9.4 向量应用
【课前预习】
知识点一
1.既有大小又有方向 三角形和平行四边形
诊断分析
解:在给出答案时还要考虑所给出的结果是否满足实际意义.
知识点二
1.a=λb x1y2-x2y1=0
2.a·b=0 x1x2+y1y2=0
3.(|a||b|≠0)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:建立如图所示的平面直角坐标系,
则F1=(-|F1|,0),F2=(0,-|F2|).又由已知可得G=(100sin 30°,100cos 30°)=(50,50),且G+F1+F2=0,所以(50,50)+(-|F1|,0)+(0,-|F2|)=(0,0),所以|F1|=50 N,|F2|=50 N.
变式 解:当合速度的方向垂直于河岸时,此船渡过该河的位移最小,
如图所示,水流的速度为,则||=4,船的速度为,则||=5,合速度为,合速度的大小为||,
则+=,且AB⊥AC,
设船速与合速度的夹角为θ,则sin θ==,
此时||==3,故渡河时间t==100(s),故此船渡过该河的位移最小时,需要100 s才能从此岸到达彼岸.
拓展 AB [解析] 对于A,船的航行时间t==(h),若要船的航行时间最短,则sin θ最大,也就是说当且仅当θ=90°时,船的航行时间最短,故A正确;对于B,当船的航行距离最短时,v1+v2的方向与河岸垂直,从而cos θ=-cos(π-θ)=-=-=-,故B正确;对于C,当θ=30°时,船的航行时间t==(h)=6(min),故C错误;对于D,由题意设位移分量为s1=v1t,s2=v2t,位移和为s,则s=s1+s2=v1t+v2t=(v1+v2)t,其中t==(h),又因为|v1|=20 km/h,|v2|=4 km/h,v1和v2的夹角为θ=120°, 从而|s|=|v1+v2|t=t=×=(km),故D错误.故选AB.
探究点二
例2 证明:方法一:∵∠CDA=90°,AB∥CD,CD=DA=AB,∴可设=e1,=e2,则|e1|=|e2|,=2e2,=+=e1+e2,
∴=-=(e1+e2)-2e2=e1-e2,
则·=(e1+e2)·(e1-e2)=-=|e1|2-|e2|2=0,∴⊥,即AC⊥BC.
方法二:如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,
设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),
∴=(-1,1),=(1,1),
∴·=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,∴⊥,即AC⊥BC.
变式 D [解析] 分别取AB的中点D,BC的中点E,连接OD,OE,如图所示,则+=2,+=2,由(+)·=0,得2·=0,所以OD⊥AB,所以OD垂直平分线段AB.由(+)·=0,得2·=0,所以OE⊥BC,所以OE垂直平分线段BC,所以点O为△ABC的外心.故选D.
例3 解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0).∵D为AB的中点,∴D,∴=(n,-m),=,则||=,||=,
∴||=||,即CD=AB.
(2)∵E为CD的中点,∴E,∴=.设F(x,0),则=(x,-m).
∵A,E,F三点共线,∴可设=λ,
即(x,-m)=λ,则x=λ,-m=-mλ,
故λ=,x=,∴F,则=,
∴||=,即AF=.
变式 C [解析] 如图,由题意结合中位线定理可得HG∥AC,HG=AC,EF∥AC,EF=AC,∴HG∥EF,HG=EF,∴四边形EFGH为平行四边形.∵=++,∴+=+=+(++)2=++++2·+2·+2·,∴+·+·+·=0,∴·(+)+·(+)=0,∴(+)·=0,即·=0,即⊥,∴BD⊥AC.又HG∥AC,∴BD⊥HG,同理由中位线定理可得HE∥BD,∴HE⊥HG,∴四边形EFGH为矩形.故选C.9.4 向量应用
1.D [解析] 他顺风行驶时的速度的大小为|v1|+|v2|.故选D.
2.D [解析] 由物理知识知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).故选D.
