第2课时 向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和垂直等问题.
◆ 知识点一 向量数量积的坐标表示
1.向量数量积的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.向量垂直的坐标表示:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).若a⊥b,则x1x2+y1y2=0;若x1x2+y1y2=0,则a⊥b.
◆ 知识点二 用坐标表示模、距离、夹角
1.向量的模公式:若a=(x,y),则|a|= .
2.两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||= .
3.向量的夹角公式:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),它们的夹角为θ,
则cos θ== .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若A(1,0),B(0,-1),则||=. ( )
(2)已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则x=2. ( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角. ( )
◆ 探究点一 平面向量数量积的坐标运算
例1 (1)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= ( )
A.12 B.0 C.-3 D.-11
(2)已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形,D是斜边AB的中点,点P在线段CD上,且=3,则·= ( )
A.- B.- C.- D.2
变式1 已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c的坐标.
变式2 在正方形ABCD中,AB=2,P为BC的中点,Q为DC的中点,则·= ;若M为CD上的动点(包括端点),则·的最大值为 .
[素养小结]
有关向量数量积的坐标运算问题,灵活应用基本公式是前提.设向量一般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设向量.通过变式1第(2)问还可验证一般情况下(a·b)c≠a(b·c),即向量运算结合律一般不成立.
◆ 探究点二 两平面向量的夹角、向量模的坐标表示
例2 已知向量a,b满足2a-b=(5,-8),a-2b=(7,-10),求:
(1)|a-b|;
(2)向量a+b与a-b的夹角的余弦值.
变式 (1)[2024·江阴四校高一期中] 已知a=(-2,1),b=(-2,-3),则b在a上的投影向量是 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知a=(,1),b=(m,2),a·b=4,求|b|的值及a与b的夹角θ的余弦值.
[素养小结]
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为:
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积;
(2)利用|a|=求两向量的模;
(3)代入夹角公式求cos θ,并根据θ的范围确定θ的值.
拓展 已知点A(2,0),B(0,2),C(cos α,sin α)(其中0<α<π),O为坐标原点.若|+|=,求:
(1)与的夹角;
(2)点B到直线OC的距离.
◆ 探究点三 向量垂直的坐标形式的应用
例3 已知向量a=(4,-1),b=(-5,2),且(a+b)⊥(ma+b),则m= ( )
A.1 B.-1
C. D.-
变式 已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b垂直,则k的值为 .
[素养小结]
利用坐标表示是把向量垂直的条件代数化,使判定方法更加简捷、运算更加直接,体现了向量问题代数化的思想.第2课时 向量数量积的坐标表示
一、选择题
1.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),则a·b的值为 ( )
A.-4 B.7
C.-6 D.-8
2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
3.已知向量a=(-1,2),b=(2,m),若a⊥b,则实数m= ( )
A.-1 B.1
C.- D.
4.若向量a=(-1,2),b=(2,3),则a在b上的投影向量为 ( )
A.(8,12) B.
C. D.
5.已知A(2,1),B(3,2),C(0,2),则△ABC是 ( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
6.已知向量a=(-2,m),b=(1,-2),c=(m+1,5),m∈R,若a⊥b,则a与b+c的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
7.已知a=(1,-1),b=(λ,1),a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 ( )
A.λ>1
B.λ<1
C.λ<-1
D.λ<-1或-1<λ<1
8.[2024·盐城六校高一期中] 如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量在坐标系xOy中的坐标.在该坐标系中,若=(1,2),=(3,4),则||= ( )
A.5- B.2
C.2 D.4
9.(多选题)[2024·辽宁锦州高一期中] 在△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,点D为边AB上靠近A的三等分点,E为CD的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.=+
B.与的夹角的余弦值为
C.·=-30
D.△AED的面积为8
二、填空题
10.设向量a=(m,2),b=(2,1),若|a+b|2=|a|2+|b|2,则实数m= .
11.已知A(-2,1),B(2,-2),C(3,3),则在上的投影向量的坐标为 .
12.[2024·南通高一期中] 在矩形ABCD中,已知AB=4,AD=2,点P在CD边上,且满足·=6,则·= .
三、解答题
13.已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.
(1)求向量a的坐标;
(2)求向量a与b的夹角.
14.在△ABC中,A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求证:△ABC是直角三角形.
