第10章 三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.1 两角和与差的余弦
【课前预习】
知识点一
1.cos αcos β+sin αsin β
知识点二
cos αcos β+sin αsin β
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(α-β)=cos α-cos β.
2.cos(60°-30°)=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°;cos(120°-60°)=cos 120°cos 60°+sin 120°sin 60°
知识点三
cos αcos β-sin αsin β
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=.
(2)cos 105°=cos(45°+60°)=cos 45°cos 60°-sin 45°sin 60°=×-×=.
例2 解:(1)cos 22°cos 67°+sin 22°sin 67°=cos(22°-67°)=cos(-45°)=cos 45°=.
(2)cos 19°cos 41°-sin 19°sin 41°=cos(19°+41°)=cos 60°=.
(3)原式=cos(x+27°)cos(x+18°)+sin[(90°-(63°-x)]sin[(90°-(72°-x)]=cos(x+27°)cos(x+18°)+
sin(x+27°)sin(x+18°)=cos[(x+27°)-(x+18°)]=cos 9°.
变式 解:(1)coscos θ+sinsin θ=cos=cos=.
(2)原式===.
(3)cos 17°cos 43°+sin 17°sin 223°=cos 17°cos 43°+sin 17°sin(180°+43°)
=cos 17°cos 43°-sin 17°sin 43°=cos(17°+43°)=cos 60°=.
探究点二
例3 (1) (2) [解析] (1)因为cos α=,α是第四象限角,
所以sin α=-=-=-.因为sin β=,β是第二象限角,
所以cos β=-=-=-,
则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
(2)∵α∈,∴+α∈,∴cos=-=-=-,∴cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=.
变式 解:(1)因为sin α=,α∈,所以cos α=-=-.因为cos β=-,β∈,所以sin β=-=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.
拓展 解:∵sin β=,0<β<,∴cos β==.
又sin α=-,且π<α<2π,
①当π<α<时,cos α=-=-,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-;
②当≤α<2π时,cos α==,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
综上所述,cos(α-β)的值为-或.
探究点三
例4 解:由cos α=,0<α<,
得sin α===.
由0<β<α<,得0<α-β<.又∵cos(α-β)=,
∴sin(α-β)===.
由β=α-(α-β),得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,
又0<β<,∴β=.
变式 解:因为α,β为锐角且sin α=,cos β=,
所以cos α==,sin β==,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,
由0<α<,0<β<,得0<α+β<π,
又cos(α+β)>0,所以α+β为锐角,所以α+β=.第10章 三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.1 两角和与差的余弦
1.C [解析] cos=coscos α+sinsin α=cos α+sin α.
2.B [解析] sin 70°cos 25°+sin 20°cos 115°=
cos 20°cos 25°-sin 20°sin 25°=cos(20°+25°)=cos 45°=,故选B.
3.A [解析] 由sin Asin B
0,即cos(A+B)>0,则cos C<0,即△ABC一定为钝角三角形,故选A.
4.A [解析] 由题意可得sin α=,cos α=,
故cos=coscos α+sinsin α=×+×=.
5.B [解析] ===
=.故选B.
6.A [解析] 因为β∈,sin β=∈,所以β∈,因为0<α<β,sin α=,所以α=,则cos β=-=-,cos α==,
则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=,故选A.
7.A [解析] 由sin α-sin β=,cos α-cos β=,
得sin2α+sin2β-2sin αsin β=,cos2α+cos2β-2cos αcos β=,
以上两式相加得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1,所以sin αsin β+cos αcos β=,故cos(α-β)=.
8.D [解析] 由<α-β<,sin(α-β)=,可得cos(α-β)=-,由0<α+β<π,cos(α+β)=-,可得sin(α+β)=,故cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-×+×=,故选D.
9.ABD [解析] 由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z.对于A,α=β=90°,α-β=0°,故A不满足;对于B,α=18°,β=72°,α-β=-54°,故B不满足;对于C,α=130°,β=40°,α-β=90°,故C满足;对于D,α=140°,β=40°,α-β=100°,故D不满足.故选ABD.
10. [解析] 原式=cos 70°cos 25°+sin 70°sin 25° =cos(70°-25°)=cos 45°=.
11.- [解析] 因为cos B=-,且0因为sin A=,且0所以cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B=×+×=-.
12.- [解析] ∵cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=cos β=m,且β为第三象限角,∴sin β=-=-.
13.解:(1)∵α为锐角,cos α=,∴α=,则sin=sin=1.
(2)∵∴0<α+β<π,又cos(α+β)=,∴sin(α+β)=,
则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=.