3.C [解析] ∵·=0,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=||||=××2=5.故选C.
4.B [解析] 由|-|-|+-2|=0,可得||=|+-2|,即||=|+|,即|-|=|+|,将等式|-|=|+|两边平方,化简得·=0,∴⊥,即AB⊥AC,因此,△ABC是直角三角形,故选B.
5.A [解析] 设每根绳子的拉力大小为T N,则根据平衡条件可得,8T·cos 30°=mg,解得T==≈1.41,所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近1.4 N.故选A.
6.A [解析] 因为·=||·||·cos∠BOC=2cos∠BOC=-1,所以cos∠BOC=-,所以∠BOC=,所以A=.故选A.
7.C [解析] 由=,可得·=0,所以O在∠CAB的平分线上,又由=,可得·=0,所以O在∠ACB的平分线上,则点O是△ABC的内心,故选C.
8.ABC [解析] 对于A,若四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心,则必有+++=0,但反过来,由+++=0,推不出四边形ABCD为正方形,故A中结论错误.对于B,C,D,设AB,CD的中点分别为E,F,连接OE,OF,由向量加法的平行四边形法则知+=2,+=2,∴+=0,即O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,连接OM,ON,由向量加法的平行四边形法则知+=2,+=2,即O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点,故B,C中结论错误,D中结论正确.故选ABC.
9.ACD [解析] 由题意可知,v=v1+v2,设点A'是河对岸一点,且AA'与河岸垂直,那么当这艘船实际沿AA'方向行驶时,船的航程最短,此时v⊥v2,而船头的方向与v1同向,由v·v2=(v1+v2)·v2=v1·v2+=0,可得v1·v2=-=-4,则cos==-,故A选项中说法错误,B选项中说法正确;|v|=|v1+v2|====2(km/h),故C选项中说法错误;该船到达对岸所需时间为60×=(min),故D选项中说法错误.故选ACD.
10.- [解析] 由||=,可知△ABC为等边三角形,所以∠ACB=60°,故·=-·=-||·||·cos∠ACB=-.
11.17 [解析] 因为A(-1,-2),B(1,1),所以=(2,3),又F=(4,3),故力F对冰球所做的功为W=|F|||cos=F·=2×4+3×3=17(J).
12.b-a [解析] ∵CD平分∠ACB,∴==2,∵=-=b-a,∴==b-a.
13.证明:设=a,=b,则=a+b.
因为=-=-a=b-a,=-=b-=b-a,所以=.又D,E,F,B四点不共线,所以四边形DEBF是平行四边形.
14.解:如图所示,以物体的重心O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),∴F=F1+F2+F3=(1,)+(2,2)+(-3,3)=(2-2,4+2),又∵位移s=(4,4),
∴合力F所做的功W=F·s=4×(2-2)+4×(4+2)=24(J).∴合力F所做的功为24 J.
15.或 [解析] 如图所示,建立以点A为原点的平面直角坐标系,则D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2),设M(x,y),∴=(x,y-6),=(3,-6),∵∥,∴3(y-6)+6x=0,∴2x+y-6=0.∵=(x,y),=(6,2),又∥,∴2x-6y=0.由解得∴M.由题得=(3,2),①当点P在边AB(包含端点)上时,设P(m,0)(0≤m≤6),∴=,∴3m--=0,∴m=,∴P,∴||==;②当点P在边BC(不包含点B,包含点C)上时,设P(6,n)(016.解:(1)如图,以点O为坐标原点,CD所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,当甲到达的中点E时,乙到达的中点F,
则E(-80,30),F(80,30),s甲==(-80,30),s乙==(80,30),
∴s甲·s乙=(-80,30)·(80,30)=-6400+900=-5500.
(2)和的长度均为3×30=90(m),20 s后甲、乙的路程均为20×7=140(m),易知此时甲在点A处,乙在点B处,∴s甲==(-50,60),s乙==(50,60).
