第2课时 向量的减法运算
【课前预习】
知识点一
差
知识点二
终点 终点
知识点三
(1)||a|-|b|| |a|+|b| (2)|a|-|b| |b|-|a|
(3)|a|+|b|
诊断分析
1.(1)√ (2)√
2.a+c-b [解析] 连接AC,则=-=+-=a+c-b.
【课中探究】
探究点一
例1 解:方法一:如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,连接BC,则=b-c.
过点A作AD∥BC,且AD=BC,则=b-c,连接OD,
所以=+=a+b-c.
方法二:如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,连接OB,则=a+b,再作=c,连接CB,则=a+b-c.
方法三:如图③,在平面内任取一点O,作=a,=b,连接OB,则=a+b,再作=-c,连接OC,则=a+b-c.
变式 解:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,连接AB,CD,则a-b=,c-d=.
探究点二
例2 解:(1)-+=+=0.
(2)++--=+++-=++=.
变式 (1)0 (2)0 (3) [解析] (1)-+-=(+)-(+)=-=0.
(2)++-=(+)+(-)=+=0.
(3)-++=++-=.
探究点三
例3 解:(1)由题意知||=|++|=||,即AB=AD,又四边形ABCD是平行四边形,
所以四边形ABCD是菱形.
(2)由平行四边形及三角形中位线的性质可知=,
所以--=--=-(+)=-=.
作出向量,如图所示.
变式 解:∵a+c=b+d,∴+=+,∴-=-,即=,∴BA∥CD且BA=CD,故四边形ABCD是平行四边形.
拓展 解:如图,分别作=a,=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则=a+b,=a-b.
①当|a|=|b|时,a+b与a-b垂直.
②当a,b垂直时,|a+b|=|a-b|.
③当|a|=|b|时,a+b平分a与b的夹角.
④a+b与a-b不可能是相等向量.第2课时 向量的减法运算
1.B [解析] 易知=+=-,只有选项B符合题意,故选B.
2.A [解析] -==.
3.A [解析] 原式=--+=-+=+=.故选A.
4.AC [解析] 对于A,+=,所以A正确;对于B,-=+=,所以B错误;对于C,-+=+-=-=0,所以C正确;对于D,--=-(+)=-=2,所以D错误.故选AC.
5.D [解析] 作出菱形ABCD,如图所示,则|-|=|-|=||=.
6.D [解析] 在平行四边形ABCD中,∵=a,=b,=c,=d,∴a-d=,c-b=,∴a-b+c-d=(a-d)+(c-b)=+=0,故选D.
7.D [解析] 设a,b的起点为O,终点分别为A,B,则a-b=,由|a-b|=|a|+|b|,得||=||+||,则O,A,B三点共线,且O在A,B之间,所以与方向相反.故选D.
8.D [解析] 由+=,可得=-=,∴四边形PBCA为平行四边形,∴点P在△ABC的外部.故选D.
9.C [解析] 由题得=-.①当,方向相同时,||=8-5=3;②当,方向相反时,||=8+5=13;③当,不共线时,3<||<13.综上可得,3≤||≤13.故选C.
10. [解析] (+)+(-)=+++=+++=.
11.a-b+c [解析] ∵=a,=b,=c,∴=-=a-b,∴==a-b,∴=+=a-b+c.
12.5 5 [解析] 设=a,=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则=a+b,=a-b.由题知四边形ABCD是矩形,所以|a-b|=|a+b|=5.
13.解:(1)如图,由已知得a+b=+==c,所以延长AC到E,使||=||,则a+b+c=,且||=2,所以|a+b+c|=2.
(2)如图,连接DB,作=,连接CF,
则+=,又=-=a-b,所以a-b+c=+=,且||=2,所以|a-b+c|=2.
14.解:由向量的平行四边形法则,得=a+b,=-=a-b.
当a,b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线的长度相等,四边形ABCD为矩形;当a,b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边的长度相等,四边形ABCD为菱形;当a,b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形.
15.直角 [解析] 因为-+-=+,-==-,且|-|=|-+-|,所以|+|=|-|,所以以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长相等,所以该平行四边形为矩形,所以AB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.
16.解:(1)如图①,设此人在静水中游泳的速度为,水流的速度为,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=.
由题知||=4,||=4,则由勾股定理知||=8,且在Rt△ACO中,∠COA=60°,故此人沿与河岸夹角为60°且顺着水流的方向前进,实际速度的大小为8千米/时.
(2)如图②,设此人的实际速度为,水流速度为,则在静水中的速度为=-.
