单元素养测评卷(一)
1.D [解析] 由题图可得2a+b=c,且λa+b为非零向量,又λa+b与c共线,所以有且只有一个实数k,使c=k(λa+b),所以消去k得λ=2,故选D.
2.D [解析] 因为a=(1,-2)=-(-4,8)=(4,-8),|b|=4|a|,a∥b,所以b的坐标是(-4,8)或(4,-8),结合选项可知选D.
3.D [解析] 由题意,得4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则d=-4a-4b+2c-2(a-c)=-6a-4b+4c,即d=(-2,-6),经验证,满足题意.故选D.
4.C [解析] 根据题意,向量a=(2,3),b=(-4,7),则a·b=2×(-4)+3×7=13,|a|==,|b|==,设a与b的夹角为θ,则cos θ===,则a在b上的投影向量为(|a|cos θ)=××==,故选C.
5.C [解析] 因为=-=b-a,=2,所以==(b-a),=+=a+(b-a)=b+a,又因为=4,所以==-=-b-a,所以=+=(b-a)-b-a=-a+b.故选C.
6.B [解析] 根据向量数量积的定义可得cos===,即3+m=×,解得m=,故选B.
7.B [解析] 设=F1,=F2,当F1与F2不共线时,如图,以OA,OB为邻边作平行四边形AOBC,连接OC,设=F,则F为F1,F2的合力.由题意,当F1,F2的夹角为90°时,|F|=|F1|,|F|=20 N,∴|F1|=10 N.当F1,F2的夹角为120°时,平行四边形AOBC为菱形,此时|F|=|F1|=10 N.故选B.
8.C [解析] ∵·=0,,分别是与,同向的单位向量,∴∠BAC的平分线与BC垂直,∴AB=AC,∴B=C.∵·=-,∴cos(π-B)=-,则cos B=,又B∈(0,π),∴B=,∴C=,A=,∴△ABC为等腰直角三角形.故选C.
9.ACD [解析] ∵e1,e2是平面内的一组基底,∴e1,e2不共线.2e1+e2=2,则2e1+e2和e1-e2不共线,故2e1+e2和e1-e2能构成平面内的一组基底;2e2-6e1=-2(3e1-e2),则2e2-6e1和3e1-e2共线,故3e1-e2和2e2-6e1不能构成平面内的一组基底;e1+3e2=3,则e1+3e2和e2+3e1不共线,故e1+3e2和e2+3e1能构成平面内的一组基底;易知e1和e1+e2不共线,故e1和e1+e2能构成平面内的一组基底.故选ACD.
10.BC [解析] 由a+b=(1,-1),得|a|2+|b|2+2a·b=12+(-1)2=2,则|a+b|=,故A错误;因为a,b是单位向量,所以1+1+2a·b=2,可得a·b=0,则a⊥b,故B正确;|a-b|2=a2+b2-2a·b=2,所以|a-b|=,故D错误;设a与a-b的夹角为θ,则cos θ====,又θ∈[0,π],所以θ=,即a与a-b的夹角为,故C正确.故选BC.
11.ACD [解析] 设M为AC的中点,N为BD的中点.对于A,延长PO,交圆于E,延长OP,交圆于F, 由题意得·=-||||=-||||=-|-||+|,所以·=-|-||-(+)|=-|-||+|=-(||-||)(||+||)=-(||2-||2)=-2,为定值,故A正确;对于B,连接OM,则OM⊥AC,所以·=(+)·(+)=+·(+)+·=-=-(4-)=2-4,由题意得0≤≤=2,则·∈[-4,0],故B错误;对于C,若AC⊥BD,则·=·=0,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·,又·=-2,则·=-2,同理可得·=-2,故·=-4,为定值,故C正确;对于D,||2·||2=4(r2-||2)·4(r2-||2)=16(4-||2)(4-||2)≤16=4(8-2)2=144,当且仅当||=||时等号成立,所以||·||的最大值为12,故D正确.故选ACD.
12.- [解析] 因为a=(-1,2),b=(1,t),所以a+2b=(1,2+2t),又(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=-1+2(2+2t)=0,解得t=-.
13. [解析] 因为P是MC的中点,所以=+,又因为=2,所以=,所以=×+=+,则λ1=,λ2=,所以λ1+λ2=.
14.[5,7] [解析] 因为·=||·||cos∠ABC=,所以||cos∠ABC=||,则∠BAC=90°.又点A,B,C均位于圆O上,所以BC为圆O的直径.而·=(+)·(+)=+·(+)+·=-1=3,则||=2,因此点P在圆心为O,半径为2的圆上.|++|=|3+++|=|3+|,当与同向时,|++|最大,最大值为3×2+1=7,当与反向时,|++|最小,最小值为3×2-1=5,故|++|的取值范围为[5,7].
15.解:(1)由a=(1,2),得|a|=,则c=±=±,
则c=或c=.
(2)因为a+2b与2a-b垂直,所以(a+2b)·(2a-b)=2a2+3a·b-2b2=0,又|b|=,|a|=,所以2×5+3a·b-2×=0,
则a·b=-,所以cos θ===-1,
又θ∈[0,π],所以θ=π.
16.解:(1)由题意可得·=||·||·cos 120°=1×2×=-1,且=+,
所以·=·(+)=+·=4+(-1)=3.