设s甲,s乙的夹角为θ,则cos θ===,
故20 s后s甲,s乙的夹角的余弦值为.9.4 向量应用
【学习目标】
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题,以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
◆ 知识点一 向量在物理中的应用
1.向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是 的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的 法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系.
2.用向量法解决物理问题的一般步骤:
①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
③参数的获取:求出数学模型的相关解.
④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.
【诊断分析】 用向量法求解物理问题的过程中,在给出答案时除了要考虑向量本身的意义,还要考虑什么
◆ 知识点二 向量在几何中的应用
1.证明线线平行或三点共线问题,常用向量平行(共线)的充要条件:a∥b(b≠0) (λ∈R) (a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
2.证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:a⊥b (a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
3.求夹角问题,主要应用向量的夹角公式cos θ= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若△ABC为直角三角形,则·=0. ( )
(2)若∥,则AB∥CD. ( )
(3)在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形ABCD为菱形. ( )
◆ 探究点一 向量在物理中的应用
例1 如图所示,把一个物体放在倾角为30°的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力G,沿着斜面向上的摩擦力F1,垂直斜面向上的弹力F2.已知|G|=100 N,求F1,F2的大小.
变式 若渡船在静水中的速度大小为5 m/s,河宽为300 m,水流的速度大小为4 m/s,当此船渡过该河的位移最小时,需要多长时间才能从此岸到达彼岸
[素养小结]
用向量的有关知识研究物理中有关力和速度等问题的基本思路和方法如下:
(1)认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;
(2)通过抽象概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;
(3)利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量问题的解;
(4)利用这个结果,对原物理现象作出解释.
拓展 (多选题)[2024·江苏南通期中] 长江某段南北两岸平行,如图,江面宽度d=1 km.一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=20 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),则 ( )
A.当船的航行时间最短时,θ=90°
B.当船的航行距离最短时,cos θ=-
C.当θ=30°时,船的航行时间为12 min
D.当θ=120°时,船的航行距离为 km
◆ 探究点二 利用向量证明几何问题
角度1 垂直问题
例2 在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.
变式 点O在△ABC所在的平面内,若(+)·=(+)·=0,则O为△ABC的 ( )
A.重心 B.垂心
C.内心 D.外心
角度2 平行(共线)问题
例3 如图,已知在Rt△ABC中,C=90°,AC=m,BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).
变式 已知平面四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,G,H,且AB2+CD2=AD2+BC2,则四边形EFGH一定为 ( )
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.直角梯形
[素养小结]
利用向量可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、长度等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基底表示涉及的向量;另一种思路是建立平面直角坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.9.4 向量应用
一、选择题
1.某人在无风条件下骑自行车的速度为v1,此时风速为v2(|v1|>|v2|),则他顺风行驶时的速度的大小为 ( )
A.v1-v2
B.v1+v2
C.|v1|-|v2|
D.|v1|+|v2|
2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某质点,为使质点保持平衡,再加上一个力F4,则F4= ( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
3.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为 ( )
A. B.2
C.5 D.10
4.[2024·南京金陵中学高一月考] P是△ABC所在平面上一点,满足|-|-|+-2|=0,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
5.[2024·绍兴期末] 如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和竖直向上的向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg,每根绳子的拉力大小相同,则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2)最接近 ( )
A.1.4 N B.1.5 N
C.1.6 N D.1.8 N
6.已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O,半径为,且·=-1,则A= ( )
A. B.
C. D.
7.平面内△ABC及一点O满足=,=,则点O是△ABC的 ( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
8.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则下列结论错误的是 ( )
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
9.(多选题)如图所示,一条河两岸平行,河的宽度为400 m,一艘船从河岸的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=8 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,船的速度与水流速度的合速度为v,那么当航程最短时,下列说法错误的是 ( )
A.船头方向与水流方向垂直
B.cos=-
C.|v|=2 km/h
D.该船到达对岸所需时间为3 min
二、填空题
10.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,若||=,则·= .
