9.2.2 向量的数乘
【课前预习】
知识点一
2.向量 (2)相同 相反
3.放大或缩小 相反 放大或缩小
知识点二
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.2b-a [解析] 原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=2b-a.
知识点三
非零 有且只有一个
诊断分析
1.(1)× (2)√
2.解:若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa.为了保证λ的唯一性,所以定理中规定与λ相乘的向量a≠0.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)向量的数乘满足分配律,①②正确;若ma=mb,且m=0,则a,b可以是任意向量,③错误;由ma=na,得(m-n)a=0,又a≠0,所以m-n=0,即m=n,④正确.故选C.
(2)当λ<0时,a与-λa方向相同,故A错误;当|λ|<1时,|-λa|<|a|,故B错误;|-λa|=|λ||a|,故D错误;∵λ≠0,∴λ2>0,∴a与λ2a的方向相同,故C正确.故选C.
探究点二
例2 解:(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
(2)原式=-=-=a+b-a-b=0.
(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.
变式 (1)-a-c [解析] (5a-4b+c)-2(3a-2b+c)=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
(2)解:由题知3x-2y=a①,-4x+3y=b②.由①×3+②×2,得x=3a+2b.代入①,得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b.
探究点三
例3 解:(1)由,方向相反,得存在负数λ使得=λ,所以ke1-4e2=λ(-e1+ke2)=-λe1+kλe2,所以解得或(舍去),故k的值为2.
(2)由A,C,D三点共线,得存在μ∈R使得=μ,
又=++=(ke1-4e2)-(e1+2e2)+(-e1+ke2)=(k-2)e1+(k-6)e2,
所以(k-2)e1+(k-6)e2=μ(-e1+ke2)=-μe1+kμe2,
所以解得或
故k的值为-2或3.
变式 (1)A (2)-2 [解析] (1)由题意可得,=+=2a+8b=2,所以向量与共线,又与有公共点B,所以A,B,D三点一定共线.故选A.
(2)因为向量ka+b与4a-2b的方向相反,所以存在负实数λ,使得ka+b=λ(4a-2b),即ka+b=4λa-2λb,又a,b不共线,所以解得所以k=-2.
探究点四
例4 解:因为点O是AC与BD的交点,点G是DO的中点,所以==(-),所以=+=+(-)=+,所以=a+b.
变式 解:在△ABC中,由BE=2AE,可得=,同理可得=3.
设=t,则=+=+t=+t(-)=(1-t)+t=(1-t)·+t·3,又因为P,A,D三点共线,所以(1-t)+3t=1,解得t=.
故=×+=a+b.
拓展 解:如图,取AB的中点P,连接EP,FP.
在△ABC中,因为EP是△ABC的中位线,所以==a.在△ABD中,因为FP是△ABD的中位线,所以==-b.
在△EFP中,=+=-a-b=-(a+b).9.2.2 向量的数乘
1.D [解析] 3(2a-4b)=6a-12b,故选D.
2.C [解析] 设BD与AC交于点O,则-=-==.故选C.
3.A [解析] 因为=+=-2a+8b+3a-3b=a+5b=,所以A,B,D三点共线,故选A.
4.C [解析] 因为D为AB的中点,E为CD的中点,所以=+=+=+=+,又因为=a,=b,所以=a+b.故选C.
5.A [解析] 因为c与d同向共线,所以存在实数μ(μ>0)使得c=μd,即λa+b=μ[a+(2λ-1)b]=μa+μ(2λ-1)b,又向量a,b不共线,所以解得λ=μ=-(舍去)或λ=μ=1.故选A.
6.C [解析] 连接AD,∵在△PAD中,PO是AD边上的中线,∴=(+)①.同理可得=(+)②,=(+)③.①+②+③可得3=(+++++),即+++++=6.故选C.
7.C [解析] 由AC=4AD可得4=,所以=λ+μ=λ+4μ,因为P,B,D三点共线,所以λ+4μ=1,故选C.
8.ABC [解析] 对于A,b=-a,则a∥b,故A正确;对于B,b=-2a,则a∥b,故B正确;对于C,a=e1-e2,b=-e1=-e1+e2,则b=-a,所以a∥b,故C正确;对于D,a=e1-e2,b=e1+e2+=(e1+e2),显然向量a,b不平行,故D错误.故选ABC.
9.BCD [解析] -=+=2≠,故A错误;因为点G为△ABC的重心,所以==×(+)=(+),故B正确;++=(++)=0,故C正确;连接GD,因为=(+),所以=-2=-2×(+),即++=0,故D正确.故选BCD.
10.11e1+8e2 [解析] 由题意,2a+3b=2(e1-2e2)+3(3e1+4e2)=11e1+8e2.
