本章总结提升
【知识辨析】
1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.× 7.√ 8.×
9.√ 10.× 11. ×
【素养提升】
题型一
例1 (1)D (2)D [解析] (1)如图,△ABC中,点M是BC的中点,N是AM的中点,则=(+)==-+=-+(-)=-.故选D.
(2)由=(-1,3),=(2,-2),得=-=(3,-5).若B,C,D三点共线,则∥,则有3×2a=(-5)×(a+1),解得a=-.故选D.
变式 (1)C (2)AC (3)(2,4) [解析] (1)方法一:因为=+=+,设=λ,则=λ+λ=+λ,因为B,G,E三点共线,所以+λ=1,解得λ=,即=,所以=+=-=a-b.
方法二:如图,延长AF,BC,延长线交于点H,因为F为CD的中点,所以AF=FH,又△AGE∽△HGB,则==,可得==,可知=,所以===+=-=a-b.故选C.
(2)对于A,由=+,得-=-,即=,所以点M是边BC的中点,故A正确;对于B,由=2-,得-=-,则=,所以点M在边CB的延长线上,故B不正确;对于C,由=--,得++=0,由三角形重心的性质可知C正确;对于D,=x+y,且x+y=,则3=3x+3y,3x+3y=1,设=3,所以=3x+3y,3x+3y=1,可知B,C,E三点共线,如图,所以△MBC的面积是△ABC面积的,故D不正确.故选AC.
(3)∵在梯形ABCD中,AB∥CD,DC=2AB,∴=2.设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),又=(2,1)-(1,2)=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),∴解得故点D的坐标为(2,4).
题型二
例2 (1)D (2)A [解析] (1)方法一:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以|a|=|b|=,a·b=0,又(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=a2+λμb2=0,即2+2λμ=0,所以λμ=-1,故选D.
方法二:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb)得(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,即2+2λμ=0,所以λμ=-1,故选D.
(2)方法一:以A为原点,的方向为x轴的正方向,建立如图①所示的平面直角坐标系,设P(x,y),则=(2,0),=(x,y),∵-1方法二:如图②,以,为基底,则<,>=,且||=2,||=2.∵P为正六边形内一点,∴=x+y,-方法三:作出正六边形ABCDEF,如图③所示,P是正六边形内一点,·=||||cos<,>,||=2.由图可得,当P位于C处时,||cos<,>最大,又BC=2,∠CAB=30°,故此时||cos<,>=2×=3,则·=||||cos<,>=2×3=6;当P位于F处时,||cos<,>最小,又AF=2,∠FAB=120°,故此时||cos<,>=2×=-1,则·=||||cos<,>=2×(-1)=-2.∵P在正六边形内,∴·的取值范围为(-2,6).故选A.
变式 (1)D (2) (3) [解析] (1)因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即4+x(x-4)=0,解得x=2.故选D.
(2)由题意可得,·=8×4×=16,=-=-,=-=-,∴·==-·+=×64-×16+16=.
(3)由|a-b|=可得a2-2a·b+b2=3①,由|a+b|=|2a-b|,可得3a2-6a·b=0,即a2=2a·b②,联立①②得b2=3,即|b|=.
题型三
例3 (1)B (2)B [解析] (1)由题意,·-·=·+·=·(+)=0.如图,取AB的中点O,连接CO,并延长CO到D,使得CO=OD,连接AD,BD,则四边形ACBD为平行四边形,所以+=,则·=0,即AB⊥CD,所以四边形ACBD为菱形,所以AC=BC,故△ABC一定为等腰三角形.故选B.
(2)如图所示,AB=250 m=0.25 km,BC=250 m= km,tan∠CAB==,所以∠CAB=,可得∠CAD=,设合速度为v,小货船航行的速度为v1,水流的速度为v2,且v与v2的夹角为,则由v1+v2=v,得v1=v-v2,所以|v1|=|v-v2|====2(km/h).故选B.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)设P的初始点为A(-10,10),5个单位时间后点P到达点A1(x,y),则=(x+10,y-10),由题意有=5v,即(x+10,y-10)=(20,-15),所以解得 故选C.