11.冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中,以力F=(4,3)(单位:N)作用于冰球,使冰球从点A(-1,-2)移动到点B(1,1),则F对冰球所做的功为 J.
12.[2024·浙南名校高一期中] 在△ABC中,D是AB边上的一点,且CD平分∠ACB,若=a,=b,|b|=2,|a|=1,则= (用向量a,b表示).
三、解答题
13.如图,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=AC.试用向量方法证明四边形DEBF是平行四边形.
14.一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|=6 N,方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功.
15.[2024·盐城五校高一月考] 如图,正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,若点P自A点出发,沿A→B→C→D→A的方向运动到A点,在这个过程中,存在这样的点P,使得EF⊥MP,则此时线段MP的长度为 .
16.如图所示为一段环形跑道,中间的两段AB,CD为直跑道,且AB=CD=100 m,两端均为半径为30 m的半圆形跑道,以A,B,C,D四点为顶点的四边形是矩形.甲、乙两人同时从CD的中点O处开始以7 m/s的速率逆向跑步,甲、乙相对于初始位置点O的位移分别用向量s甲,s乙表示.
(1)当甲到达的中点处时,求s甲·s乙;
(2)求20 s后s甲,s乙的夹角的余弦值(π取3).(共39张PPT)
9.4 向量应用
探究点一 向量在物理中的应用
探究点二 利用向量证明几何问题
【学习目标】
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题,以及其他实
际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
知识点一 向量在物理中的应用
1.向量有着丰富的物理背景，如物理学中的力、速度、加速度都是
__________________的量.力的做功是向量数量积的物理背景；向量
加法的____________________法则与位移的合成、力的合成、速度
的合成有着密切的联系.
既有大小又有方向
三角形和平行四边形
2.用向量法解决物理问题的一般步骤:
①问题的转化：把物理问题转化成数学问题.
②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型.
③参数的获取：求出数学模型的相关解.
④问题的答案：利用建立起来的数学模型，解释和回答相关的物理
现象.
【诊断分析】
用向量法求解物理问题的过程中，在给出答案时除了要考虑向量本
身的意义，还要考虑什么？
解：在给出答案时还要考虑所给出的结果是否满足实际意义.
知识点二 向量在几何中的应用
1.证明线线平行或三点共线问题，常用向量平行（共线）的充要条
件： ________ _______________
2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：_________
_______________ .
3.求夹角问题，主要应用向量的夹角公式 _ _______________.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若为直角三角形,则 .( )
×
（2）若,则 .( )
×
（3）在四边形中,若,,则四边形
为菱形.( )
√
探究点一 向量在物理中的应用
例1 如图所示，把一个物体放在倾角为 的斜面上，物体处于平
衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力 ，
垂直斜面向上的弹力.已知，求, 的大小.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则， .
又由已知可得
，
且 ，
所以，
所以 ， .
变式 若渡船在静水中的速度大小为，河宽为 ，水流的速
度大小为 ，当此船渡过该河的位移最小时，需要多长时间才能
从此岸到达彼岸？
解：当合速度的方向垂直于河岸时，此船渡过该
河的位移最小，如图所示，
水流的速度为 ，则，
船的速度为，则 ，
合速度为，合速度的大小为，则，且 ，
设船速与合速度的夹角为 ，则 ，
此时，故渡河时间 ，
故此船渡过该河的位移最小时，需要 才能从此岸到达彼岸.
［素养小结］
用向量的有关知识研究物理中有关力和速度等问题的基本思路和方
法如下：
（1）认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；
（2）通过抽象概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；
（3）利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；
（4）利用这个结果，对原物理现象作出解释.
