9.3.3 向量平行的坐标表示
【课前预习】
知识点
x1y2-x2y1=0
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D [解析] 对于A,4×3-(-2)×6=24≠0,故a与b不平行;对于B,3×3-2×2=5≠0,故a与b不平行;对于C,1×14-7×(-2)=28≠0,故a与b不平行;对于D,2×6-(-4)×(-3)=0,故a∥b.故选D.
(2)解:=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
方法一:∵(-2)×(-6)-3×4=0,∴与共线,通过观察可知,与方向相反.
方法二:∵=-2,∴与共线且方向相反.
变式 解:(1)因为a=(1,0),b=(2,1),
所以a+3b=(1,0)+(6,3)=(7,3).
(2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3),
因为ka-b与a+3b平行,
所以3(k-2)+7=0,解得k=-,
所以ka-b=,a+3b=-3(ka-b),
所以当k=-时,ka-b与a+3b平行,方向相反.
探究点二
例2 解:∵A,B,C三点共线, ∴∥,
∵=2a+b=(10,10),=a+μb=(3+4μ,4+2μ),
∴10(4+2μ)-10(3+4μ)=0,解得μ=.
变式 解:(1)由题可知,=(x,1),=(4,x).因为,共线,所以x2-4=0,解得x=±2,所以当x=±2时,向量,共线.
(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),因为6×1-(-3)×(-2)=0,所以∥,此时A,B,C三点共线.
又∥,所以当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.当x=2时,=(-2,1),=(2,1),因为(-2)×1-1×2=-4≠0,所以A,B,C三点不共线,所以A,B,C,D四点不共线.
拓展 解:由题意知A,B,C三点不共线,即向量与不共线,又向量=(1,3),=(m-2,2m+2),所以2m+2≠3m-6,解得m≠8,故实数m满足的条件是m≠8.
探究点三
例3 证明:由已知得=(4,3)-(1,0)=(3,3),=(0,2)-(2,4)=(-2,-2),
∵3×(-2)-3×(-2)=0,∴与共线且方向相反.
=(0,2)-(1,0)=(-1,2),=(2,4)-(4,3)=(-2,1),∵(-1)×1-2×(-2)≠0,∴与不共线,
∴四边形ABCD是梯形.
变式 解:(1)设D(x,y),由=,得(1-x,3-y)=(1,1),解得x=0,y=2,∴第四个顶点D的坐标为(0,2).
(2)∵A(1,1),B(2,2),C(1,3),D(0,2),∴||=2,||=2,∴菱形ABCD的面积S=||·||=×2×2=2.9.3.3 向量平行的坐标表示
1.D [解析] 对于选项A,因为e1=0,可知e1∥e2,所以e1,e2不可以作为基底,故A错误;对于选项B,因为e1=-e2,可知e1∥e2,所以e1,e2不可以作为基底,故B错误;对于选项C,因为e2=2e1,可知e1∥e2,所以e1,e2不可以作为基底,故C错误;对于选项D,显然e1,e2均不为零向量,假设e1∥e2,则e2=λe1=(-λ,2λ),λ∈R,可得方程组无解,即假设不成立,所以e1,e2不共线,所以e1,e2可以作为基底,故D正确.故选D.
2.A [解析] 由a∥b知m+n=0.故选A.
3.B [解析] 因为a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,所以m+4=0,得m=-4,则2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故选B.
4.B [解析] 由A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,知=(a-2,-2),=(-2,b-2),∥,所以(a-2)(b-2)=4,可得ab-2a-2b=0,即1--=0,所以+=.故选B.
5.D [解析] 由已知得ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),又因为ma+4b与a-2b共线,所以有-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.故选D.
6.D [解析] 因为向量a=(1,2),b=(cos θ,sin θ),且向量a与b平行,所以1·sin θ-2·cos θ=0,即tan θ=2.故选D.
7.B [解析] 因为=(1,-1),=(2,-2),=(-2,-2),=(3,1),所以=2,·=-2+2=0,·=-4+4=0,||==2≠||=,所以AB⊥BC,CD⊥BC,BC≠AD,AB∥CD,所以四边形ABCD为直角梯形.故选B.
