滚动习题(二)
1.C [解析] 如图,=+=+2=+2(-)=2-,故选C.
2.C [解析] ∵a=(2,3),b=(3,2),∴2a-b=(1,4),∴|2a-b|==.故选C.
3.D [解析] 对于A选项,b-a=-(a-b),所以a-b,b-a共线,不能作为基底.对于B选项,2a+b=2,所以2a+b,a+b共线,不能作为基底.对于C选项,6a-4b=-2(2b-3a),所以6a-4b,2b-3a共线,不能作为基底.对于D选项,易知a+b,a-b不共线,可以作为基底.故选D.
4.C [解析] 因为||2=16,所以||=4,因为|+|=|-|,所以|+|2=|-|2,可得·=0,所以⊥,又因为M是BC的中点,所以||=||=2,故选C.
5.C [解析] 由题意得F1+F2+F3=0,所以-F3=F1+F2,两边平方得|F3|2=|F1|2+2F1·F2+,即|F3|2=1+2×1×2×+4=3,所以|F3|=.故选C.
6.B [解析] 因为点D在边AB的延长线上,AB=2BD,所以=2,即-=2(-),所以=+.又=m+n,所以由平面向量基本定理可得m=,n=.故选B.
7.ABD [解析] 向量a=(1,-2),b=(λ,1).对于A,由a∥b,得1×1=-2λ,解得λ=-,A正确;对于B,由a⊥b,得λ-2=0,则λ=2,B正确;对于C,当λ=-<2时,a,b共线,方向相反,夹角为180°,此时a,b的夹角不为钝角,C错误;对于D,当λ=1时,b=(1,1),因此a在b上的投影向量为·=·b=-·b=,所以a在b上的投影向量的坐标为,D正确.故选ABD.
8.ABD [解析] 在平行四边形ABCD中,过D作DO⊥AB,垂足为O,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A,B(1,0),C,D,则=,=,所以=λ+μ=,则P.对于A,若λ=1,则P在线段BC上(含端点),所以||的取值范围是[0,1],故A正确;对于B,若μ=1,则P,所以=,=,令·=-+=0,解得λ=,符合题意,所以当μ=1时,存在P使得·=0,故B正确;对于C,若·=×=,则λ+μ=,所以P,由得≤μ≤1,所以动点P形成的轨迹的长度为,故C错误;对于D,过点O作OM∥AD,交DC于M,若λ=,则P在OM上,又因为||最大,所以P与M重合,过点M作MN⊥AB,垂足为N,则在上的投影向量为,由||=||+||=||+||=1=||,得在上的投影向量为,故D正确.故选ABD.
9.2 [解析] 依题意得|a-b|==
==2.
10. [解析] 连接AR,因为P为CR的中点,所以=b+.因为R为QB的中点,所以=a+.因为Q为AP的中点,所以=,所以=b+a+,所以=a+b,又=ma+nb,所以m=,n=,所以m+n=.
11.5 [解析] 利用向量平行的充要条件,由a∥b得=,即sin θ=-2cos θ,所以==5.
12.解:(1)设c=(x,y),因为a=(1,2),a∥c,|c|=3,
所以解得或
所以c=(3,6)或c=(-3,-6).
(2)因为a=(1,2),所以|a|==,
又(a+2b)⊥(a-b),|b|=,所以(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=5+a·b-2×2=0,所以a·b=-1,
所以cos
===-,
所以a与b的夹角的余弦值为-.
13.解:(1)设游船的实际速度大小为|v|km/h,
由AA'=1 km,6 min=0.1 h,得|v|=10 km/h.
由v=v1+v2得v1=v-v2,又v⊥v2,故|v1|2=|v|2+|v2|2=102+42=116,得|v1|=2 km/h,
所以cos θ=-=-,
所以v1的大小为2 km/h,cos θ的值为-.
(2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,设到达北岸B点所用时间为t h,如图所示,
则||2=|tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,可得||=2t.
在Rt△AA'C中,可得t|v1|cos 30°=1,所以t=,所以||=×2=,
故游船航行到北岸的实际航程为 km.
14.解:(1)设=λ,连接AE,AF,则=++=++λ=++λ(-)=++λ=+=m+,
所以解得所以=+,平方可得=++·=25+9+×6×6×=49,所以||=7.
(2)设=x,则=+=+x=+x(-)=(1-x)+x,=-=(1-x)+x--=+,所以·=(1-x)+x+·,
整理可得·=36,所以当x=时,·取得最小值-.滚动习题(二)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.在△ABC中,D是AB边上的中点,则= ( )
A.2+
B.-2
C.2-
D.+2
2.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|2a-b|= ( )
A. B.2
C. D.5
3.若a,b是平面内的一组基底,则下列四组向量中能作为平面的基底的是 ( )
A.a-b,b-a
B.2a+b,a+b
C.2b-3a,6a-4b
D.a+b,a-b
4.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,=16,|+|=|-|,则||= ( )
A.8 B.4
C.2 D.1
5.平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1=(1,0),|F2|=2,=120°,则|F3|= ( )
A. B.1
C. D.2
6.在△ABC中,点D在边AB的延长线上,AB=2BD,=m+n,则 ( )
A.m=,n=
B.m=,n=
C.m=,n=
D.m=-,n=
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知向量a=(1,-2),b=(λ,1),则下列说法中正确的是 ( )
A.若a∥b,则λ=-
B.若a⊥b,则λ=2
C.若λ<2,则a,b的夹角为钝角
D.若λ=1,则a在b上的投影向量的坐标为
8.[2024·无锡一中高一期中] 平行四边形ABCD中,AB=,AD=1,∠BAD=.动点P满足=λ+μ,λ,μ∈[0,1],则下列说法中正确的有 ( )
A.当λ=1时,||的取值范围是[0,1]
B.当μ=1时,存在P使得·=0
C.当·=时,动点P形成的轨迹的长度为
D.当λ=且||最大时,在上的投影向量为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.[2024·盐城五校高一月考] 若a与b反向共线,且|a|=|b|=1,则|a-b|= .
10.如图,在△ABC中,=a,=b,线段AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若=ma+nb,则m+n= .
11.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(1,-2),若a∥b,则= .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)已知a,b,c在同一平面内,且a=(1,2).
(1)若|c|=3,且a∥c,求c;
(2)若|b|=,且(a+2b)⊥(a-b),求a与b的夹角的余弦值.
13.(15分)一条河南北两岸平行.如图所示,河面宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸上的点A'在点A的正北方向.
(1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6 min,求v1的大小和cos θ的值;
(2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少
14.(15分)在菱形ABCD中,AB=6,∠BAD=60°,=2,=2,已知点M在线段EF上,且=m+.
(1)求||;
(2)若点N为线段BD上一个动点,求·的最小值.