第2课时 向量数量积的运算律
【课前预习】
知识点二
a2+2a·b+b2 a2-2a·b+b2 a2-b2 a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c
【课中探究】
探究点一
例1 ACD [解析] 根据向量数量积的分配律知A正确;因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,所以(b·c)a-(c·a)b与c垂直,故B错误;因为非零向量a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|可作为三角形的三边长,所以|a|-|b|<|a-b|,故C正确;易知D正确.故选ACD.
变式 AC [解析] 因为平面向量的数量积运算满足交换律和分配律,不满足结合律,所以A,C正确,B错误;由a·b=a·c(a≠0),得a·(b-c)=0,从而b-c=0或a⊥(b-c),故D错误.故选AC.
探究点二
例2 解:(1)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2-4a·b+9a·b-6b2=6×42+5×4×5×cos 60°-6×52=-4.
(2)∵=+=-=-,=+=+,∴·=·=-=9-×100=-16.
变式 (1)C [解析] 因为a+b=-c,所以(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2,即9+2a·b+4=4,整理得a·b=-,所以a·b+b·c+c·a=a·b-(a+b)·(-c)=a·b-(a+b)2=-(a2+a·b+b2)=-=-.故选C.
(2)解:由题意,=+=+,=+=-,则·=·=-,
又AD=3,AB=4,所以·=×16-×9=6.
探究点三
例3 解:(1)|2a-b|===
=
=.
(2)设a与a+b的夹角为θ,则cos θ=,
∵a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a|·|b|cos 120°=4-1=3,|a+b|===
==,
∴cos θ==,又θ∈[0°,180°],∴θ=30°,
即a与a+b的夹角为30°.
变式 (1) [解析] 设a,b的夹角为θ,则a2+2a·b+b2=a2-4a·b+4b2,且a2=b2,∴2a·b=b2,∴cos θ===,又θ∈[0,π],∴θ=.
(2)解:因为AM,BN分别为BC,AC边上的中线,
所以点P为△ABC的重心,则=.
设=a,=b,则=(+)=(a+b),所以==(a+b),
故||=|a+b|==×=.
探究点四
例4 B [解析] 设m与n的夹角为θ,则cos θ===,所以m·n=|n|2=n2.因为n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=0,即tm·n+n2=0,即tn2+n2=0,所以t+1=0,解得t=-4.故选B.
变式 B [解析] 设向量a与b的夹角为θ.
方法一:由(a-b)⊥a,得(a-b)·a=a2-a·b=3-2cos θ=0,即cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=.故选B.
方法二:根据已知条件画出图形,如图所示,由图知,|a-b|=|b-a|==1,则θ=,故向量a与b的夹角为.
拓展 [解析] 设=a,=b,=c,连接AB,AC,BC,则=a-c,=b-c.因为(a-c)·(b-c)=0,所以·=0,即⊥,所以C在以AB为直径的圆上.设AB的中点为D,连接OD,因为a和b是平面内的两个单位向量,且a与b的夹角为,所以||=1,||==,所以|c|max=||+=.第2课时 向量数量积的运算律
【学习目标】
理解平面向量数量积的运算律,会用数量积判定两个平面向量的垂直关系.
◆ 知识点一 向量数量积的运算律
向量数量积满足的运算律
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b(λ为实数);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
◆ 知识点二 平面向量数量积运算的常用公式
多项式乘法 向量数量积
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=
(a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=
◆ 探究点一 向量数量积的运算律
例1 (多选题)设a,b,c是不共线的非零向量,则下列结论正确的是 ( )
A.a·c-b·c=(a-b)·c
B.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
C.|a|-|b|<|a-b|
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
变式 (多选题)将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,得到下列结论,其中正确的是 ( )
A.a·b=b·a
B.(a·b)c=a(b·c)
C.a·(b+c)=a·b+a·c
D.由a·b=a·c(a≠0),可得b=c
◆ 探究点二 数量积运算律的应用
例2 (1)已知|a|=4,|b|=5,且向量a与b的夹角为60°,求(2a+3b)·(3a-2b);
(2)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,求·的值.
变式 (1)已知向量a,b,c满足a+b=-c,|a|=3,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a= ( )
A. B.
C.- D.-
(2)[2024·大连育明中学高一期中] 如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=4,AD=3,点M,N满足=2,=,求·的值.
[素养小结]
(1)求两个向量的数量积,应首先确定两个向量的模及夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
◆ 探究点三 向量模、夹角的计算问题
例3 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为120°.
(1)求|2a-b|;
(2)求a与a+b的夹角.