8.C [解析] =-=(1-k,2k-2),=-=(-k,-1-2k),由已知得∥,即(1-k)(-1-2k)=(2k-2)·(-k),解得k=1或k=-,当k=1时,==(1,2),即A,B两点重合,与已知矛盾.当k=-时,=,=,=,A,B,C是相异三点.综上,k=-.故选C.
9.A [解析] 设C(x,y),则=(x,y),因为A(1,1),B(0,-2),所以=(1,1),=(-1,-3),因为·=2,∥,所以解得所以点C的坐标为.故选A.
10.-6 [解析] 因为a∥b,所以-2m-12=0,解得m=-6.
11.-2 [解析] ∵a+b=(2,4),c=(-1,λ),(a+b)∥c,∴2λ+4=0,∴λ=-2.
12.(4,-8)或(-4,8) [解析] ∵b与a共线,∴可设b=λa=(λ,-2λ),又∵|b|=4|a|,∴=4×,解得λ=±4,∴b=(4,-8)或(-4,8).
13.解:方法一:若A,B,C三点共线,则,共线,则存在实数λ,使得=λ,因为=-=(4-k,-7),=-=(10-k,k-12).
所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12).
即解得k=-2或k=11.
所以当k=-2或11时,A,B,C三点共线.
方法二:由题意知,共线,
因为=-=(4-k,-7),=-=(10-k,k-12),所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,
所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.
所以当k=-2或11时,A,B,C三点共线.
14.解:(1)因为x,y平行,所以设x=ty,
所以ka-3b=t(a+b),即(k-t)a=(t+3)b.
因为a=(-1,3),b=(4,2),所以a与b不共线,
所以k-t=t+3=0,得k=t=-3.
(2)因为向量x与y的夹角为钝角,所以x·y<0,
因为向量x=ka-3b和y=a+b,其中a=(-1,3),b=(4,2),所以x=(-k-12,3k-6),y=(3,5),所以 3(-k-12)+5(3k-6)<0,解得k<,又因为向量x与y不共线,所以由(1)可知k≠-3,所以k<且k≠-3.
15.C [解析] 由题知,=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),∵A,B,C三点共线,∴可设=λ且λ∈R,则可得2a+b=1,∴+=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时等号成立.∴+的最小值为8.故选C.
16.解:(1)因为点A,B,C不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,所以∥.
因为=-=(3,1),=-=(2-m,1-m),所以3×(1-m)=1×(2-m),解得m=,
所以若点A,B,C不能构成三角形,则m=.
(2)若点A,B,C构成的三角形为直角三角形,则有三种情况:
①若A为直角,此时AB⊥AC,则⊥,即·=0,可得3×(2-m)+1×(1-m)=0,所以m=.
②若B为直角,此时AB⊥BC,则⊥,即·=0,又=-=(-1-m,-m),所以3×(-1-m)+1×(-m)=0,所以m=-.
③若C为直角,此时BC⊥AC,则⊥,即·=0,可得(-1-m)×(2-m)+(-m)×(1-m)=0,解得m=.
综上,若点A,B,C构成的三角形为直角三角形,则m=或m=-或m=.9.3.3 向量平行的坐标表示
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量共线的条件.
2.能根据向量的坐标判断向量是否共线.
3.掌握三点共线的坐标的判断方法.
◆ 知识点 向量平行的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),则a∥b .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则由a∥b能推出=. ( )
(2)向量a=(1,2)与向量b=(4,8)共线. ( )
(3)向量a=(2,3)与向量b=(-4,-6)方向相反. ( )
◆ 探究点一 向量平行的判断
例1 (1)下列各组的两个向量,平行的是 ( )
A.a=(4,6),b=(-2,3)
B.a=(3,2),b=(2,3)
C.a=(1,-2),b=(7,14)
D.a=(2,-3),b=(-4,6)
(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),则与是否共线 如果共线,它们的方向是相同还是相反
变式 已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)求a+3b的坐标.