14.解:(1)因为α的终边过P,所以|OP|==5,由三角函数的定义得cos α==,所以cos(α+π)=-cos α=-.
(2)由题意知cos(α+β)=-,sin(α+β)=,由(1)知sin α==,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=-.
15.A [解析] ∵0<α<,cos=>0,∴<α+<,∴sin==.∵-<β<0,∴0<+<,又cos=,∴sin==,∴cos=cos=coscos+sinsin=×+×=.故选A.
16.解:(1)由0<β<得-<-<0,又<α<π,
∴<α-<π,∵cos=>0,
∴<α-<,sin=,∴tan=.
(2)由<α<π,得<<,又-<-β<0,∴-<-β<,又sin=-<0,∴-<-β<0,cos=,∴cos=cos=coscos+sinsin=×+×=-.第10章 三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.1 两角和与差的余弦
【学习目标】
1.通过探究,了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.
◆ 知识点一 利用单位圆证明两角差的余弦公式
1.向量法
单位圆中,已知角α,β的终边分别与单位圆交于点P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),则向量·= .(用向量数量积的坐标表示)
2.两点间距离公式
以Ox轴为始边作角α-β,其终边与单位圆交于点P3(cos(α-β),sin(α-β)),∵||=||,∴[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2,∴2-2cos(α-β)=2-2cos αcos β-2sin αsin β,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
◆ 知识点二 两角差的余弦公式
cos(α-β)= .(C(α-β))
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于任意α,β∈R,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β都成立. ( )
(2)对于任意α,β∈R,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. ( )
(3)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0. ( )
2.观察下表中的数据,写出你的发现: .
cos(60°-30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
cos(120°-60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60°
-
◆ 知识点三 两角和的余弦公式
cos(α+β)= .(C(α+β))
注:(1)公式中的角α,β是任意角,特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数,cos(α-β),cos(α+β)是一个整体.
(2)公式特点:公式右端的两部分为同名三角函数的积,连接符号与左边角的连接符号相反,可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式.
◆ 探究点一 化简求值
例1 利用两角和与差的余弦公式求值.
(1)cos 15°;
(2)cos 105°.
例2 化简下列式子:
(1)cos 22°cos 67°+sin 22°sin 67°;
(2)cos 19°cos 41°-sin 19°sin 41°;
(3)cos(x+27°)cos(x+18°)+cos(63°-x)cos(72°-x).
变式 计算下列各式的值:
(1)coscos θ+sinsin θ;
(2);
(3)cos 17°cos 43°+sin 17°sin 223°.
[素养小结]
解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路:
(1)把非特殊角转化为特殊角的和与差的形式,正用两角和与差的余弦公式直接求值;
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
◆ 探究点二 给值求值
例3 (1)已知cos α=,α是第四象限角,sin β=,β是第二象限角,则cos(α-β)= .
(2)已知sin=,α∈,则cos α= .
变式 已知sin α=,α∈,cos β=-,β∈,求cos(α-β)和cos(α+β)的值.
[素养小结]
给值求值问题的解题策略:
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,然后进行拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换:
①α=(α-β)+β;②α=+;
③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
拓展 已知sin α=-,sin β=,且π<α<2π,0<β<,求cos(α-β)的值.
◆ 探究点三 给值求角
例4 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.
变式 已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,求α+β的值.
[素养小结]
求解给值求角问题的一般步骤:
(1)求角的某一个三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.第10章 三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.1 两角和与差的余弦
一、选择题
1.cos= ( )
A.-cos α
B.cos α
C.cos α+sin α
D.cos α-sin α
2.sin 70°cos 25°+sin 20°cos 115°的值是 ( )
A. B.
C.-1 D.0
3.在△ABC中,若sin Asin BA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
4.已知点P(1,)是角α的终边上一点,则cos等于 ( )
A. B.
C.- D.
5.[2024·盐城高一期中] = ( )
A. B.
C. D.
6.已知0<α<β,β∈,sin α=,sin β=,则cos(α-β)等于 ( )
A. B.
C. D.
7.若sin α-sin β=,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为 ( )
A. B.
C. D.1
8.已知角α,β满足<α-β<,0<α+β<π,且sin(α-β)=,cos(α+β)=-,则cos 2β的值为 ( )
A.- B.
C.- D.
9.(多选题)不能满足sin αsin β=-cos αcos β的一组值是 ( )
A.α=β=90°
B.α=18°,β=72°
C.α=130°,β=40°
D.α=140°,β=40°
二、填空题
10.cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°= .
11.已知A∈,B∈(0,π),sin A=,cos B=-,则cos(A-B)= .
