9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
【课前预习】
知识点一
1.不共线 λ1e1+λ2e2 2.不共线
3.λ1e1+λ2e2 正交分解
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.解:表示形式是唯一的.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)BCD [解析] (1)∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),∴3e1-2e2和4e2-6e1共线,∴3e1-2e2,4e2-6e1不能作为一组基底.故选B.
(2)只要是平面内的一对不共线的向量,就可构成该平面内的一组基底,所以A不正确,B,D正确;因为零向量与任意向量平行,所以C正确.故选BCD.
变式 (1)B [解析] ①与不共线;②=-,则与共线;③与不共线;④=-,则与共线.由基底的概念知,只有不共线的两个向量才能作为平面内的一组基底,故①③符合题意.故选B.
(2)解:假设存在实数λ,使得c=λd,则2a-b=λ(3a-2b),
即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.∵a,b不共线,
∴该方程组无解,从而c,d不共线,
∴c,d能作为一组基底.
探究点二
例2 解:在四边形ADMN中,+++=0,即b+a++=0,所以=b-a.
变式 解:因为=2,所以-=2(-),则=+.
设=λ=+,所以=+,
又P,A,E三点共线,所以+=1,解得λ=,所以=+.
拓展 C [解析] ∵=x,=y,∴=,=.∵G为△ABC的重心,∴=(+)==+,∵M,G,N三点共线,∴+=1,则+=3.故选C.
探究点三
例3 解:设=a,=b,则=a,=b.
∵P,N,Q三点共线,∴可设=α+(1-α)=(1-α)a+αb.
∵=a+b,与共线,∴可设=k,
∴(1-α)a+αb=ka+kb,∴解得∴=,则AM∶AN=23∶12.
变式 解:因为=+,所以-=+,所以2=.又E为线段BC的中点,所以=+=+(+)=++=+,所以λ=,μ=,所以λ+μ=+=.
拓展 证明:如图,设P为△ABC内一点.令=a,=b,=c,
则=b-a,=c-b,=a-c.
当⊥,⊥时,有a·(c-b)=0,b·(a-c)=0,
即a·c-a·b=0①,b·a-b·c=0②.
①+②得a·c-b·c=0,即c·(a-b)=0,所以·=0,可得⊥,即P为三条高线的交点.9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
1.B [解析] 由题图可知,与共线,与共线,与共线,均不能作为基底,与不共线,可作为一组基底.故选B.
2.C [解析] 由题图易知a-b=e1-3e2.
3.D [解析] 若a与b共线,则存在实数m,使a=mb,即e1+λe2=2me1,所以(2m-1)e1=λe2,所以a与b共线的充要条件为λ=0或e1∥e2,故选D.
4.A [解析] ==(+)=(+)=3e1+2e2.
5.B [解析] ∵a+b=e1-2e2+2e1+e2=3e1-e2,∴c=6e1-2e2=2(3e1-e2)=2(a+b),∴a+b与c共线,故选B.
6.D [解析] ∵=λ(λ∈R,λ≠-1),∴-=λ(-),∴(1+λ)=+λ,∴=+=a+b.
7.B [解析] 由题可得=+=+=+(++)=+=+.故选B.
8.BD [解析] 对于A,因为2e1-e2=-(-4e1+2e2),所以2e1-e2,-4e1+2e2共线,不能作为一组基底;对于B,2e1-e2,2e2不共线,能作为一组基底;对于C,因为e1-e2=(2e1-2e2),所以e1-e2,2e1-2e2共线,故不能作为一组基底;对于D,e1-e2,e1+e2不共线,能作为一组基底.故选BD.
9.B [解析] 因为点D在线段BC上,所以存在t∈R,使=t=t(-),因为M是线段AD的中点,所以=(+)=(-+t-t)=-(t+1)+t.又=λ+μ,所以λ=-(t+1),μ=t,所以λ+μ=-.故选B.
10.2a-2b [解析] 设c=λa+μb(λ,μ∈R),则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,所以解得故c=2a-2b.
11.-8 [解析] ∵=a+3b,=2a-b,∴=+=-a-3b+2a-b=a-4b.又=2a+kb,且A,B,D三点共线,∴一定存在实数λ,使=λ,∴2a+kb=λ(a-4b),∴∴k=-8.
12. [解析] 连接AD,因为=,所以D为BC的中点,所以=+,因为G是△ABC的重心,所以G在线段AD上,且=,所以==+,所以x=y=,所以x+y=.