拓展 （多选题）[2024·江苏南通期中] 长江某段南北两岸平行，如
图，江面宽度.一艘游船从南岸码头 点出发航行到北岸.已
知游船在静水中的航行速度的大小为 ，水流速度
的大小为.设和的夹角为 ，则
( )
A.当船的航行时间最短时，
B.当船的航行距离最短时，
C.当 时，船的航行时间为
D.当 时，船的航行距离为
√
√
[解析] 对于A，船的航行时间
，
若要船的航行时间最短，则 最大，
也就是说当且仅当 时，船的航行时间最短，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时， 的方向与河岸垂 直，
从而 ，故B正确；
对于C，当 时，船的航行时间 ，故C错误；
对于D，由题意设位移分量为,，位移和为 ，
则 ，其中
，
又因为，，
和的夹角为 ，从而 ，故D错误.故选 .
探究点二 利用向量证明几何问题
角度1 垂直问题
例2 在直角梯形中,, , ,求
证: .
证明:方法一: ,,,
可设,,
则,, ,
,
则 ,
,即 .
方法二:如图,以 为坐标原点,建立平面直角坐标系,
设,则,, ,
, ,
,
,即 .
变式 点在 所在的平面内,若
,则为 的( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
√
[解析] 分别取的中点,的中点,连接, ,如图所示,
则,,
由 ，得,
所以,所以垂直平分线段 .
由，得,所以,
所以 垂直平分线段,
所以点为 的外心.故选D.
角度2 平行（共线）问题
例3 如图，已知在中, ,, .
（1）若为斜边的中点,求证: ;
解：证明:以为坐标原点,以边, 所在的直线分别
为轴、 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则
,
为的中点, ,
, ,
则 , ,
,即 .
（2）若为的中点,连接并延长交于点,求 的长度
（用, 表示）.
解：为的中点,， .
设,则 .
,,三点共线, 可设 ,
即,则 , ,
故,,
,则 ,
,即 .
变式 已知平面四边形的四条边，，， 的中点依次
为，，，，且，则四边形 一定
为( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形
√
[解析] 如图，由题意结合中位线定理可得
,，, ，
,， 四边形 为平行
四边形.
，
，
，
， ，
即 ，即，.
又， ，
同理由中位线定理可得， ，
四边形 为矩形.故选C.
［素养小结］
利用向量可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、长度等问题.利
用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,
利用基底表示涉及的向量;另一种思路是建立平面直角坐标系,求出题
目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命
题的证明.
1.用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，
用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运
算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作．
2.向量在平面几何中的应用
（1）对于平面向量在平面几何中的应用，主要是利用平面向量解决
平行、垂直、线段长度等问题，经常将上面的问题通过平面向量转
化为解决向量平行、共线，向量数量积为0，向量模长等问题.既可以
利用基底解决，也可以建立平面直角坐标系利用平面向量的坐标运
算来解决.
（2）向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向
量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算
的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向
量 向量的运算 向量和数到形”.
3.向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有位移、力等.
（2）向量的加减法运算体现在合力与分力.
（3）功是力与位移的数量积.
1.平面向量在几何中的应用体现在各方面，主要与常见的三角形、四
边形等结合，利用平面向量基本定理、共线定理、数量积等解决问题.
（1）求和 的长度；
例1 如图，在中，, , ,
是边的中点，,与 交于点 .
解：，，
在 中，, ，
.
是中线， ，
，，
, .
解：方法一： , ，
，
，
, .
（2）求 的值.
方法二：如图，过点作交于点 ，
是的中点，是 的中点，
又 ,
,是的中位线，
是 的中位线，
, ，
.
2.平面向量与物理的结合在数学看来是一种学科间知识的交汇,是一
种综合,是一种实际应用.一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向
量的平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图,
才能使问题更为直观.
向量的数量积在物理中的应用的注意点
（1）物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
（2）用向量的数量积解决物理中的问题时，要根据题意把物理问题
转化为向量的数量积问题，计算数量积时要注意两个向量的大小和
夹角．
例2 已知力， 作用于同一质点，使该质点从点
移动到点 .求：
（1）， 分别对该质点做的功；
对该质点做的功 .
对该质点做的功 .
解： .
（2），的合力 对该质点做的功.
解： ，
故对该质点做的功 .