11.3 [解析] 因为向量a,b不共线,(y-2)a+(x-1)b=0,所以解得所以x+y=3.
12. [解析] 取AC的中点D,因为+2=,所以+=-2,故2=-2,即=,所以点M为BD的中点,所以S△MBC=S△BCD=S△ABC=.
13.解:(1)3(a+2b)-(2a+7b)=a-b.
(2)因为b=3i+4j,所以b=i+j,又a=i-2j,所以a+b=2i-j.
14.解:(1)∵2-3+=2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,且a≠0,∴k=-1.
(2)∵A,B,C三点共线,∴,共线,∴存在实数λ,使=λ,即-=λ(-),
∴(k-1)a+10b=λ(-a+5b),又a,b不共线,
∴解得故k=-1.
15. [解析] 因为平行四边形ABCD的对角线相交于点O,所以=+,又=m,=n(m>0,n>0),所以=+,又点M,O,N共线,所以+=1,即mn+1=2n,又mn=,所以m=,n=,所以m+n=.
16.解:(1)=.理由如下:
∵D为BC的中点,∴+=2,
又2++=0,∴2+2=0,∴=.
(2)由题意得+2+3=(+)+2(+)=2+4=0,∴=2,∴DE=3DO,
又AB=2DE,∴AB=6DO,∴S△ABC=6S△BOC=12,
即△ABC的面积为12.9.2.2 向量的数乘
【学习目标】
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.
2.理解两个平面向量共线的含义.
3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
◆ 知识点一 向量的数乘
1.定义:实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘.
2.表示及规定:实数λ与向量a的积是一个 ,记作λa,它的长度和方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)若a≠0,则当λ>0时,λa与a方向 ;当λ<0时,λa与a方向 .
3.向量数乘λa的几何意义
当λ>0时,把向量a沿着a的相同方向 ;
当λ<0时,把向量a沿着a的 方向 .
◆ 知识点二 平面向量数乘的运算
1.运算律:设a,b为向量,λ,μ为实数,则有:
①λ(μa)=(λμ)a;
②(λ+μ)a=λa+μa;
③λ(a+b)=λa+λb.
特别地,有(-λ)a=λ(-a)=-(λa),λ(a-b)=λa-λb.
2.向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致. ( )
(2)若λa=0,则a=0. ( )
(3)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b.( )
2.化简:[2(2a+8b)-4(4a-2b)]= .
◆ 知识点三 向量共线定理
向量共线定理:设a为 向量,如果有一个实数λ,使b=λa,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么 实数λ,使b=λa.
规定:如果向量a,b共线且向量b的长度是向量a的长度的λ倍,即|b|=λ|a|,那么当b与a同向时,b=λa;当b与a反向时,b=-λa.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ,使b=λa. ( )
(2)若b=λa(a≠0,λ∈R),则a与b共线. ( )
2.向量共线定理中为什么规定a≠0
◆ 探究点一 向量数乘的概念
例1 (1)给出下列说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;
③若ma=mb(m∈R),则a=b;
④若ma=na(m,n∈R,a≠0),则m=n.
其中,正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是 ( )
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
◆ 探究点二 向量线性运算
例2 化简:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b);
(2)-;
(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
变式 (1)化简:(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)= .
(2)已知向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,试用向量a,b表示向量x,y.
[素养小结]
(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数应看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程(或方程组)求解,同时在运算过程中应注意观察,恰当的运用运算律,简化运算过程.
◆ 探究点三 向量共线定理及其应用
例3 已知e1,e2是平面上两个不共线的向量,且=ke1-4e2,=-e1+ke2,=e1+2e2.
(1)若,方向相反,求k的值;
(2)若A,C,D三点共线,求k的值.
变式 (1)已知向量a,b不共线,且=a+4b,=-a+9b,=3a-b,则一定共线的三点是 ( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
(2)设a,b是两个不共线的向量,若向量ka+b与4a-2b的方向相反,则实数k= .
[素养小结]
利用向量共线求参数的方法
解决判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
◆ 探究点四 用已知的向量表示未知的向量
例4 如图,在 ABCD中,=a,=b,点O是AC与BD的交点,点G是DO的中点,试用a,b表示.
变式 如图,在△ABC中,点D,E分别在边BC和边AB上,且DC=2BD,BE=2AE,AD交CE于点P,设=a,=b.试用a,b表示.
[素养小结]
1.用已知向量表示未知向量问题的求解思路:
(1)结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中;(2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量;(3)当直接表示比较困难时,可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解方程(组)求得相关系数.
2.设a,b均为实数,若,不共线,点P满足=a+b,a+b=1,则A,B,P三点共线.