(2)由题意可知△ABC是以A为顶角的等腰三角形,如图所示,AD⊥BC,BE⊥AC,AD∩BE=O,设=λ,=μ,则λ=+x,则又=+μ=+μ(-)=(1-μ)+μ=+x,所以μ=,=,在直角三角形ABE中,cos∠BAC===.故选B.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上. ( )
2.单位向量都平行. ( )
3.已知a,b为两个非零向量,若a,b共线,则一定有b=λa,反之也成立. ( )
4.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量. ( )
5.若=,则A,B,C,D是平行四边形的四个顶点. ( )
6.若a∥b,b∥c,则a∥c. ( )
7.若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ( )
8.在四边形ABCD中,=且·=0,则四边形ABCD为矩形. ( )
9.-2a与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的. ( )
10.(a·b)c=a(b·c). ( )
11.若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角. ( )
◆ 题型一 平面向量的线性运算
[类型总述] (1)平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘;(2)平面向量基本定理、共线向量定理;(3)根据向量的线性运算求参数.
例1 (1)已知△ABC中,点M是线段BC的中点,N是线段AM的中点,则向量= ( )
A.-
B.+
C.-
D.-
(2)已知=(-1,3),=(2,-2),=(a+1,2a),若B,C,D三点共线,则实数a的值为 ( )
A.-2 B.
C.- D.-
变式 (1)[2024·苏州高一期中] 如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记=a,=b,则= ( )
A.a-b
B.-a+b
C.a-b
D.-a+b
(2)(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ( )
A.若=+,则点M是边BC的中点
B.若=2-,则点M是边BC的三等分点
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
(3)已知在梯形ABCD中,AB∥CD,且DC=2AB,若A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .
◆ 题型二 向量的数量积运算
[类型总述] (1)平面向量数量积的运算;(2)用数量积求向量的模、夹角.
例2 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
(2)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 ( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
变式 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
(2)在平行四边形ABCD中,||=8,||=4,∠A=.若点M满足=,点N为AB中点,则·= .
(3)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
◆ 题型三 平面向量在几何、物理中的应用
[类型总述] (1)平面向量在几何中的应用;(2)平面向量在物理中的应用.
例3 (1)在△ABC中,若·=·,则△ABC一定为 ( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
(2)一条东西方向的河流两岸平行,河宽250 m,河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h,则当小货船的航程最短时,小货船航行速度的大小为 ( )
A. km/h B.2 km/h
C. km/h D.2 km/h
变式 (1)点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5个单位时间后点P的坐标为 ( )
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)
(2)[2024·福州一中高一期中] 在△ABC中,AB=AC,若点O为△ABC的垂心,且满足=+x,则cos∠BAC的值为 ( )
A. B.
C. D.(共30张PPT)
本章总结提升
题型一 平面向量的线性运算
题型二 向量的数量积运算
题型三 平面向量在几何、物理中的应用
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.若向量与向量是共线向量,则,,, 四点在一条直线上.( )
×
2.单位向量都平行.( )
×
3.已知,为两个非零向量,若,共线,则一定有 ,反之也成立.
( )
√
4.若向量与不共线，则与 都是非零向量.( )
√
5.若，则，，， 是平行四边形的四个顶点.( )
×
6.若，，则 .( )
×
7.若,不共线,且,则, .( )
√
8.在四边形中,且,则四边形 为矩形.
( )
×
9.与的方向相反，且的模是的模的 .( )
√
10. .( )
×
11.若,则和的夹角为锐角;若,则和 的夹角为钝
角.( )
×
题型一 平面向量的线性运算
［类型总述］（1）平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘;
（2）平面向量基本定理、共线向量定理;（3）根据向量
的线性运算求参数.
[解析] 如图，中，点是的中点，是 的中点，
则 .故选D.
例1（1） 已知中，点是线段的中点，是线段 的中
点，则向量 ( )
A. B. C. D.
√
（2）已知,,,若,, 三点
共线,则实数 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由,,得 .