15.(多选题)在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则实数k的值可以是 ( )
A.-1 B.
C. D.
16.在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=AD=1,若点M在线段BD上,求·的最小值.(共36张PPT)
9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.2 向量坐标表示与运算
第2课时 向量数量积的坐标表示
探究点一 平面向量数量积的坐标运算
探究点二 两平面向量的夹角、向量模的
坐标表示
探究点三 向量垂直的坐标形式的应用
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和
垂直等问题.
知识点一 向量数量积的坐标表示
1.向量数量积的坐标表示：若，，则
____________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.向量垂直的坐标表示：设两个非零向量， .
若，则；若，则 .
知识点二 用坐标表示模、距离、夹角
1.向量的模公式：若，则 __________.
2.两点间的距离公式：若，，则
_______________________.
3.向量的夹角公式：设两个非零向量， ，它
们的夹角为 ，则 _ ____________.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若,,则 .( )
√
（2）已知向量,,若,则 .( )
×
[解析] 由，得,解得 .
（3）若两个非零向量的夹角 满足,则两向量的夹角 一
定是钝角.( )
×
探究点一 平面向量数量积的坐标运算
例1（1） 设，，，则
( )
A.12 B.0 C. D.
[解析] ，， ，
又， .
√
（2）已知是腰长为2的等腰直角三角形,是斜边 的中点,点
在线段上,且,则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 如图,以C为坐标原点,, 所在直线分
别为轴、轴,建立平面直角坐标系,
则 , ,.
因为,所以 ,
所以,所以, ,
所以 .故选C.
√
变式1 已知与同向，， .
（1）求 的坐标；
解：设，则，
， .
（2）若，求及 的坐标.
解：， ，
， .
变式2 在正方形中,,为的中点,为 的中点,则
___;若为上的动点（包括端点）,则 的最大值
为___.
1
3
[解析] 如图,以为坐标原点,, 所在直线分别
为轴、轴,建立平面直角坐标系,
则 , ,,
所以 ,
,
所以 .
设,则 ,
所以,
因为 ,所以,所以 的最大值为3.
［素养小结］
有关向量数量积的坐标运算问题，灵活应用基本公式是前提.设向量
一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设
向量.通过变式1第（2）问还可验证一般情况下 ，
即向量运算结合律一般不成立.
探究点二 两平面向量的夹角、向量模的坐标表示
例2 已知向量，满足， ，求：
（1） ；
解：由已知得
.
所以，故 .
（2）向量与 的夹角的余弦值.
解：由已知得
，
则 ，
设与的夹角为 ，
则 .
变式（1） [2024·江阴四校高一期中]已知， ，
则在 上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为,，
所以 , .
设与的夹角为 ，所以在 上的投影
向量是 .故选B.
√
（2）已知，，，求的值及
与的夹角 的余弦值.
解：因为,所以 ，
所以，
所以 .
［素养小结］
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为：
（1）利用向量的坐标求出这两个向量的数量积；
（2）利用 求两向量的模；
（3）代入夹角公式求 ，并根据 的范围确定 的值.
拓展 已知点,,（其中）, 为坐
标原点.若 ，求：
（1）与 的夹角；
解：, ,
,
即, .
又,， .
又,，
,故与 的夹角为 .
（2）点到直线 的距离.
解：点到直线的距离 .
探究点三 向量垂直的坐标形式的应用
例3 已知向量，，且 ，则
( )
A.1 B. C. D.
[解析] 依题意得 ,
.
由于，所以 ，
即，解得 .故选C.
√
变式 已知，，若与垂直，则 的
值为____．
[解析] ，
．
又与 垂直，所以，
即 ，解得 .
［素养小结］
利用坐标表示是把向量垂直的条件代数化，使判定方法更加简捷、
运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想.
1.平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题
向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，
并将数与形紧密结合起来.主要应用有：（1）求两点间的距离
（求向量的模）；（2）求两向量的夹角；（3）证明两向量垂直.
2.向量模的坐标运算的实质
向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距
离,如,则在平面直角坐标系中,一定存在 ,使
,则,即表示点 到原点的距
离.同样,若,,则 ,即
为平面直角坐标系中任意两点间的距离公式,由此可见,向量模的运算
的实质是求平面直角坐标系中两点间的距离.