13.解:(1)证明:假设a,b共线,则存在k∈R,使a=kb,即e1-2e2=k(e1+3e2),整理得(1-k)e1=(2+3k)e2,
因为e1与e2不共线,所以此方程组无解,所以假设不成立,所以a,b不共线,故a,b可以作为一组基底.
(2)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,因为e1与e2不共线,所以解得
14.解:如图,连接FD.
∵DC∥AB,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,∴DC∥FB,且DC=FB,∴四边形DCBF为平行四边形.依题意得,===b,==-=-=a-b,=-=--=--=--×b=b-a.
15.BD [解析] 由+2=0,=2可知,点P为AC上靠近C的三等分点,点Q 为AB延长线上的点,且B为AQ的中点.对于A,因为点P为AC的三等分点,点B为AQ的中点,所以PB与CQ不平行,故A错误; 对于B,=+=+=+(-)=+,故B正确;对于C,·=||||cos π=-||||<0,故C错误;对于D,设△ABC的边AB上的高为h,则S△ABC=|AB|h=3,即|AB|h=6,所以△APQ的面积S=|AQ|·h=·2|AB|·h=×6=4,故D正确.故选BD.
16.解:(1)因为C,M,B三点共线,D,M,A三点共线,所以存在s,t∈R,使=s+(1-s)=s+,=t+(1-t)=+(1-t),
所以解得所以=a+b.
(2)因为E,M,F三点共线,所以存在k∈R,使=k+(1-k),
由(1)知=a+b=+,所以+=1,所以+=7.9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
【学习目标】
了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单数学问题.
◆ 知识点一 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个 的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= .
2.基底:我们把两个 的向量e1,e2叫作这个平面的一组基底.
3.正交分解:平面内任一向量a可以用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称
为向量a 的分解,当e1,e2所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量a的 .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一个平面只有一组基底. ( )
(2)只有不共线的两个向量才可以作为一组基底. ( )
(3)平面的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的分解也是唯一确定的. ( )
(4)若e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量. ( )
2.平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2(e1,e2为平面的一组确定的基底)的形式,这种表示形式是唯一的吗
◆ 知识点二 平面向量基本定理的应用
1.平面向量基本定理唯一性的应用:
设a,b是同一平面内的两个不共线向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则
2.重要结论:设e1,e2是平面的一组基底,且a=λ1e1+λ2e2.
①当λ2=0时,a与e1共线;
②当λ1=0时,a与e2共线;
③当λ1=λ2=0时,a=0.
◆ 探究点一 对基底概念的理解
例1 (1)设e1,e2是平面的一组基底,则下列四组向量中不能作为一组基底的是 ( )
A.e1+e2,e1-e2
B.3e1-2e2,4e2-6e1
C.e1+2e2,e2+2e1
D.e2,e2+e1
(2)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.一个平面内只有一对不共线向量可构成该平面内的基底
B.一个平面内有无数对不共线向量可构成表示该平面内的基底
C.零向量不可作为基底中的向量
D.一对不共线的单位向量可构成该平面内的一组基底
变式 (1)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,给出下列四组向量:
①,;②,;③,;④,.
其中能作为平行四边形所在平面的一组基底的是 ( )
A.①② B.①③
C.①④ D.③④
(2)设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否作为一组基底.
[素养小结]
判断两个向量是否能作为一组基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么该平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.
◆ 探究点二 用基底表示向量
例2 如图所示,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点.已知=a,=b,用a,b表示.
变式 如图,在△ABC中,E是边BC的中点,点D在边AB上,且满足=2,AE与CD交于点P.试用,表示和.
[素养小结]
解决用已知向量表示其他向量的问题的关键是正确利用向量的加法、减法及数乘的几何意义.
(1)若题目中已给出了基底,求解此类问题时,常利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则,结合数乘运算找到所求向量与基底的关系.
(2)若题目中没有给出基底,常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两个不共线向量作为基底,然后用上述方法求解.
拓展 已知点G为△ABC的重心,过点G作一条直线与边AB,AC分别交于M,N,若=x,=y,x,y∈(0,1),则+= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
◆ 探究点三 平面向量基本定理的应用
例3 如图所示,在△ABC中,P,Q分别是边AB,AC上的点,中线AM与PQ交于点N,若AB∶AP=5∶2,AC∶AQ=4∶3,求AM∶AN的值.