变式 (1)[2024·合肥一中高一期中] 非零向量a,b满足|a+b|=|a-2b|,若|a|=|b|,则a,b的夹角为 .
(2)如图所示,在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的中线AM,BN相交于点P,求||.
[素养小结]
求平面向量的模和夹角时要注意数量积运算律的正确运用,在解决与图形有关的模与夹角问题时要注意选择合适的向量表示及公式的正确计算.
◆ 探究点四 两个非零向量的垂直问题
例4 已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,m与n的夹角的余弦值为,若n⊥(tm+n),则实数t的值为 ( )
A.4 B.-4
C. D.-
变式 [2024·北京房山区高一期中] 若向量a,b满足|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
解决与两个非零向量的垂直有关的问题时要利用a⊥b a·b=0.
拓展 已知a和b是平面内的两个单位向量,且a与b的夹角为,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是 . (共36张PPT)
9.2 向量运算
9.2.3 向量的数量积
第2课时 向量数量积的运算律
探究点一 向量数量积的运算律
探究点二 数量积运算律的应用
探究点三 向量模、夹角的计算问题
探究点四 两个非零向量的垂直问题
【学习目标】
理解平面向量数量积的运算律，会用数量积判定两个平面向量
的垂直关系.
知识点一 向量数量积的运算律
向量数量积满足的运算律
（1） ；
（2）（ 为实数）；
（3） .
知识点二 平面向量数量积运算的常用公式
多项式乘法 向量数量积
探究点一 向量数量积的运算律
例1 （多选题）设,, 是不共线的非零向量,则下列结论正确的是
( )
A.
B.不与 垂直
C.
D.
√
√
√
[解析] 根据向量数量积的分配律知A正确;
因为 ,所以
与垂直,故B错误;
因为非零向量,不共线,所以 ,,可作为三角形的三边长,
所以 ,故C正确;
易知D正确.故选 .
变式 （多选题）将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，
得到下列结论，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.由，可得
[解析] 因为平面向量的数量积运算满足交换律和分配律，不满足结
合律，所以A，C正确，B错误；
由 ，得，从而或
，故D错误.故选 .
√
√
探究点二 数量积运算律的应用
例2（1） 已知,,且向量与的夹角为 ,求
；
解：
.
（2）在中,是的中点,,,求 的值.
解： ,
,
.
变式（1） 已知向量,,满足,, ,则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以,即 ,
即,整理得 ,
所以 .故选C.
√
（2）[2024·大连育明中学高一期中] 如图，
四边形为平行四边形， ，
，点，满足 ，
，求 的值.
解：由题意， ，
，
则 ，
又,，所以 .
［素养小结］
（1）求两个向量的数量积,应首先确定两个向量的模及夹角,其中准
确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于
多项式的乘法运算.
探究点三 向量模、夹角的计算问题
例3 已知向量,满足,,且与的夹角为 .
（1）求 ;
解：
.
（2）求与 的夹角.
解：设与的夹角为 ,则 ,
,
,
,
又, ,
即与的夹角为 .
变式（1） [2024·合肥一中高一期中] 非零向量， 满足
，若，则， 的夹角为__.
[解析] 设，的夹角为 ，则 ，
且，
，
，
又， .
（2）如图所示,在中,已知 ,
, ,,边上的中线,
相交于点,求 .
解：因为,分别为, 边上的中线,
所以点为的重心,则 .
设,,则 ,
所以 ,
故 .
［素养小结］
求平面向量的模和夹角时要注意数量积运算律的正确运用,在解决与
图形有关的模与夹角问题时要注意选择合适的向量表示及公式的正
确计算.
探究点四 两个非零向量的垂直问题
例4 已知非零向量,满足,与的夹角的余弦值为 ,若
,则实数 的值为( )
A.4 B. C. D.
[解析] 设与的夹角为 ,则 ,
所以.
因为,所以 ,即,
即,所以,解得 .故选B.
√
变式 [2024·北京房山区高一期中]若向量,满足， ，
且，则向量与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设向量与的夹角为 .
方法一：由 ，得
，即 ，
又，所以 .故选B.
√
方法二：根据已知条件画出图形，如图所示，
由图知，，
则 ，
故向量与的夹角为 .
［素养小结］
解决与两个非零向量的垂直有关的问题时要利用 .
拓展 已知和是平面内的两个单位向量,且与的夹角为,若向量
满足,则 的最大值是_ ____.
[解析] 设,,,
连接,,,则 , .
因为,所以,即 ,
所以在以为直径的圆上.
