9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法运算
1.A [解析] +=.故选A.
2.B [解析] 由向量加法的几何意义可知应选B.
3.A [解析] 由|a+b|=|a|+|b|可知a∥b且a,b方向相同.
4.C [解析] 由相等向量的概念和向量加法的平行四边形法则,易知C正确.
5.D [解析] ++=++=+=.
6.C [解析] 由向量加法的平行四边形法则,知a+b=c成立,故|a+b|=|c|也成立.由向量加法的三角形法则,知a+d=b成立,易知b+d=a不成立.
7.ACD [解析] 若a+b=0,则a+b的方向是任意的,故A中说法不正确;显然B中说法正确;当A,B,C三点共线时,也满足++=0,故C中说法不正确;|a+b|≤|a|+|b|,故D中说法不正确.故选ACD.
8.D [解析] ++=+=0,++=++=0,++=+=+=,++=+0==≠.故选D.
9.C [解析] ∵=+,=+,且=,=,∴=,∴AB∥CD且AB=CD,∴四边形ABCD一定为平行四边形.
10. [解析] +++=(+)+(+)=+=.
11.[1,5] [解析] ∵||a|-|b||=|3-2|=1,|a|+|b|=3+2=5,∴1≤|a+b|≤5.
12.20 [解析] 如图,设船在静水中的速度为v1,河水的流速为v2,小船实际航行的速度为v0,则|v1|=10 km/h,|v2|=10 km/h,v0=v1+v2.由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10)2+102=|v0|2,所以|v0|=20 km/h,即小船的实际航行速度的大小为20 km/h.
13.解:(1)++=+=.
(2)++=(+)+=+=.
(3)++=++=+=.
14.解:如图,根据向量加法的平行四边形法则,得合力F=F1+F2=,F与电灯的重力大小相等,方向相反.在△OCA中,||=24,||=12,∠OAC=60°,∠OCA=90°,∴||=12,故F1与F2的合力的大小为12 N,方向为竖直向上.
15.30° [解析] 由++=0,得+=,由向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形,又OA=OB=OC,所以四边形OACB为菱形,且△OAC是正三角形,所以∠CAO=60°,所以∠CAB=∠CAO=30°.
16.解:如图,设工作艇在静水中的航行速度为,水流速度为,工作艇的实际航行速度为,连接AD,BD.
由题意知,||=12.5,||=25,
∵四边形OADB为平行四边形,
∴||=||,又∵OD⊥BD,
∴在Rt△OBD中,∠BOD=30°,
则工作艇的航向为北偏西30°.9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法运算
【学习目标】
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和.
2.能够在数学问题情境中,掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算.
◆ 知识点一 向量加法的定义及运算法则
1.向量加法的定义
求 的运算叫作向量的加法.
2.向量加法的运算法则
三角形法则 平行四边形法则
前提 已知非零向量a,b 已知两个不共线的非零向量a,b
作法 在平面内任取一点O,作=a,=b,则=+= 作=a,=b,以OA,OC为邻边作 OABC,连接OB,则=+=a+b
(续表)
三角形法则 平行四边形法则
结论 向量叫作a与b的和,记作a+b,即a+b=+= 向量就是a与b的和
图形
特例 任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.对于零向量和任一向量a,我们规定
三角 不等式 |a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量相加的结果可能是一个数量. ( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. ( )
2.已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向南航行1 km”,则a+b表示什么
◆ 知识点二 向量加法的运算律
1.运算律
运算律 交换律 a+b=
结合律 (a+b)+c=
2.向量加法不等式:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)0+a=a+0=a. ( )
(2)(a+b)+c=a+(c+b). ( )
(3)+=0. ( )
(4)+=. ( )
◆ 探究点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
例1 (1)已知向量a,b,用向量加法的三角形法则作出图①②③中的向量a+b.(不写作法,画出图形即可)
(2)已知向量a,b(如图),请用向量加法的平行四边形法则作出向量a+b.(不写作法,画出图形即可)
变式 如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列各式:
(1)+= ;
(2)+= ;
(3)+= ;
(4)+= ;
(5)+= .
[素养小结]
(1)在使用向量加法的三角形法则时,要注意“首尾相接”,即若第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,则以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点的向量为两向量的和.
(2)应用向量加法的平行四边形法则的前提是“共起点”,即两个向量是从同一点出发的不共线向量.
拓展 当a,b处于什么位置时,|a+b|=|a|+|b|.
◆ 探究点二 向量的加法运算及运算律
例2 化简:(1)+;
(2)++;
(3)(+)+(+);
(4)+(+)+.