拓展 点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.9.2.2 向量的数乘
一、选择题
1.计算:3(2a-4b)等于 ( )
A.5a+7b B.5a-7b
C.6a+12b D.6a-12b
2.在平行四边形ABCD中,-= ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·江阴四校高一期中] 已知a,b为不共线向量,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则 ( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
4.如图,在△ABC中,D为AB的中点,E为CD的中点,设=a,=b,则= ( )
A.a+b
B.a-b
C.a+b
D.a-b
5.[2024·盐城五校高一月考] 已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向共线,则实数λ的值为 ( )
A.1 B.-
C.1或- D.-1或-
6.已知P是正六边形ABCDEF外一点,O为正六边形ABCDEF的中心,则+++++等于 ( )
A. B.3
C.6 D.0
7.在△ABC中,D是AC边上一点,且AC=4AD,P为BD上一点,若向量=λ+μ(λ>0,μ>0),则λ,μ满足的关系式为 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+=1
C.λ+4μ=1 D.4λ+μ=1
8.(多选题)[2024·泰安一中高一月考] 已知e为非零向量,e1,e2不共线,则下列各组向量中满足a∥b的是 ( )
A.a=-3e,b=2e
B.a=-e,b=e
C.a=e1-e2,b=-e1
D.a=e1-e2,b=e1+e2+
9.(多选题)[2024·三明高一期中] 在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下列结论中正确的是 ( )
A.-=
B.=(+)
C.++=0
D.++=0
二、填空题
10.已知e1,e2是两个不共线的向量,向量a=e1-2e2,b=3e1+4e2,则2a+3b= .
11.[2024·福建厦门双十中学高一期中] 已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(y-2)a+(x-1)b=0,则x+y= .
12.[2024·衡阳一中高一月考] 已知S△ABC=3,点M是△ABC内一点且+2=,则△MBC的面积为 .
三、解答题
13.(1)计算:3(a+2b)-(2a+7b).
(2)已知a=i-2j,b=3i+4j,求a+b.
14.已知两个非零向量a,b不共线,且=2a-3b,=a+2b,=ka+12b.
(1)若2-3+=0,求k的值;
(2)若A,B,C三点共线,求k的值.
15.[2024·泰兴中学高一月考] 如图,已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M,N,且=m,=n(m>0,n>0),若mn=,则m+n的值为 .
16.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点.
(1)若2++=0,试判断向量与的关系,并说明理由;
(2)若E为AC的中点,O在线段DE上,且+2+3=0,△BOC的面积为2,求△ABC的面积.(共37张PPT)
9.2 向量运算
9.2.2 向量的数乘
探究点一 向量数乘的概念
探究点二 向量线性运算
探究点三 向量共线定理及其应用
探究点四 用已知的向量表示未知的向量
【学习目标】
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.
2.理解两个平面向量共线的含义.
3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
知识点一 向量的数乘
1.定义：实数 与向量 相乘的运算，叫作向量的数乘.
2.表示及规定：实数 与向量的积是一个______，记作 ，它的长
度和方向规定如下：
（1） ；
（2）若，则当时，与方向______；当时， 与
方向______.
向量
相同
相反
3.向量数乘 的几何意义
当时，把向量沿着 的相同方向____________；
当时，把向量沿着 的______方向____________.
放大或缩小
相反
放大或缩小
知识点二 平面向量数乘的运算
1.运算律：设，为向量， ， 为实数，则有：
；
；
.
特别地，有, .
2.向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.
向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量，，以及任意实数 ，， ，恒有
.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）的方向与 的方向一致.( )
×
（2）若,则 .( )
×
（3）对于任意实数和向量,,若,则 .( )
×
2.化简： _______.
[解析] 原式
.
知识点三 向量共线定理
向量共线定理：设为______向量，如果有一个实数 ，使 ，
那么与是共线向量；反之，如果与 是共线向量，那么
______________实数 ，使 .
规定：如果向量，共线且向量的长度是向量的长度的 倍，即
，那么当与同向时，；当与反向时， .
非零
有且只有一个
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若向量与共线,则存在唯一的实数 ,使 .( )
×
（2）若,则与 共线.( )
√
2.向量共线定理中为什么规定
解：若,则实数 可以是任意实数;
若, ,则不存在实数 ,使得.
为了保证 的唯一性,所以定理中规定与 相乘的向量 .
探究点一 向量数乘的概念
例1（1） 给出下列说法:
①对于实数和向量,,恒有 ；
②对于实数,和向量,恒有 ；
③若,则 ；
④若,,,则 .
其中，正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 向量的数乘满足分配律，①②正确；
若，且 ,则,可以是任意向量，③错误；
由,得 ,
又,所以,即 ，④正确.故选C.
（2）设是非零向量， 是非零实数，则下列结论正确的是( )
A.与的方向相反 B.
C.与的方向相同 D.
