滚动习题(一)
1.A [解析] 对于A,-(+)=-=2,A中等式不成立;对于B,-+-=+(+)=+=0,B中等式成立;对于C,-+=+=0,C中等式成立;对于D,++-=+=0,D中等式成立.故选A.
2.D [解析] a与b的方向不一定相同,故A中说法不一定正确;若a∥b,则a与b方向可能相反,故B中说法不一定正确;由题可知,a与b的模相等,但方向不确定,故C中说法不一定正确;易知D正确.故选D.
3.B [解析] 依题意知=+=+=-+=-a+b.
4.A [解析] 由题意知a≠0,b≠0,又a∥b,∴存在实数λ,使b=λa,即ke1+e2=2λe1-λe2,∴解得故选A.
5.C [解析] 由(a+b)⊥(a-b),得(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.又由|a+b|=|2a-b|,得(a+b)2=(2a-b)2,即3|a|2+2a·b+|b|2=4|a|2-4a·b+3|b|2,所以a·b=,则cos θ==.故选C.
6.C [解析] 由点E是AB上靠近A的三等分点,F是CE上靠近C的三等分点,得=+=+=+(-)=+×=+.故选C.
7.ABC [解析] 由题意知||=||=||=1,因为AB=,所以=(-)2=-2·+=2,所以·=0,所以·=·(-)=·-·=·-(-)·=·-·+=||·||cos<,>+1=cos<,>+1,因为cos<,>∈[-1,1],所以(·)min=1-,(·)max=1+.故选ABC.
8.ACD [解析] 对于A,因为八边形ABCDEFGH为正八边形,所以∠AOH==,所以与的夹角为,故A正确;对于B,因为四边形ODEF不是平行四边形,所以+≠,故B错误;对于C,∠AOC=2×=,所以|-|=||=||=,||=2||=2,所以|-|=||,故C正确;对于D,因为=-,所以·=·(-)=·-||2=1×1×cos-1=-1,故D正确.故选ACD.
9.0 [解析] ∵+=,-=+=,∴(+)+(-)=+=0.
10.梯形 [解析] 因为=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,所以=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b,所以=2,所以AD∥BC且||≠||,所以四边形ABCD为梯形.
11. [解析] 如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点知,BF=FE=EA,AO=OD,则6·=3·(-)=(+)·(-)=(+)·===·-+=·,所以=,即||=||,故=.
12.解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,解得a·b=-6,所以cos θ===-.
又0≤θ≤π,所以θ=.
(2)由(a+b)2=a2+b2+2a·b=42+32+2×(-6)=13,
得|a+b|==.
13.解:(1)证明:由=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,
得=-=6a+2b-(4a-2b)=2a+4b,=-=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b=-2(2a+4b)=
-2,所以∥,且有公共点B,
所以A,B,C三点共线.
(2)若4a+kb与ka+b共线,则存在实数λ,使得4a+kb=λ,即a+b=0,又a,b是不共线的两个向量,所以解得或故实数k的值是±4.
14.解:(1)由题可知,==3,所以BD=BC.
因为=x,=y,所以=+=+=+(-)=+=+,
因为E,D,F三点共线,所以+=1,所以+=4.
(2)·=(-)·(-)=(y-x)·(-)=y+x-(x+y)·=9x+y-(x+y)||||cos∠BAC=x+y==+≥+,
当且仅当=,+=1时取等号,
所以·的最小值为+.滚动习题(一)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.[2024·扬州一中高一月考] 下列等式不成立的是 ( )
A.-(+)=0
B.-+-=0
C.-+=0
D.++-=0
2.已知a,b,c均为单位向量,则下列说法一定正确的是 ( )
A.a=b
B.若a∥b,则a=b
C.a=b或a=-b
D.若a=b,b=c,则a=c
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,=a,=b,则= ( )
A.-a-b
B.-a+b
C.a-b
D.a+b
4.已知e1,e2是两个不共线的向量,向量a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a∥b,则实数k= ( )
A.-2 B.-
C.2 D.
5.已知向量a,b的夹角为θ,且(a+b)⊥(a-b),|a+b|=|2a-b|,则cos θ= ( )
A. B. C. D.
6.[2024·厦门双十中学高一月考] 在△ABC中,点E是AB上靠近A的三等分点,F是CE上靠近C的三等分点,则= ( )
A.+ B.+
C.+ D.+
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·连云港高级中学高一月考] 已知点A,B,C均位于单位圆(圆心为原点O,半径为1)上,且AB=,则·的值可能为 ( )
A. B.
C.+1 D.+1
8.[2024·江阴四校高一期中] 八卦是中国文化的一个重要哲学概念,八卦模型图的平面图形为如图所示的正八边形ABCDEFGH,该正八边形的中心为O,且||=1.则下列结论中正确的是 ( )
A.与的夹角为
B.+=
C.|-|=||
D.·=-1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.化简:(+)+(-)= .
10.已知a,b,c为不共线向量,在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 .
11.[2024·南京金陵中学高一月考] 如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知向量a,b满足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
13.(15分)[2024·浙江杭州四中高一期末] 设a,b是不共线的两个向量.
(1)若=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若4a+kb与ka+b共线,求实数k的值.
14.(15分)[2024·浙江宁波五校联盟高一期中] 平面几何中有如下结论:“在三角形ABC中,若角A的平分线交BC于点D,则=.”已知△ABC中,AB=3,AC=1,AD为角A的平分线,D在BC上.过点D作直线交AB于点E,交AC的延长线于点F,且满足=x,=y,x>0,y>0.
(1)求+的值;
(2)若∠BAC=120°,求·的最小值.