(2)由(1)可知,·=3,=+,
则||=|+|====,所以cos∠BAC===.
17.解:设木块的位移为s,则F·s=|F||s|cos 30°=50×20×=500(J).
如图所示,将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2,则|f1|=|F|sin 30°=50×=25(N),由题知,木块的重力G的大小为|G|=8×10=80(N),
所以|f|=μ(|G|-|f1|)=0.02×(80-25)=1.1(N),又易知f与s方向相反,因此f·s=|f|·|s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和-22 J.
18.解:(1)设O为坐标原点.由题意得=-=(-2,3)-(1,4)=(-3,-1),=-=(2,m)-(-2,3)=(4,m-3).
因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ使=λ,即(-3,-1)=λ(4,m-3),所以消去λ得m=.
(2)由(1)可得,=(-3,-1),=(4,m-3),
=-=(2,m)-(1,4)=(1,m-4),则=(3,1),=(-1,4-m),=(-4,3-m).因为△ABC是锐角三角形,
所以
解得-9(3)由(2)知,=(-3,-1),=(1,m-4),则在上的投影向量为·=··=·.
假设存在实数m,使得在上的投影向量是,所以=,解得m=-1或m=-4,所以假设成立,即存在实数m,使得在上的投影向量是,此时m=-1或m=-4.
19.解:(1)由题意可得=,所以=+=+=+(-)=+.
(2)设=t(0所以t=+=+,即=+.
因为G,E,D三点共线,所以+=1,解得t=,所以=+,又=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,所以解得λ=.
(3)设=x,=y,则连接BO,因为D,E分别是BC,AB的中点,所以易知O是△ABC的重心,所以=+=+.
因为S,O,T三点共线,所以+=1,即+=3.
设点B到AC的距离为h1,则点B到DE的距离为h1,
所以S△BED=×h1×||=h1×||=S△ABC.
设点A到BC的距离为h2,则h2=||sin∠ABC,所以S△ABC=||·||·sin∠ABC,又S△BST=·||·||·sin∠ABC=·y||·x||·sin∠ABC,所以S△BST=xyS△ABC,
所以S2=S△ABC-S△BED=S△ABC,S1=S△BST-S△BED=S△ABC,所以=.
因为+=3,所以=3,即x+y=3xy≥2,所以xy≥,当且仅当x=y=时等号成立,所以==.单元素养测评卷(一)
第9章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线,则实数λ=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b的坐标可能是 ( )
A.(4,8) B.(8,4)
C.(-4,-8) D.(-4,8)
3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段依次首尾相连能构成四边形,则向量d等于 ( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
4.已知a=(2,3),b=(-4,7),则向量a在b上的投影向量是 ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·温州中学高一月考] 如图,在△ABC中,设=a,=b,=2,=4,则= ( )
A.a-b B.a-b
C.-a+b D.-a+b
6.已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量a,b的夹角为,则实数m的值为 ( )
A.2 B. C.0 D.-
7.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为 ( )
A.40 N B.10 N C.20 N D.40 N
8.在△ABC中,已知·=0,且·=-,则△ABC是 ( )
A.三边互不相等的三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设e1,e2是平面内的一组基底,则下面的四组向量能构成平面内的一组基底的是 ( )
A.2e1+e2和e1-e2 B.3e1-e2和2e2-6e1
C.e1+3e2和e2+3e1 D.e1和e1+e2
10.已知a,b是单位向量,且a+b=(1,-1),则 ( )
A.|a+b|=2
B.a与b垂直
C.a与a-b的夹角为
D.|a-b|=1
11.[2024·南京外国语学校高一月考] “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要的总结性定理,包含三个定理以及它们推论的统一与归纳,其中一个定理是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,点P是圆O内的定点,且OP=,弦AC,BD均过点P,则下列说法正确的是 ( )
A.·为定值
B.·的取值范围是[-2,0]
C.当AC⊥BD时,·为定值
D.当AC⊥BD时,||·||的最大值为12
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·菏泽一中高一月考] 已知向量a=(-1,2),b=(1,t),若(a+2b)⊥a,则实数t= .
13.在△ABC中,=2,P是MC的中点,若=λ1+λ2,则λ1+λ2= .
14.已知点A,B,C均位于同一单位圆O上,且·=,若·=3,则|++|的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·江阴四校高一期中] 已知a,b,c是同一平面内的三个向量,a=(1,2).
(1)若c为单位向量,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ的大小.
16.(15分)[224·江苏盐城高一期中] 在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠BAD=120°.求:
(1)·的值;
(2)cos∠BAC的值.
17.(15分)已知力F(方向斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.力F和摩擦力f所做的功分别为多少 (取重力加速度的大小为10 m/s2)
18.(17分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,4),B(-2,3),C(2,m).
(1)若A,B,C三点共线,求实数m的值.
(2)若△ABC是锐角三角形,求实数m的取值范围.
(3)是否存在实数m,使得在上的投影向量是 若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
19.(17分)如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AB的中点,点F是线段BD上靠近点B的三等分点,AF交ED于点G,EC交AD于点O.
(1)用和表示;
(2)若=λ,求实数λ的值;
(3)过点O的直线与线段AE,CD(均不含端点)分别交于点S,T,设四边形DEST的面积为S1,梯形AEDC的面积为S2,求的最小值.