设的中点为,连接,
因为和 是平面内的两个单位向量,且与的夹角为,
所以 ,,
所以 .
1.数量积对结合律一般不成立，因为是一个与 共线的向量，
而是一个与 共线的向量，两者一般不同．
2.类比实数运算律:在实数中,若,,则 ,但是在数量积
中, 已知向量,,,由, 不能推出 .
如图所示， ,
,故 ,但
.
1.求向量的模常用平方转化法
或 ,此性质可用来求向量的模,可以实现实
数运算与向量运算的相互转化.
（1）若是的中点，用,表示向量， ；
解： ，
.
例1 如图，已知正三角形的边长为1，设, .
（2）求 ；
解：由题意得，且与的夹角为 ，
则 ，
所以 .
（3）求与 的夹角.
解：由题意得
，
则 .
设与的夹角为 ，
则 ，
因为，所以与 的夹角
为 .
例2 已知平面向量，，满足，， .
（1）若向量，的夹角为，且，求 的值；
解：因为，所以，即 ，
所以 ，
将，代入上式，得，故 .
（2）若的最小值为，求向量， 的夹角.
解：设，的夹角为 ，
由 ，得
，
故当 时，取得最小值 .
由题意得，解得 ，
又，所以或 .
2.平面向量数量积的应用
利用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，从
而比较容易判断三角形的形状.
例3 在中，，， ，且
，试判断 的形状.
解：在中，易知，即 ，
因此，，从而
两式相减可得 ，
则 .
又因为，所以，即 .
同理可得，
故 ，所以 是等边三角形.第2课时 向量数量积的运算律
1.B [解析] 设a与b的夹角为θ,则cos θ=-,又|a|=2,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|cos θ=2×3×=-2,所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=-4+27=23.故选B.
2.C [解析] 对于A,设a,b的夹角为θ,因为|a·b|=|a||b||cos θ|,所以只有当a,b共线时,才有|a·b|=|a||b|,故选项A错误;对于B,若a⊥b且a⊥c,则a·b=a·c,但b,c不一定相等,故选项B错误;对于C,因为a⊥(b-c),所以a·(b-c)=0,即a·b-a·c=0,所以a·b=a·c,故选项C正确;对于D,设a,b的夹角为θ,则(a·b)2=|a|2|b|2cos2θ,不一定等于a2·b2,故选项D错误.故选C.
3.D [解析] 因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,所以|a+b|2=a2+b2+2a·b=1+4+2×1×2×=7,则|a+b|=.故选D.
4.B [解析] 由题得|e1|=|e2|=1.由(e1+e2)·e1=,得+e1·e2=,则e1·e2=.设e1,e2的夹角为α,∴cos α==,又α∈[0,π],∴α=,故e1,e2的夹角为.故选B.
5.C [解析] 由|a|=|b|=|a-b|=1得(a-b)2=12,即a2-2a·b+b2=12,得a·b=,所以|3a+b|====.故选C.
6.A [解析] 因为(a-b)⊥(a+2b),所以(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=0,则a·b=2|b|2-|a|2=|a|2-|a|2=-|a|2,所以cos
===-.故选A.
7.B [解析] 由题意知e1·e2=2×1×cos 60°=1,则(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,可得2t2+15t+7<0,解得-78.A [解析] 由题得=+=+=+(-)=+,=-=-=-,所以·=·=·-+-·=-+=-.故选A.
9.ACD [解析] 对于A,由a×b=0,得|a||b|sin θ=0,又|a||b|≠0,所以sin θ=0,又0≤θ≤π,所以θ=0或θ=π,所以a∥b,A正确;对于B,λ(a×b)=λ|a||b|sin θ,当λ<0时,(λa)×b=|λa||b|sin(π-θ)=-λ|a||b|sin θ,当0<θ<π时,λ(a×b)≠(λa)×b,B错误;对于C,平行四边形ABCD的面积S=||||sin∠BAD=×,C正确;对于D,由a×b=,
得|a||b|sin θ=,由a·b=1,得|a||b|cos θ=1,两式平方相加得|a||b|=2,则|a+b|==≥=,当且仅当|a|=|b|=时取等号,D正确.故选ACD.
10.1 [解析] 因为|a|=1,|b|=,a·b=1,所以|a-b|====1.
11.- [解析] |a-2b|===
=2,所以cos θ====-.
12.5 [解析] 如图,连接EF,延长AD,交EF于点M,延长BC,交EF于点N,则AM⊥EF,BN⊥EF,且AM=BN=2+×2=3,ME=NF=2××+2××=2.由题意可知,·=(+)·(+)=·+·+·+·=·+·=||·||cos 0+||·||cos π=9-4=5.