变式 如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
[素养小结]
解决向量的加法运算问题时应注意以下几点:
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法的运算律.
(3)注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
◆ 探究点三 向量加法的实际应用
例3 一条河的宽为800 m,一艘船从A处出发垂直到达河正对岸的B处,船在静水中速度的大小为20 km/h,水流速度的大小为12 km/h,求船到达B处所需时间.
变式 飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1400 km到达B地,再从B地按南偏东75°的方向飞行1400 km到达C地,求该飞机飞行的路程和位移.
[素养小结]
应用向量解决实际问题的基本步骤9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法运算
一、选择题
1.+= ( )
A. B.
C. D.
2.若某人先向东走3 km(记为向量a),接着再向北走3 km(记为向量b),则a+b表示 ( )
A.向东南走3 km
B.向东北走3 km
C.向东南走3 km
D.向东北走3 km
3.若a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则 ( )
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是共线向量且方向相反
C.a=b
D.无论a,b什么关系均可满足等式
4.如图所示,已知四边形ABCD为平行四边形,则下列结论中正确的是 ( )
A.=
B.+=
C.+=
D.+=0
5.如图所示,在正六边形ABCDEF中,++= ( )
A.0 B.
C. D.
6.在平行四边形ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式不成立的是 ( )
A.a+b=c B.a+d=b
C.b+d=a D.|a+b|=|c|
7.(多选题)下列说法中不正确的为 ( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若++=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b|
8.如图所示,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中错误的是 ( )
A.++=0
B.++=0
C.++=
D.++=
9.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且=,=,则四边形ABCD一定为 ( )
A.正方形 B.梯形
C.平行四边形 D.菱形
二、填空题
10.化简:+++= .
11.已知|a|=3,|b|=2,则|a+b|的取值范围是 .
12.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于河岸的方向行驶,同时河水流速的大小为10 km/h,则小船的实际航行速度的大小为 km/h.
三、解答题
13.如图所示,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)++;
(3)++.
14.如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO对电灯的拉力的大小为|F1|=24 N,绳BO与墙壁垂直,对电灯的拉力的大小为|F2|=12 N,求F1与F2的合力的大小与方向.
15.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则∠CAB= .
16.已知桥是南北方向的,受落潮影响,海水以12.5 km/h的速度向东流,现有一艘工作艇,在海面上航行检查桥墩的状况,已知工作艇在静水中的速度大小是25 km/h,若工作艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行,则工作艇的航向如何确定 (共40张PPT)
9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法运算
探究点一 向量加法的三角形法则与平行
四边形法则
探究点二 向量的加法运算及运算律
探究点三 向量加法的实际应用
【学习目标】
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运
算规则,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形
法则作出两个向量的和.
2.能够在数学问题情境中,掌握向量加法的交换律与结合律,并会
用它们进行向量运算.
知识点一 向量加法的定义及运算法则
1.向量加法的定义
求____________的运算叫作向量的加法.
两个向量和
2.向量加法的运算法则
三角形法则 平行四边形法则
前 提
作 法
结 论
图 形 ____________________________________ ________________________________________________
特 例
续表
三 角 不 等 式
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个向量相加的结果可能是一个数量.( )
×
（2）两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( )
×
（3）任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( )
×
2.已知向量表示“向东航行”,向量表示“向南航行 ”,则
表示什么
解：表示“向东南航行 ”.
知识点二 向量加法的运算律
1.运算律
运算律 交换律
结合律
2.向量加法不等式： .
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） .( )
×
（2） .( )
√
（3） .( )
√
（4） .( )
√
探究点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
例1（1） 已知向量, ,用向量加法的三角形法则作出图①②③中的
向量 .（不写作法,画出图形即可）
①
解：如图.
②
解：如图.
③
解：如图.
（2）已知向量, （如图）,请用向量加法的平行四边形法则作出向
量 .（不写作法,画出图形即可）
解：如图.
变式 如图所示,为正六边形 的中心,化简下列各式:
（1） ____;
[解析] 根据向量加法的三角形法则可得 .
（2） ____；
[解析] 由题中图知,四边形为平行四边形, .
（3） ____;
[解析] 由题中图知,, .
（4） ____;
[解析] 由题中图知,, .
（5） ___.
[解析] , ,
又, .
［素养小结］
（1）在使用向量加法的三角形法则时,要注意“首尾相接”,即若第一
个向量的终点与第二个向量的起点重合,则以第一个向量的起点为起
点,并以第二个向量的终点为终点的向量为两向量的和.
（2）应用向量加法的平行四边形法则的前提是“共起点”,即两个向量
是从同一点出发的不共线向量.
拓展 当,处于什么位置时， .