变式 如图,A,B,C,D为平面内的四个点,=+,E为线段BC的中点,若=λ+μ,求λ+μ的值.
[素养小结]
利用平面向量的线性运算以及平面向量基本定理处理平面几何的有关问题时,要充分利用共线、垂直的充要条件.
拓展 用向量法证明三角形的三条高交于一点.9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
一、选择题
1.如图所示,点O为正六边形ABCDEF的中心,则下面的四组向量中能作为一组基底的是 ( )
A., B.,
C., D.,
2.如图所示,向量a-b用向量e1,e2表示为 ( )
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
3.已知向量e1,e2,且e1≠0,a=e1+λe2(λ∈R),b=2e1,则向量a与b共线的充要条件为 ( )
A.λ=0 B.e2=0
C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0
4.如图所示,已知非零向量e1,e2,在矩形ABCD中,BD与AC交于点O,若=6e1,=4e2,则= ( )
A.3e1+2e2
B.3e1-2e2
C.2e1+3e2
D.2e1-3e2
5.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,c=6e1-2e2,其中e1,e2为不共线的向量,则a+b与c的关系是 ( )
A.不共线 B.共线
C.相等 D.不确定
6.若O,P,P1,P2在同一平面内,且=a,=b,=λ(λ∈R,λ≠-1),则=( )
A.a+λb B.λa+(1-λ)b
C.λa+b D.a+b
7.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD=3AD,E为边CD上靠近点D的三等分点,F为边BC的中点,则= ( )
A.-+
B.+
C.+
D.-
8.(多选题)设e1,e2是平面内的一组基底,则下面的四组向量中能作为一组基底的是 ( )
A.2e1-e2和-4e1+2e2
B.2e1-e2和2e2
C.e1-e2和2e1-2e2
D.e1-e2和e1+e2
9.如图所示,在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使=λ+μ,则λ+μ= ( )
A.-1 B.-
C.-2 D.-
二、填空题
10.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量),则c=
(用a,b表示).
11.已知a,b是两个不共线的向量,=2a+kb,=a+3b,=2a-b,若A,B,D三点共线,则实数k= .
12.已知G是△ABC的重心,点D在BC上,且满足=,若=x+y(x,y∈R),则x+y= .
三、解答题
13.设e1,e2是不共线的向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以作为一组基底;
(2)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
14.在梯形ABCD中,AB∥DC,且AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设=a,=b,试用a,b表示,,.
15.(多选题)已知△ABC的面积为3,点P,Q在△ABC所在的平面内,且满足+2=0,=2,记△APQ的面积为S,则下列说法正确的是 ( )
A.∥
B.=+
C.·>0
D.S=4
16.如图,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用a,b表示向量;
(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,若=λ,=μ,求+的值.(共32张PPT)
9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.1 平面向量基本定理
探究点一 对基底概念的理解
探究点二 用基底表示向量
探究点三 平面向量基本定理的应用
【学习目标】
了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简
单数学问题.
知识点一 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果, 是同一平面内两个________的向量,那
么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使
____________.
不共线
2.基底:我们把两个________的向量, 叫作这个平面的一组基底.
不共线
3.正交分解：平面内任一向量可以用一组基底， 表示成
的形式，我们称____________为向量 的分解，当
,所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量 的__________.
正交分解
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）一个平面只有一组基底.( )
×
（2）只有不共线的两个向量才可以作为一组基底．( )
√
（3）平面的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的分解也是唯
一确定的．( )
√
（4）若，是同一平面内两个不共线的向量，则
（， 为实数）可以表示该平面内所有向量．( )
√
2.平面内任何一个向量都可以表示成（， 为平面的
一组确定的基底）的形式，这种表示形式是唯一的吗？
解：表示形式是唯一的.
知识点二 平面向量基本定理的应用
1.平面向量基本定理唯一性的应用:
设，是同一平面内的两个不共线向量,若 ，
则
2.重要结论：设，是平面的一组基底，且 .
①当时，与 共线；
②当时，与 共线；
③当时， .
探究点一 对基底概念的理解
例1（1） 设, 是平面的一组基底,则下列四组向量中不能作为一
组基底的是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] ,和 共线,
, 不能作为一组基底.故选B.