3.利用平面向量数量积的坐标表示解决问题的几个注意事项
（1）向量垂直的坐标表示 与向量共线的坐标表示
易记错、易混淆,要通过前后联系,类比记忆.
（2）两向量夹角的取值范围容易忽略,要联系平面几何中两直线的夹
角、立体几何中两异面直线所成的角、二面角的平面角的取值范围
去对比记忆.由于向量夹角的取值范围是，故利用
来判断角 时，要注意有两种情况，一是 是钝角，二是
，也有两种情况，一是 是锐角，二是 .
（3）两向量的数量积和数的乘法容易混淆,如非零向量,, 一般不
满足 .
1.与数量积有关的坐标运算
进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题
时通常有两种途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积的运
算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
（1）求 ；
解：由题意得， ，
，
.
例1 [2024·浙江金华高一期中] 已知平面向量，向量 满
足，且与的夹角为 .
（2）若与垂直，求 的值.
解：由与垂直，得 ，
，即 ，
.
2.用平面向量数量积的坐标表示解决求范围问题
当平面向量求范围问题涉及的几何图形中有垂直、动点条件时，一
般建立平面直角坐标系，利用坐标运算，将几何问题代数化，结合
基本不等式、二次函数等知识解决，减少运算.
例2 如图，圆是边长为1的正方形 的外接圆,
是劣弧上一点，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：如图，以A为坐标原点，, 所
在直线分别为， 轴，建立平面直角坐标系，
则,.
设，则 ，
因为，所以.
由题意知，圆 的半径，
因为点在劣弧 上，所以，
所以 的取值范围是 .
方法二：如图，连接,.易知 ，
设 ,，则 .
由已知得,, ，所以
，
所以 .
因为，所以 ，
所以 ，
所以，
故 的取值范围是 .故选C.第2课时 向量数量积的坐标表示
【课前预习】
知识点一
1.x1x2+y1y2
知识点二
1. 2.
3.
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (2)由|a|=|b|,得=,解得x=±2.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)∵a=(1,-2),b=(-3,4),∴a+2b=(-5,6),又c=(3,2),∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3.
(2)如图,以C为坐标原点,CB,CA所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,2),B(2,0),D(1,1).因为=3,所以=,所以P,所以=,=,所以·=-×+×=-.故选C.
变式1 解:(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),则a·b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4).
(2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,a·b=10,
∴a(b·c)=0=(0,0),(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).
变式2 1 3 [解析] 如图,以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则P(1,2),Q(2,1),C(2,2),所以=(2,1)-(1,2)=(1,-1),=(2,2)-(1,2)=(1,0),所以·=1×1+(-1)×0=1.设M(2,t)(t∈[0,2]),则=(2,t)-(1,2)=(1,t-2),所以·=1×1+(-1)×(t-2)=3-t,因为t∈[0,2],所以3-t∈[1,3],所以·的最大值为3.
探究点二
例2 解:(1)由已知得3(a-b)=(2a-b)+(a-2b)=(5+7,-8-10)=(12,-18).
所以a-b=(4,-6),故|a-b|==2.
(2)由已知得a+b=(2a-b)-(a-2b)=(5-7,-8+10)=(-2,2),则|a+b|==2,
设a+b与a-b的夹角为θ,则cos θ===-.
变式 (1)B [解析] 因为a=(-2,1),b=(-2,-3),所以a·b=4-3=1,|a|==.设a与b的夹角为θ,所以b在a上的投影向量是|b|cos θ·=a=(-2,1)=.故选B.
(2)解:因为a·b=(,1)·(m,2)=m+2=4,所以m=2,所以|b|==4,所以cos θ===.
拓展 解:(1)∵+=(2+cos α,sin α),|+|=,
∴(2+cos α)2+sin2α=7,
即4+4cos α+cos2α+sin2α=7,∴cos α=.
又α∈(0,π),∴sin α=,∴=.
又=(0,2),∴cos∠BOC==,∴∠BOC=,故与的夹角为.
(2)点B到直线OC的距离d=||sin∠BOC=2×=1.
探究点三
例3 C [解析] 依题意得a+b=(-1,1),ma+b=(4m,-m)+(-5,2)=(4m-5,2-m).由于(a+b)⊥(ma+b),所以(-1,1)·(4m-5,2-m)=0,即5-4m+2-m=7-5m=0,解得m=.故选C.