若B, C,D三点共线,则,则有,
解得 . 故选D.
√
变式（1） [2024·苏州高一期中]如图，在平行四边形中， ，
分别在边，上，，，与相交于点 ，
记，，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为 ，
设 ，则 ，
因为B，，三点共线，所以 ，
解得，即 ，
所以 .
方法二：如图，延长，，延长线交于点 ，
因为为的中点，所以 ，
又，则 ，可得
，可知，
所以. 故选C.
（2）（多选题）设点是 所在平面内一点,则下列说法正确的
是( )
A.若,则点是边 的中点
B.若,则点是边 的三等分点
C.若,则点是 的重心
D.若,且,则的面积是 面积的
√
√
[解析] 对于A,由,得 ,即
,所以点是边 的中点,故A正确;
对于B,由,得,则,
所以点 在边的延长线上,故B不正确;
对于C,由 ,得 ,
由三角形重心的性质可知C正确;
对于D, ，且，则 ,
,设,所以, ,可
知B,C,三点共线,如图,所以的面积是面积的 ,故D不正
确.故选 .
（3）已知在梯形中,,且,若, ,
,则点 的坐标为______.
[解析] 在梯形中,,,.
设点 的坐标为,则 ,
又, ,即
,
解得故点 的坐标为 .
题型二 向量的数量积运算
［类型总述］（1）平面向量数量积的运算;（2）用数量积求向量的
模、夹角.
例2（1） [2023· 新课标Ⅰ卷]已知向量， .若
，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：因为,，所以 ，
，
又 ，所以，
即 ，所以 ，故选D.
方法二：因为,，所以 ,
，
由 得，
即，所以 ，故选D.
（2）已知是边长为2的正六边形内的一点，则 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：以A为原点，的方向为 轴的正方向，建立如图
①所示的平面直角坐标系，
设，则， ，
， .
√
方法二：如图②，以,为基底，则,，且 ,
.
为正六边形内一点，, ，
则
， .
方法三：作出正六边形，如图③所示， 是正六边形内一
点，,，.
由图可得，当 位于C处时，,最大，
又， ，
故此时，，
则 ,；
当位于处时，, 最小，
又， ，
故此时, ，
则,
在正六边形内，的取值范围为 .故选A.
变式（1） 新课标Ⅰ卷］ 已知向量， ，若
,则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 因为,所以,即 ,
解得 .故选D.
√
（2）在平行四边形中，，，.若点
满足，点为中点，则 ___.
[解析] 由题意可得， ，
，，
.
（3）[2023· 新课标Ⅱ卷] 已知向量,满足 ，
，则 ____.
[解析] 由可得 ，
由，可得，即 ，
联立①②得，即 .
题型三 平面向量在几何、物理中的应用
［类型总述］（1）平面向量在几何中的应用;（2）平面向量在物理
中的应用.
例3（1） 在中,若,则 一定为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
[解析] 由题意,
.
如图, 取的中点,连接,并延长到D,使得,连接, ,
则四边形为平行四边形,所以,
则 ,即,
所以四边形为菱形,所以,
故 一定为等腰三角形.故选B.
（2）一条东西方向的河流两岸平行，河宽 ，河水的速度为向
东.一艘小货船准备从河的这一边的码头 处出发，航行到
位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与 相距
的码头 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速
度的大小为 ，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的
大小为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，
，
，
，所以，可得，
设合速度为 ，小货船航行的速度为，水流的速度为，且与的夹角为 ，
则由，得，所以 变式（1） 点在平面上做匀速直线运动,速度 ,设开始时
点的坐标为,则5个单位时间后点 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设的初始点为，5个单位时间后点 到达点
，则，
由题意有 ，即，
所以解得 故选C.
√
（2）[2024·福州一中高一期中]在中，，若点 为
的垂心，且满足，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知 是以A为顶角的等腰三角形，如图所示，， ，，
设, ，则
，则
又，所以 ,，
在直角三角形 中， .故选B.