√
（2）（多选题）下列说法中正确的是( )
A.一个平面内只有一对不共线向量可构成该平面内的基底
B.一个平面内有无数对不共线向量可构成表示该平面内的基底
C.零向量不可作为基底中的向量
D.一对不共线的单位向量可构成该平面内的一组基底
[解析] 只要是平面内的一对不共线的向量,就可构成该平面内的一组
基底,所以A不正确,B,D正确;
因为零向量与任意向量平行,所以C正确.
故选 .
√
√
√
变式（1） 设是平行四边形 两条对角线的交点,给出下列四组
向量:
,;,;,;, .
其中能作为平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
[解析] 与不共线;,则与共线;
与 不共线;,则与 共线.
由基底的概念知,只有不共线的两个向量才能作为平面内的一组基底,
故①③符合题意.故选B.
√
（2）设,不共线,,,试判断, 能否作为一组
基底.
解：假设存在实数 ,使得,
则 ,即.
, 不共线,
该方程组无解,从而, 不共线,
, 能作为一组基底.
［素养小结］
判断两个向量是否能作为一组基底,主要看两向量是否非零且不共线.
此外,一个平面的基底一旦确定,那么该平面内任意一个向量都可以由
这组基底唯一线性表示出来.
探究点二 用基底表示向量
例2 如图所示，四边形 是一个梯形，
，且，，分别是 和
的中点.已知,,用， 表示
.
解：在四边形中，，
即 ，
所以 .
变式 如图，在中，是边的中点，点在边 上，且满足
,与交于点.试用，表示和 .
解：因为 ，所以，
则 .
设 ，
所以 ，
又，，三点共线，所以 ，解得，
所以 .
［素养小结］
解决用已知向量表示其他向量的问题的关键是正确利用向量的加法、
减法及数乘的几何意义.
（1）若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法的
三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底
的关系.
（2）若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点
出发的两个不共线向量作为基底，然后用上述方法求解.
拓展 已知点为的重心，过点作一条直线与边, 分别交
于,，若,,,，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ，，，.
为 的重心，
，
,, 三点共线，，则 .故选C.
√
探究点三 平面向量基本定理的应用
例3 如图所示，在中，，分别是边， 上的点，中线
与交于点，若，，求 的值.
解：设，则 ， .
，，三点共线，
可设 .
，与共线， 可设 ，
，
解得
，则 .
变式 如图，，，， 为平面内的四个点，
，为线段 的中点，若
，求 的值.
解：因为，所以 ，所以.
又为线段的中点，所以，
所以 ，，所以 .
［素养小结］
利用平面向量的线性运算以及平面向量基本定理处理平面几何的有
关问题时，要充分利用共线、垂直的充要条件.
拓展 用向量法证明三角形的三条高交于一点.
证明：如图，设为内一点.令，， ，
则，， .
当，时，有， ，
即， .
得，即 ，
所以，可得，
即 为三条高线的交点.
1.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不共线.
（2）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以构
成基底．
（3）基底给定时，分解形式唯一，，是被，， 唯一确定
的数值．
（4）若，是平面内的一组基底，在该平面内，则当与 共线
时，，当与共线时，，当时， .
（5）因为零向量与任意向量都是共线的，所以零向量不能作为基底
中的向量．
（6）平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的
和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式
是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即 ,且
.
2.结论：向量，，中的三个终点，， 共线的充要条件是
存在实数，，使，且 .
平面向量基本定理的应用
应用平面向量基本定理解决平面几何问题时,关键是选取不共线的一
组向量构成基底,利用这个基底先把相关量表示出来,再解决问题.
解： ，
要使与共线，则存在实数，使 ，即
，
所以可得 .
故存在实数 ， ，且 ，使与 共线.
例1 已知向量，， ，其中
，是不共线的向量，是否存在实数 ， ，使与 共线？
例2 [2024·河北石家庄一中高一期中] 如图，在等腰梯形 中，
与平行,，为线段的中点， 与
交于点，为线段 上的一个动点.
解：由题可得 ，
，
因为为线段的中点，所以 ，
则由得 ，
所以 .
因为，，三点共线，所以存在，且 ，使
，
（1）求 的值；
又，，三点共线，所以 ，解得
，
所以，所以 .
解：由题可设 ，
因为，所以 ，
又 ，
所以可得
因为，所以 ，
（2）设，，，求 的取值范围.
又 ，
所以当时，取得最小值0，
当 时，取得最大值 ，
所以的取值范围为 .