变式 19 [解析] ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).又ka+b与a-3b垂直,所以(ka+b)·(a-3b)=0,即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,解得k=19.第2课时 向量数量积的坐标表示
1.D [解析] ∵a=(3,-2),b=(-2,1),∴a·b=-6-2=-8.故选D.
2.B [解析] 设a与b的夹角为θ,由题意得|a|=,|b|=,a·b=3+2=5,
∴cos θ===.又∵θ∈[0,π],∴a与b的夹角为.
3.B [解析] 因为a⊥b,所以-1×2+2m=0,解得m=1.故选B.
4.C [解析] 因为a=(-1,2),b=(2,3),所以a·b=-1×2+2×3=4,|b|==,所以a在b上的投影向量为×=×=.故选C.
5.C [解析] 根据已知得=(1,1),=(-2,1),=(-3,0),因为·=-2+1=-1<0,所以∠BAC是一个钝角,故△ABC为钝角三角形.故选C.
6.D [解析] 因为a⊥b,a=(-2,m),b=(1,-2),所以-2×1+(-2)×m=0,解得m=-1,所以a=(-2,-1),c=(0,5),所以 b+c=(1,3),设a与b+c的夹角为θ,则cos θ====-,因为θ∈[0,π],所以θ=,故选D.
7.D [解析] 由题意得a·b=λ-1<0,解得λ<1.∵a与b的夹角不能为180°,
∴(λ,1)≠t(-1,1)(t∈R),∴λ≠-1,综上,λ的取值范围是λ<-1或-1<λ<1.
8.C [解析] 依题意得,|e1|=|e2|=1,e1·e2=cos 60°=.=e1+2e2,=3e1+4e2,则=-=(3e1+4e2)-(e1+2e2)=2e1+2e2,则||2=(2e1+2e2)2=4+8e1·e2+4=4+8×+4=12,故||=2.故选C.
9.AC [解析] 对于A,∵E为CD的中点,∴=(+)==+,A正确;对于B,以A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),C(0,8),D(2,0),E(1,4),∴=(1,4),=(1,-4),
∴cos<,>===-,即与的夹角的余弦值为-,B错误;对于C,∵=(1,4),=(2,-8),∴·=1×2+4×(-8)=-30,C正确;对于D,S△AED=×2×4=4,D错误.故选AC.
10.-1 [解析] 方法一:由a=(m,2),b=(2,1),得a+b=(m+2,3),由|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+2)2+9=m2+22+5,解得m=-1.
方法二:由|a+b|2=|a|2+|b|2结合向量加法的三角形法则可知向量a⊥b,又a=(m,2),b=(2,1),所以a·b=2m+2=0,解得m=-1.
11. [解析] 由题意得=(5,2),=(4,-3),则·=(5,2)·(4,-3)=14,||==5,故在上的投影向量为·=·=.
12. [解析] 以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2),设P(x,2),0≤x≤4,则=(x,2),=(4,0),所以·=4x=6,解得x=,所以=,因为=,所以·=-+4=.
13.解:(1)设a=(x,y),则2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),因为|a|=,所以=①.
又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0②,由①②解得或所以a=(1,2)或a=(-2,1).
(2)设向量a与b的夹角为θ,则当a=(1,2)时,cos θ===-;当a=(-2,1)时,cos θ===-.
综上,cos θ=-.
因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=.
14.证明:∵=(1,1),=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥,∴△ABC是直角三角形.
15.BCD [解析] ∵=(2,3),=(1,k),∴=-=(-1,k-3).若∠A为直角,则AB⊥AC,即·=0,∴2+3k=0,解得k=-.若∠B为直角,则BC⊥AB,即·=0,∴-2+3k-9=0,解得k=.若∠C为直角,则BC⊥AC,即·=0,∴-1+k(k-3)=0,解得k=.综上所述,k的值可能为-,,,.故选BCD.
16.解:以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,1),C(1,1),设M的坐标为(x,y),0≤x≤2,0≤y≤1,且=λ,0≤λ≤1,
所以(x-2,y)=λ(-2,1),可得M(2-2λ,λ).
所以=(2-2λ,λ),=(1-2λ,λ-1),所以·=(2-2λ,λ)·(1-2λ,λ-1),=5λ2-7λ+2=5-,易知当λ=时,·取得最小值-.