13.解:(1)因为|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,
所以a·b=|a|·|b|cos=2×3×=-3,
所以(2a+b)·(3a-2b)=6a2-a·b-2b2=6×22-(-3)-2×32=9.
(2)设(a-nb)=t(2a+6b),t∈R,
所以解得因为(ma+b)⊥(a+2b),所以(ma+b)·(a+2b)=0,即ma2+(2m+1)a·b+2b2=0,即m×22+(2m+1)×(-3)+2×32=0,解得m=,所以m-n=-(-3)=.
14.解:(1)由题意可知=,=,则=+=+,=-=-.
因为∠BAD=60°,所以·=||·||cos∠BAD=3×4×=6,所以·=·=-·-=-6.
(2)由(1)可知,=+,=-,
则·=-·-=6-·-8=-3,可得·=,
则==+·+=,即||=,==-·+=18,即||=3.设与的夹角为θ,则cos∠AOB=cos∠MOC=cos θ==-.
15.A [解析] |a+b+c|==
=
,又c·(a+b)≤|c||a+b|=3×=3×=,当且仅当c与a+b同向时取得等号.故|a+b+c|≤==.故选A.
16.解:(1)由已知可得,|+++…+-|=|-|=||.
因为多边形P1P2…P2024是半径r=1的圆O的内接正2024边形,M是圆O上的动点,所以0≤||≤2r=2,
所以|+++…+-|的取值范围为[0,2].
(2)是定值,定值为4048.因为多边形P1P2…P2024是半径为1的圆O的内接正2024边形,所以||=||=…=||=||=1,所以++…+=0,
所以++…+=++…+(-)2=(++…+)-2·(++…+)+2024=2024-0+2024=4048.第2课时 向量数量积的运算律
一、选择题
1.设向量a,b的夹角的余弦值为-,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)·b= ( )
A.-23 B.23
C.-27 D.27
2.下列式子中,正确的是 ( )
A.|a·b|=|a||b|
B.若a·b=a·c,则b=c
C.若a⊥(b-c),则a·b=a·c
D.(a·b)2=a2·b2
3.[2024·海州高级中学高一期中] 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,若a与b的夹角为,则|a+b|= ( )
A.1 B.
C. D.
4.已知单位向量e1,e2满足(e1+e2)·e1=,则e1,e2的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
5.已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|3a+b|= ( )
A.13 B.7
C. D.
6.[2024·南京金陵中学高一月考] 已知非零向量a,b满足(a-b)⊥(a+2b),且2|a|=3|b|,则向量a,b的夹角的余弦值为 ( )
A.- B.-
C. D.
7.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 ( )
A.
B.∪
C.
D.
8.[2024·无锡一中高一月考] 如图,已知M是边长为1的正三角形ABC的边AC上靠近C的四等分点,N为AB的中点,则·的值是 ( )
A.- B.-
C. D.
9.(多选题)[2024·福建八县市高一期中] 已知两个非零向量a,b的夹角为θ,本题中我们把向量a,b的叉乘记作:a×b=|a|·|b|·sin θ.则以下说法正确的是 ( )
A.若a×b=0,则a∥b
B.λ(a×b)=(λa)×b
C.若四边形ABCD为平行四边形,则它的面积等于×
D.若a×b=,a·b=1,则|a+b|的最小值为
二、填空题
10.[2024·山东青岛高一期中] 如果|a|=1,|b|=,a·b=1,则|a-b|= .
11.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则a-2b与a的夹角θ的余弦值是 .
12.[2024·辽宁本溪高一期中] 如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续,设初始正方形ABCD的边长为2,则·= .
三、解答题
13.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为.
(1)求(2a+b)·(3a-2b);
(2)若(ma+b)⊥(a+2b),(a-nb)∥(2a+6b),m,n∈R,求m-n的值.
14.如图,在梯形ABCD中,AB=4,AD=3,CD=2,=2,O为AC与BM的交点.
(1)若∠BAD=60°,求·;
(2)若·=-3,求cos∠AOB.
15.[2024·温州中学高一期中] 已知|a|=1,|b|=2,|c|=3且a·b=,则|a+b+c|的最大值为 ( )
A. B.5
C. D.6
16.设多边形P1P2…P2024是半径为1的圆O的内接正2024边形,M是圆O上的动点.
(1)求|+++…+-|的取值范围.
(2)试探究||2+||2+…+||2是否为定值 若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.