行了150 km到达B点,然后改变方向向北偏西30°方向航行了200 km到达C点,最后又改变方向向正东方向航行了150 km到达D点.
①作出向量,,;
②求||.
变式 下列说法中正确的是 ( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但共线向量可以比较大小
C.向量的模与方向有关
D.向量的模可以比较大小
[素养小结]
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如,单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度;零向量的核心是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任意向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
◆ 探究点二 相等向量与共线向量
例2 下列说法中,正确的是 ( )
A.已知a,b,c为非零向量,若a与b是共线向量,b与c是平行向量,则a与c是方向相同的向量
B.任意两个相等的非零向量的起点与终点总是一个平行四边形的四个顶点
C.相等的非零向量必是共线向量
D.有相同起点的两个非零向量一定不是平行向量
例3 如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点和终点的向量中:
(1)找出与向量相等的向量;
(2)找出与向量共线的向量;
(3)找出与向量相反的向量.
变式1 如图所示,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形,则与向量相等的向量有 (不包括);与向量相反的向量有 ;与向量的模相等的向量有 (不包括).(填图中所画出的向量)
变式2 如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,M,N分别为AB与CD的中点,则在以A,B,C,D,M,N为起点和终点的所有向量中,相等向量的对数为 ( )
A.9 B.11
C.18 D.24
[素养小结]
解决此类问题时,必须要把握好相等向量、平行向量、相反向量等概念的特征及相互关系.
◆ 探究点三 向量的夹角
例4 在平行四边形ABCD中,||=||,且向量与的夹角为60°.
(1)与的夹角为多少
(2)与的夹角为多少
变式 在△ABC中,已知=a,=b,向量a与b的夹角θ为钝角,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
[素养小结]
寻找两个向量的夹角时,必须把两个向量的起点平移到同一个点.如在△ABC中,A,B,C分别是三角形的内角,则向量与的夹角为A,向量与的夹角为π-B.第9章 平面向量
9.1 向量概念
一、选择题
1.下列说法中正确的是 ( )
A.两个单位向量一定相等
B.物理学中的重力是向量
C.向量就是有向线段
D.若向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
2.下列说法正确的是 ( )
A.若|a|>|b|,则a>b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a∥b
D.若a≠b,则a与b不是共线向量
3.(多选题)下列说法中错误的是 ( )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合
B.模相等的两个平行向量是相等向量
C.若a和b都是单位向量,则|a|=|b|
D.两个相等向量的模相等
4.如图所示,在四边形ABCD中,=,AC与BD交于点O,则 ( )
A.=
B.=
C.=
D.=
5.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=∠ABC=60°,则下列各组向量中夹角为60°的是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6.如图所示,△ABC的三边长均不相等,E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点,则与向量的模相等的向量共有 ( )
A.6个 B.5个
C.4个 D.3个
7.如图所示,四边形ABCD,CEFG,DCGH是全等的菱形,则下列关系中不一定成立的是 ( )
A.||=|| B.与共线
C.与共线 D.与共线
8.[2024·茂名高新中学高一月考] 如果一架飞机向西飞行400 km,再向东飞行500 km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么s-|a|= ( )
A.800 km B.700 km
C.600 km D.500 km
9.[2024·苏州五中高一月考] 在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且=,=,||=||,则 ( )
A.AC⊥BD
B.四边形ABCD是梯形
C.四边形ABCD是菱形
D.四边形ABCD是矩形
二、填空题
10.若向量a与任一向量b平行,则a= .
11.如图所示,设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的有 .(填序号)
①=;
②∥;
③与共线;
④=.
12.如图,正六边形ABCDEF的中心是点O,以这七个点为起点或终点的向量中,与相等的向量共有 个,与的模相等且夹角为60°的向量共有 个.
三、解答题
13.如图是4×3的矩形方格纸(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量平行且模为的向量共有几个 与向量方向相同且模为3的向量共有几个
14.已知飞机从甲地沿北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地,再从乙地沿南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地,然后从丙地沿正南方向飞行2000 km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
15.已知在四边形ABCD中,=且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是 .
16.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米,逆时针转变α(0°<α<180°),继续按直线向前行进1米,再逆时针转变α,按直线向前行进1米,按此方法继续操作下去.
(1)作示意图说明当α=45°时,操作几次后赛车的位移为零向量;
(2)按此操作方法使赛车行进一周后能回到出发点,α应满足什么条件