(2)当k为何实数时,ka-b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向
[素养小结]
(1)两个向量平行的充要条件极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减.
(2)根据向量共线的充要条件求参数问题一般有两种思路,一是利用向量共线定理列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解.
◆ 探究点二 三点共线问题
例2 已知向量a=(3,4),b=(4,2).若=2a+b,=a+μb,且A,B,C三点共线,求μ的值.
变式 已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x,使向量,共线.
(2)当∥时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上
[素养小结]
三点共线问题的实质是向量共线问题,两个非零向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
拓展 已知向量=(2,-1),=(3,2),=(m,2m+1),若A,B,C三点能够作为三角形的三个顶点,求实数m满足的条件.
◆ 探究点三 向量平行坐标运算的应用
例3 已知直角坐标平面上的四点A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),求证:四边形ABCD是梯形.
变式 已知菱形ABCD的三个顶点A(1,1),B(2,2),C(1,3),求:
(1)第四个顶点D的坐标;
(2)菱形ABCD的面积.
[素养小结]
平面向量共线定理可以解决一些带有平行关系的几何问题,要注意符合本身的几何性质.9.3.3 向量平行的坐标表示
一、选择题
1.[2024·四川宜宾高一期末] 下列各组向量中,可以作为基底的是 ( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(1,2),e2=(-1,-2)
C.e1=(-3,5),e2=(-6,10)
D.e1=(-1,2),e2=(5,7)
2.已知m,n∈R,向量a=(2m+1,m+n)与b=(-2,0)平行,则m,n满足的条件是 ( )
A.m+n=0
B.m-n=0
C.-m+n=0
D.m+n=1
3.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a与b共线,则2a+3b= ( )
A.(-5,-10) B.(-4,-8)
C.(-3,-6) D.(-2,-4)
4.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则+的值为 ( )
A.1 B.
C. D.
5.[2024·盐城六校高一期中] 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为 ( )
A. B.2
C.- D.-2
6.已知向量a=(1,2),b=(cos θ,sin θ),且向量a与b平行,则tan θ的值为 ( )
A.- B.-2 C. D.2
7.平面内顺次连接A(1,1),B(2,0),C(0,-2),D(-2,0)所组成的图形是 ( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
8.已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k等于 ( )
A.1 B.1或-
C.- D.-1或
9.在平面直角坐标系xOy中,A(1,1),B(0,-2),点C满足·=2,∥,则点C的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
10.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= .
11.已知向量a=(-2,1),b=(4,3),c=(-1,λ),若(a+b)∥c,则λ= .
12.向量a=(1,-2),向量b与a共线,且|b|=4|a|,则b= .
三、解答题
13.设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线
14.已知向量x=ka-3b和y=a+b,其中a=(-1,3),b=(4,2),k∈R.
(1)当k为何值时,x,y平行
(2)若向量x与y的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
15.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为 ( )
A.4 B.6
C.8 D.9
16.[2024·盐城六校高一期中] 已知=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求m的值;
(2)若点A,B,C构成的三角形为直角三角形,求m的值.(共29张PPT)
9.3 向量基本定理及坐标表示
9.3.3 向量平行的坐标表示
探究点一 向量平行的判断
探究点二 三点共线问题
探究点三 向量平行坐标运算的应用
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量共线的条件.
2.能根据向量的坐标判断向量是否共线.
3.掌握三点共线的坐标的判断方法.
知识点 向量平行的坐标表示
设向量,,则 _______________.
【诊断分析】 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）设,,则由能推出 .( )
×
（2）向量与向量 共线.( )
√
（3）向量与向量 方向相反.( )
√
探究点一 向量平行的判断
例1（1） 下列各组的两个向量，平行的是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 对于A，，故与 不平行；
对于B，，故与 不平行；
对于C，，故与 不平行；
对于D，，故 .故选D.
√
（2）已知，，，，则与 是否共线？
如果共线，它们的方向是相同还是相反？
解：， .
方法一：，与 共线,
通过观察可知，与 方向相反.