在Rt△AOD中,||=4,||=4,则||=4,cos∠DAO=,故此人沿与河岸夹角的余弦值为且逆着水流的方向游,才能沿与水流垂直的方向前进,实际速度的大小为4千米/时.第2课时 向量的减法运算
【学习目标】
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及运算规则,并理解其几何意义.
2.会作出两个向量的差.
◆ 知识点一 向量减法的概念
若b+x=a,则向量x叫作a与b的 ,记为a-b.求两个向量差的运算,叫作向量的减法.
◆ 知识点二 向量减法的几何意义
当向量a,b起点相同时,从b的 指向a的 的向量就是a-b.
如图,以O为起点,作向量=a,=b,则=a-b.
◆ 知识点三 |a-b|与|a|,|b|之间的关系
(1)对于任意向量a,b,都有 ≤|a-b|≤ ;
(2)当a,b共线,且同向时,有|a-b|= 或 ;
(3)当a,b共线,且反向时,有|a-b|= .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量. ( )
(2)向量a和向量b的差与向量b和向量a的差互为相反向量. ( )
2.如图所示,在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为 .
◆ 探究点一 向量的减法及其几何意义
例1 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
变式 如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
[素养小结]
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作a,-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的几何意义,使两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
◆ 探究点二 向量加减法的基本运算
例2 化简:(1)-+;
(2)++--.
变式 化简:(1)-+-= ;
(2)++-= ;
(3)-++= .
[素养小结]
向量减法的三角形法则的内容:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点为起点,以被减向量的终点为终点.此类问题要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系.
◆ 探究点三 向量加法与减法的综合应用
例3 如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形 说明理由.
(2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量.
变式 已知平面内的四边形ABCD和点O,设=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d,试判断四边形ABCD的形状.
[素养小结]
向量加法与减法的三角形法则将向量加法与减法的几何意义得以体现,要明确和向量与差向量的起点与方向.
拓展 若=a+b,=a-b(a,b均为非零向量).
①当a,b满足什么条件时,a+b与a-b垂直
②当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
③当a,b满足什么条件时,a+b平分a与b的夹角
④a+b与a-b可能是相等向量吗 第2课时 向量的减法运算
一、选择题
1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
A.=+
B.=-
C.=-+
D.=--
2.在平行四边形ABCD中,-等于 ( )
A. B. C. D.
3.[2024·湖南衡阳高一期中] (-)-(-)= ( )
A. B.
C. D.
4.(多选题)[2024·山东泰安高一期中] 下列向量的运算结果正确的是 ( )
A.+=
B.-=
C.-+=0
D.--=0
5.在边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为 ( )
A.1 B.2
C. D.
6.已知O为平行四边形ABCD所在平面上一点,且=a,=b,=c,=d,则 ( )
A.a+b+c+d=0 B.a-b-c+d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b+c-d=0
7.设a,b为非零向量,且满足|a-b|=|a|+|b|,则a与b( )
A.既不共线也不垂直
B.垂直
C.方向相同
D.方向相反
8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及同一平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是 ( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在边AB所在直线上
D.P在△ABC的外部
9.若||=8,||=5,则||的取值范围是 ( )
A.[3,8] B.(3,8)
C.[3,13] D.(3,13)
二、填空题
10.化简:(+)+(-)= .
11.如图所示,已知O为平行四边形ABCD内部的一点,=a,=b,=c,则= .(用向量a,b,c表示)
12.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=4,且a⊥b,则|a-b|= ,|a+b|= .
三、解答题
13.如图所示,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c.作出下列向量,并分别求出其模.
(1)a+b+c;(2)a-b+c.
14.如图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,先用a,b表示向量和,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形
15.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-|,则△ABC是
三角形.
16.某人在静水中游泳速度的大小为4千米/时,现在他在水流速度的大小为4千米/时的河中游泳.
(1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸,则他实际沿什么方向前进 实际速度的大小为多少
(2)他朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进 实际速度的大小为多少 (共35张PPT)
9.2 向量运算
9.2.1 向量的加减法
第2课时 向量的减法运算
探究点一 向量的减法及其几何意义
探究点二 向量加减法的基本运算
探究点三 向量加法与减法的综合应用
【学习目标】
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及运
算规则,并理解其几何意义.
2.会作出两个向量的差.
知识点一 向量减法的概念
若，则向量叫作与的____，记为 .求两个向量差
的运算，叫作向量的减法.
差
知识点二 向量减法的几何意义
当向量，起点相同时，从的______指向 的______的向量就是
.
如图，以为起点，作向量，，则 .