解：当向量，共线且同向时， ，如图所示.
探究点二 向量的加法运算及运算律
例2 化简:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解：
.
变式 如图，，，，分别是梯形 的
边，，， 的中点，化简下列各式：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
［素养小结］
解决向量的加法运算问题时应注意以下几点:
（1）可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
（2）要灵活应用向量加法的运算律.
（3）注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序,特
别注意勿将 写成0.
探究点三 向量加法的实际应用
例3 一条河的宽为，一艘船从处出发垂直到达河正对岸的
处，船在静水中速度的大小为，水流速度的大小为 ，
求船到达 处所需时间.
解：如图所示，设 表示船在静水中的速
度，表示水流的速度， 表示船实际垂
直过江的速度.
则， ,
,
，
所需时间 ，
故船到达处所需时间为 .
变式 飞机从地按北偏西 的方向飞行到达地，再从
地按南偏东 的方向飞行到达 地，求该飞机飞行的路程
和位移.
解：如图所示，表示飞机从地按北偏西 的
方向飞行到 地的位移，则.
表示飞机从地按南偏东 的方向飞行
到 地的位移，则,
所以该飞机飞行的路程为 .
表示飞机从地到地的位移，
在中， ，且 ，
则 为等边三角形，所以 ， .
故该飞机飞行的位移的大小为，方向在地北偏东 的方向
上.
［素养小结］
应用向量解决实际问题的基本步骤
1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：①三角形法则中强调的是“首尾相连”，平行四边形法则中强
调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，
而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形
法则是统一的．
2.向量加法的多边形法则: 个向量经过平移,顺次使前一个向量的终
点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这 个向量的和等于
折线起点到终点的向量.向量加法的多边形法则实质就是三角形法则
的连续应用.
3.向量与非零向量, 的模及方向的关系:
①当与不共线时,的方向与,都不相同,且 .
②当与同向时,,,的方向相同,且 .
③当与反向时,若,则与 的方向相同,且
.
1.利用加法法则求向量的和
（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”.
（2）向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”.
例1 计算：
（1） ____.
[解析] .
（2） ___.
0
[解析] .
2.应用三角形法则与平行四边形法则作向量的和
例2 如图所示，已知向量，，不共线，求作向量 .
解：方法一（三角形法则）：如图①，作
，，则，
再作 ，则 ，
即 .
方法二（平行四边形法则）：如图②，显然 ，
， 不共线，
在平面内任取一点，作， ，
以，为邻边作平行四边形 ，
连接，则，
再作，以， 为邻边作平行四边形，
连接，则 .
3.用向量证明几何问题
例3 已知在四边形中，，分别为, 的中点，求证：
.
证明：在平面内取点，连接，，，，， ，
则, ,
.
，分别为，的中点，, ,
,得证.9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第1课时 向量的加法运算
【课前预习】
知识点一
1.两个向量和 2.a+b a+0=0+a=a
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解:a+b表示“向东南航行 km”.
知识点二
1.b+a a+(b+c)
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)①如图.
②如图.
③如图.
(2)如图.
变式 (1) (2) (3) (4) (5)0
[解析] (1)根据向量加法的三角形法则可得+=.
(2)由题中图知,四边形OABC为平行四边形,∴+=.
(3)由题中图知,=,∴+=+=.
(4)由题中图知,=,∴+=+=.
(5)∵=,∴+=+,又=,∴+=+=0.
拓展 解:当向量a,b共线且同向时,|a+b|=|a|+|b|,如图所示.
探究点二
例2 解:(1)+=+=.
(2)++=++=+=0.
(3)(+)+(+)=(+)+(+)=+=.
(4)+(+)+=(+)+(+)=+=0.
变式 解:(1)++=++=+=.
(2)+++=+++=+=0.
探究点三
例3 解:如图所示,设v1表示船在静水中的速度,v2表示水流的速度,v实际表示船实际垂直过江的速度.
则v实际=v1+v2,|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,∴|v实际|===16(km/h),∴所需时间t==0.05(h),
故船到达B处所需时间为0.05 h.
变式 解:如图所示,表示飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1400 km到B地的位移,则||=1400 km.表示飞机从B地按南偏东75°的方向飞行1400 km到C地的位移,则||=1400 km,所以该飞机飞行的路程为1400+1400=2800(km).
表示飞机从A地到C地的位移,在△ABC中,AB=BC=1400 km,且
∠ABC=75°-15°=60°,则△ABC为等边三角形,所以∠BAC=60°,||=1400 km.
故该飞机飞行的位移的大小为1400 km,方向在A地北偏东45°的方向上.