12.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则sin β= .
三、解答题
13.已知α,β均为锐角,cos α=,cos(α+β)=.
(1)求sin的值;
(2)求cos β的值.
14.如图,已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
(1)求cos(α+π)的值;
(2)将点P绕原点O逆时针旋转β(0<β<π)角到点Q(-3,4),求cos β的值.
15.若α∈,β∈,cos=,cos=,则cos= ( )
A. B.-
C.- D.
16.已知0<β<<α<π且cos=,sin=-.
(1)求tan的值;
(2)求cos的值.(共37张PPT)
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.1 两角和与差的余弦
探究点一 化简求值
探究点二 给值求值
探究点三 给值求角
【学习目标】
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进
行求值、计算.
知识点一 利用单位圆证明两角差的余弦公式
1.向量法
单位圆中，已知角 ， 的终边分别与单位
圆交于点， ，
则向量 _____________________.
（用向量数量积的坐标表示）
2.两点间距离公式
以轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点
，， ，
，
.
知识点二 两角差的余弦公式
_____________________
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）对于任意 ，， 都
成立.( )
√
（2）对于任意 ，， 都不成立.( )
×
[解析] 当 ， 时，
，
，此时
.
（3） .( )
√
2.观察下表中的数据,写出你的发现：
.
;
知识点三 两角和的余弦公式
_____________________
注:（1）公式中的角 ， 是任意角，特点是用单角的三角函数表
示复角的三角函数，， 是一个整体.
（2）公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号
与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式.
探究点一 化简求值
例1 利用两角和与差的余弦公式求值.
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
例2 化简下列式子：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解：原式 .
变式 计算下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：
.
［素养小结］
解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路:
（1）把非特殊角转化为特殊角的和与差的形式,正用两角和与差的余
弦公式直接求值;
（2）在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式
的结构形式,然后逆用公式求值.
探究点二 给值求值
例3（1） 已知， 是第四象限角，， 是第二象
限角，则 _ ______.
[解析] 因为， 是第四象限角，所以
.
因为， 是第二象限角，
所以 ，
则 .
（2）已知，，则 _ ______.
[解析] ， ，
， .
变式 已知,,, ，求
和 的值.
解：因为, ，所以.
因为, ，所以，
所以 ，
.
［素养小结］
给值求值问题的解题策略：
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要
注意观察已知角与所求表达式中角的关系，然后进行拆角与凑角.
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要
灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换：
； ；
； .
拓展 已知，，且 ， ，求
的值.
解：，， .
又，且 ，
①当时， ，
；
②当 时， ，
.
综上所述，的值为或 .
探究点三 给值求角
例4 已知，，且，求 的值.
解：由， ，得 .
由，得.
又 ， .
由 ，得 ，又， .
变式 已知锐角 ， 满足，，求 的值.
解：因为 ， 为锐角且， ，
所以， ，
所以 ，
由，，得 ，
又，所以 为锐角，所以 .
［素养小结］
求解给值求角问题的一般步骤：
（1）求角的某一个三角函数值.
（2）确定角的范围.
（3）根据角的范围写出所求的角.
1.两角和与差的余弦公式的证明
除了教材的向量法和解析法外，另外提供几何法的证
明供参考. 先回顾一下用几何方法推导三角公式的历
史 在编制弦表的过程中发现了 定理:圆内接四边形
两条对角线长度之积与两组对边乘积的和相等.在上述定理中应用
圆心角 所对的弦长公式 ,就可以得到两角差的正弦公
式及两角和的余弦公式.
公元3世纪末，数学家用图示给出了下列命题:设 是以为直径的
半圆上的一点,是半圆在点 处的切线,和为的垂线，
， 为垂足，则 . 两角和与差的三角公式
的几何模型若设为圆心， ， ，
，作， ，垂足分别为，，设与相交于
点，则 ，即 ,
，即
.
2.对两角差的余弦公式的理解
（1）公式中的 ， 都是任意角.
（2）差角的余弦公式不能按分配律展开，即一般情况下，
.
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷
地处理问题.如由 能迅速地想到
，
又如 .
两角和与差的余弦公式主要是正向和逆向应用，主要是求三角函数
值或者求角.应用时，要关注到角的整体性.
例1（1） 已知， ，则 _ ____.
[解析] ， ，
， .
（2） _ __.
[解析]
.
例2 已知，，且， ，
求 的值.
解：， ， ，
， .
， ，
则 .
例3 已知，，， .
（1）求 的值；
解：由得 ，
又，则 .
（2）求 的值.
解：由，得 ，又 ，则 ，
则 ，
又，故 .