终点
终点
知识点三 与, 之间的关系
（1）对于任意向量,，都有__________ ___________；
（2）当,共线，且同向时，有 _________或_________；
（3）当,共线，且反向时，有 _________.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个向量的差仍是一个向量.( )
√
（2）向量和向量的差与向量和向量 的差互为相反向量.( )
√
2.如图所示,在四边形中,设,, ,
则向量可用,, 表示为__________.
[解析] 连接 ,则
.
探究点一 向量的减法及其几何意义
例1 如图,已知向量,,不共线,求作向量 .
解：方法一：如图①，在平面内任取一点 ，作
，，，
连接，则 .
过点作，且，则 ，
连接 ，所以 .
方法二：如图②，在平面内任取一点，作， ，
连接，则，
再作，连接，则 .
方法三：如图③，在平面内任取一点，作， ，连接
，则，
再作，连接，则 .
变式 如图所示,已知向量,,,,求作向量, .
解：如图所示,在平面内任取一点,作,, ,
,
连接，，则, .
［素养小结］
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行,如,可以先作, ,然后作
即可.
（2）也可以直接用向量减法的几何意义,使两向量的起点重合,则差
向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
探究点二 向量加减法的基本运算
例2 化简：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
变式 化简:
（1） ___;
[解析]
.
（2） ___;
[解析]
.
（3） ____.
[解析] .
［素养小结］
向量减法的三角形法则的内容：两向量相减，表示两向量起点的字
母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点为起点，以被减
向量的终点为终点.此类问题要特别注意向量的方向以及运算式中向
量之间的关系.
探究点三 向量加法与减法的综合应用
例3 如图所示，在平行四边形中，，
分别为边和的中点，为与 的交点.
（1）若 ，则四边形
是什么特殊的平行四边形？说明理由.
解：由题意知，即 ，
又四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形.
（2）化简 ，并在图中作出表示该化简结果的向量.
解：由平行四边形及三角形中位线的性质可知 ，
所以 .
作出向量 ，如图所示.
变式 已知平面内的四边形和点，设， ，
，，若，试判断四边形 的形状.
解：， ，
，即，
且 ，故四边形 是平行四边形.
［素养小结］
向量加法与减法的三角形法则将向量加法与减法的几何意义得以体
现，要明确和向量与差向量的起点与方向.
拓展 若,（， 均为非零向量）.
①当，满足什么条件时,与 垂直？
当时，与 垂直.
②当，满足什么条件时, ？
解：当，垂直时， .
解：如图,分别作，，
以 ，为邻边作平行四边形 ,
则， .
③当，满足什么条件时,平分与 的夹角？
解：当时，平分与 的夹角.
④与 可能是相等向量吗？
解：与 不可能是相等向量.
1.向量的减法运算
（1）相反向量也应从“长度”和“方向”两方面进行理解，相反向量必
为平行向量．
（2）向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就
可以把减法化为加法.在用三角形法则作向量减法时,记住“连接两向
量的终点,箭头指向被减向量”即可.向量减法的三角形法则可简记为:
共起点，连终点，指向被减.
（3）设向量,，以，为邻边作平行四边形 ，
则，， .这一结论在以后应用非常
广泛，应该加强理解并记住.
2.，， 三者的大小关系：
.
（1）当向量与 共线时：
①当两个非零向量与同向时， ；
②当两个非零向量与反向时， ；
③当与中至少有一个为零向量时， .
（2）当两个非零向量与不共线时，如在中， ，
，则 ，根据三角形中任意两边之差总
小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得
.
综上可知，对任意的向量与都有 .
当与同向或与中至少有一个为零向量时，
中的等号成立；当与反向或与 中至少有一个为零向量时，
中的等号成立.
3.成立的充要条件是与同向或与 中至少有
一个为零向量;
成立的充要条件是与反向或与 中至少有
一个为零向量;
成立的充要条件是与反向或与 中至少有一
个为零向量;
成立的充要条件是与同向或与 中至少有
一个为零向量.
1.向量的减法运算
向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算,可以灵活转化,减去一
个向量等于加上这个向量的相反向量.
例1 化简下列各式:
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
2.利用已知向量表示其他向量
解决此类题目要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和
三角形法则，要将向量运算的平行四边形法则、三角形法则与向量
加减法运算的几何意义相结合,运算过程中要注意向量的起点与终点.
例2 如图所示，已知平行四边形内有一点 ，
若，，，试用向量，，
表示 .
解：在中， .
在中， .
在平行四边形中，因为 ，
所以，即 .
3.向量，的模与 的模之间满足
，应用此结论时要注意等号成立的条件．
例3 已知，，求 的取值范围．
解： ，
且，，
.
故的取值范围是 ．