方法二：，与 共线且方向相反.
变式 已知， ．
（1）求 的坐标．
解：因为， ，
所以 ．
（2）当为何实数时，与 平行，平行时它们是同向还
是反向？
解：， ，
因为与 平行，
所以，解得 ，
所以， ，
所以当时，与 平行，方向相反．
［素养小结］
（1）两个向量平行的充要条件极易写错，如写成 或
都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记
为：纵横交错积相减.
（2）根据向量共线的充要条件求参数问题一般有两种思路，一是利
用向量共线定理列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式
求解.
探究点二 三点共线问题
例2 已知向量，.若， ，
且,,三点共线，求 的值.
解：,,三点共线， ，
， ，
，解得 .
变式 已知四点，，， ．
（1）求实数，使向量， 共线.
解：由题可知，，．
因为， 共线，所以，解得，
所以当时，向量， 共线．
（2）当时，，，， 四点是否在同一条直线上？
解：当时，， ，
因为,所以，此时，， 三点共线.
又，所以当时，，，， 四点在同一条直线上．
当时，, ,
因为,所以,,三点不共线,
所以，，， 四点不共线．
［素养小结］
三点共线问题的实质是向量共线问题,两个非零向量共线只需满足方
向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.
拓展 已知向量,,,若,,
三点能够作为三角形的三个顶点,求实数 满足的条件.
解：由题意知,,三点不共线,即向量与 不共线,
又向量,,所以,
解得 ,
故实数满足的条件是 .
探究点三 向量平行坐标运算的应用
例3 已知直角坐标平面上的四点,,, ,求证:四
边形 是梯形.
证明:由已知得 ,
,
,与 共线且方向相反.
, ,
,与 不共线,
四边形 是梯形.
变式 已知菱形的三个顶点，， ，求：
（1）第四个顶点 的坐标；
解：设，由，得，
解得 ，，
第四个顶点的坐标为 .
（2）菱形 的面积.
解：，，，，, ，
菱形的面积 .
［素养小结］
平面向量共线定理可以解决一些带有平行关系的几何问题，要注意
符合本身的几何性质.
平面向量平行（共线）的充要条件的两种形式
（1）平面向量平行（共线）的充要条件的非坐标形式:
， .
（2）平面向量平行的充要条件的坐标形式:若 ,
，，则 .
至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标
的用（2）.这是代数运算，用它解决平面向量平行（共线）问题的优
点在于不需要引入参数“ ”，从而减少了未知数的个数，而且它使
问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.当 时，
，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现
搭配错误.公式无条件 的限制，便于记忆；
公式有条件 的限制，但不易出错.所以我们可以记比
例式，但在解题时改写成乘积的形式.乘积形式可总结为:“相异坐标
的乘积的差为0”.
1.向量共线坐标表示的应用
应用向量共线坐标表示解决共线求参问题要关注共线同向和反向两
种情况，也要关注公式应用的限制.
例1（1） 已知向量，，若与 共线且反
向，则实数 的值为( )
A.4 B.2 C. D. 或4
[解析] 由向量，共线，得 ，
解得或.
当时，，， 与同向，不符合题意；
当时，，，与 反向，符合题意，
所以实数 的值为4.故选A.
√
（2）已知向量，，若与 共线，则实
数 的值为( )
A. B.1 C. D.0
[解析] 向量，， ，
.
当，即时， ，
，满足与共线.
当时，由 与共线，可得，.
综上所述， ，故选C.
√
2.应用向量共线解决几何中的坐标问题
当两个向量用坐标表示时,即, ,则
,而不能盲目使用 .
例2 如图所示，在四边形 中，已知点
，，，求和 的交点
的坐标．
解：方法一：因为，， 三点共线，
所以存在，且 ，使 ，
则 ， ．
由与 共线得 ，
解得，
所以 ，所以点的坐标为 ．
方法二：设，则 ，
因为 ，且与共线，
所以，即 .
因为，，
且与 共线，
所以 ，
联立①②解得 ，
所以点的坐标为 ．