[解析] 当时，与方向相同，故A错误；
当 时，,故B错误；
，故D错误；
，，与 的方向相同，故C正确.故选C.
√
探究点二 向量线性运算
例2 化简：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ．
解：原式 .
变式（1） 化简： ________.
[解析] .
（2）已知向量，，，满足关系式， ，
试用向量，表示向量， .
解：由题知①，.
由 ，得.
代入①，得，所以 .
［素养小结］
（1）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括
号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在数与向量的乘积
中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数应看作
是向量的系数.
（2）向量也可以通过列方程（或方程组）求解，同时在运算过程中
应注意观察，恰当的运用运算律，简化运算过程.
探究点三 向量共线定理及其应用
例3 已知，是平面上两个不共线的向量，且 ，
， .
（1）若，方向相反，求 的值；
解：由，方向相反，得存在负数使得，
所以 ，所以
解得或（舍去），故 的值为2.
（2）若，，三点共线，求 的值.
解：由，，三点共线，得存在使得 ，
又 ，
所以 ，
所以解得或
故的值为 或3.
变式（1） 已知向量,不共线,且, ,
,则一定共线的三点是( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
[解析] 由题意可得,,
所以向量 与共线,
又与 有公共点B,所以A,B,D三点一定共线.故选A.
√
（2）设，是两个不共线的向量，若向量与 的方向
相反，则实数 ____.
[解析] 因为向量与的方向相反，
所以存在负实数 ，使得，
即，
又， 不共线，所以解得所以 .
［素养小结］
利用向量共线求参数的方法
解决判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一
的实数 ,使得.而已知向量共线求 ,常根据向量共线
的条件转化为相应向量系数相等求解.
探究点四 用已知的向量表示未知的向量
例4 如图，在中，， ，点
是与的交点，点是的中点，试用 ，
表示 .
解：因为点是与的交点，点是 的中点，所以
，
所以 ，
所以 .
变式 如图，在中，点，分别在边和边 上，且
，，交于点，设， .试用
，表示 .
解：在中，由 ，可得，
同理可得 .
设 ，则
，
又因为，，三点共线，所以，解得 .
故 .
［素养小结］
1.用已知向量表示未知向量问题的求解思路：
（1）结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；
（2）结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已
知向量表示未知向量；（3）当直接表示比较困难时，可以利用三角
形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，
然后解方程（组）求得相关系数.
2.设,均为实数，若，不共线，点满足 ，
，则,, 三点共线.
解：如图，取的中点，连接， .
在中，因为是 的中位线，
所以.
在 中，因为是 的中位线，
所以 .
在 中，
.
拓展 点，分别为四边形的对角线， 的中点，设
，，试用，表示 .
1.向量数乘运算的理解
（1）向量的数乘运算，其结果是一个向量，不是实数.
（2）对任意非零向量，向量是与向量 同向的单位向量.
2.平面向量的线性运算
向量的加法、减法以及向量的数乘运算,统称为向量的线性运算,又称
为向量的初等运算,它们的运算法则在形式上很像实数的加、减法与
乘法满足的运算法则,当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是
不同的,但是由于它们在形式上类似,因此,实数运算中的去括号、移项、
合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.
3.对平面向量共线定理的理解
（1）向量共线的条件:当时,与任一向量都共线;当 时,对
于向量,如果有一个实数 ,使,那么与 共线.
反之,已知向量与共线且向量的长度是向量 长度的
倍,即,那么当与方向相同时,，当与 方
向相反时, .
（2）如果向量与不共线,且,那么 .
4.从数与形的角度理解向量数乘的定义：
（1）对于,从代数角度来看: 是实数, 是向量,它们的积仍然是
向量;或 .
（2）对于,从形的角度来看:①当时,有 ,
表示向量的有向线段在原方向或反方向上伸长 倍;
②当时,有，表示向量的有向线段在原方向
或反方向上缩短为原来的 .
（3）实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如无法运算 ,
.
1.对向量共线定理的理解
（1）定理中的“”不能漏掉．若，则实数 可以是任
意实数；若，，则不存在实数 ，使得 .
（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数 ，
，使，则与共线；若两个非零向量与 不共线，且
，则必有 .
2.平面向量共线定理及其应用
用向量法证明三点共线时,关键是能否找到一个实数 ,使得
（, 为这三点构成的其中任意两个向量）.证明步骤是先证明两个向
量共线,再由两个向量有公共点,证得三点共线.
（1）用，表示，，，， ；
例 如图，在中，，分别是， 的中点，
，， .
解：如图，延长到点，使，
连接， ，易证四边形 是平行四边形，
则 ，
所以 ，
所以 .
因为是的中点，所以 ，
，
.
（2）求证：，， 三点共线.
证明：由（1）知，， ，
所以，所以， 共线，
又，有公共点，所以，， 三点共线.
