(共42张PPT)
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.2 两角和与差的正弦
探究点一 化简求值
探究点二 给值求值与给式求值
探究点三 辅助角公式
探究点四 证明问题
【学习目标】
1.了解两角和与差的正弦公式的推导过程.
2.掌握两角和与差的正弦公式、辅助角公式,并能灵活运用公式
进行简单的求值、计算与证明.
知识点一 两角和与差的正弦
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 正弦
两角差的 正弦
记忆口诀：“正余余正，符号相同”.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两角和与差的正弦公式中的角 , 是任意的.( )
（2）存在 ,,使得 成立.( )
√
√
[解析] 当 , 时, .
（3）对于任意 ,, 都不成立.( )
×
[解析] 当 , 时, 成立.
（4） .( )
√
[解析] .
知识点二 辅助角公式
，
令， ，则有
，其中， 为辅助角.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） .( )
√
[解析] .
（2） .( )
×
[解析] 方法一：
.
方法二：
.
探究点一 化简求值
例1（1） __.
[解析]
.
（2） _ __.
[解析] 原式
.
变式（1） 的值为( )
A. B. C. D.
[解析]
.故选A.
√
（2） ( )
A. B.
C. D.
[解析] ，
,
.故选B.
√
［素养小结］
解决给角求值问题的策略:
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部
的基本原则,若整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部
的变形;
（2）在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时,首先要看结构是否符合
公式特点,其次看角是否满足要求.
探究点二 给值求值与给式求值
例2 已知，，且 ， .
（1）求 的值；
解：因为 ，，所以 ，
又，所以 ，
所以， ，
所以 .
（2）求角 的值.
解：方法一：
，又因为，所以 .
方法二：，又因为，所以 .
变式1 已知,,, 是第三象限角，求
的值.
解：因为,,, 是第三象限角，所以
, .
所以
.
变式2 [2024·江苏连云港高一期中] 已知锐角 ， 满足
， .
（1）求 的值；
解：因为，，所以 ，
又，所以 ，
所以 ，
又， 为锐角，所以 .
因为 ，所以
.
（2）求 的值.
解：因为 ，所以
，
又因为，所以 .
［素养小结］
解决给值求值与给式求值问题时,一定要注意已知角与所求角之间的
关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代
换化异角为同角,具体做法是:（1）当条件中有两角时,一般把所求角
表示为已知两角的和或差;（2）当已知角有一个时,可利用诱导公式
把所求角转化为已知角.
探究点三 辅助角公式
例3 将下列各式写成 的形式：
（1） ；
解：
.
（2） .
解：原式
.
变式 __ ___.
[解析] 原式 .
方法一：原式
.
[解析] 原式 .
方法二：原式
.
［素养小结］
一般地，对于 形式的代数式，可以提取 ，
化为 的形式，公式
(或
)称为辅助角公式.利用辅助角
公式可对代数式进行化简或求值.
例4 已知函数，，求函数
的值域.
解： ，
因为，所以 ,
所以.所以函数的值域为 .
变式 已知 .
（1）求 的值域；
解：，所以的值域为 .
（2）若，，求 的值.
解：由（1）得，
因为 ，所以,，，
所以,
所以 .
［素养小结］
（1）用辅助角公式化成一角一函数，即
的形式.
（2）根据三角函数的单调性求其值域.
探究点四 证明问题
例5 已知 ，，且 .
求证： .
证明： ，
， ，
.
，，，易知 ，
，式两边同除以 得，
.
［素养小结］
利用公式证明恒等式时：
（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地
找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.
（2）注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能
直接运用公式.
对两角和与差的正弦、余弦公式的理解
（1）两角和与差的正弦公式与两角和与差的余弦公式一样，公式对
分配律不成立，即一般情况下， .
（2）和（差）角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和（差）角公
式的特例.如
.
当 或 中有一个角是 的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便.
（3）使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简
时，不要将 和
展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
.
1.正用逆用以及整体性
例1（1） 已知 为锐角，且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由 为锐角，且，得 ，所以
.故选D.
√
（2） ( )
A. B. C. D.
[解析]
.故选A.
√
例2 [2024·广东佛山高一期中] 已知, ，求
和 的值.
解：由，得 ，则 .
由可得 ，由可得 ，两式相加可得，故 ，
.
2.三角函数式的化简
例3 的值为_ __.
[解析]
.10.1.2 两角和与差的正弦
【课前预习】
知识点一
1.sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (2)当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin α-sin β.
(3)当α=30°,β=-30°时,sin(α+β)=sin α+sin β成立.
(4)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1.
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (1)3sin x-cos x=2=2=2sin.
(2)方法一:2sin θ+2cos θ=2=2sin.
方法二:2sin θ+2cos θ=2=2cos.
【课中探究】
探究点一
例1 (1) (2) [解析] (1)sin 71°cos 41°-cos 71°sin 41°=sin(71°-41°)=sin 30°=.
(2)原式=sin(x+27°)cos(18°-x)-cos(x+27°)·sin(x-18°)
=sin(x+27°)cos(18°-x)+cos(x+27°)sin(18°-x)=sin[(x+27°)+(18°-x)]=sin 45°=.
变式 (1)A (2)B [解析] (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°-cos(180°-20°)sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.故选A.
(2)cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-,∵sin 15°=sin(45°-30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=×-×=,
∴cos 150°+2sin 15°=-+2×=.故选B.
探究点二
例2 解:(1)因为α,β∈,所以α-β∈,又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,所以sin α==,cos(α-β)==,所以cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)=×-×=.
(2)方法一:sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,又因为β∈,所以β=.
方法二:cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,又因为β∈,所以β=.
变式1 解:因为cos α=-,α∈(0,π),sin β=-,β是第三象限角,
所以sin α==,cos β=-=-.
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×-×=-.
变式2 解:(1)因为0<α<,0<β<,所以-<α-β<,又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<,
所以cos(α-β)==,
又cos α=,α为锐角,所以sin α==.
因为2α-β=α+(α-β),
所以sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)=×+×=.
(2)因为β=α-(α-β),
所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,
又因为0<β<,所以β=.
探究点三
例3 解:(1)sin x-cos x=2=
2=2sin.
(2)原式==
=
cos=cos=sin.
变式 - [解析] 原式=2.
方法一:原式=2=
2=2sin=
2sin=-.
方法二:原式=2=
-2=-2cos=
-2cos=-.
例4 解:f(x)=2sin-2cos x=sin x-cos x=2sin,因为x∈,
所以x-∈,
所以≤sin≤1.所以函数f(x)的值域为[1,2].
变式 解:(1)f(x)=sin x+cos=sin x+
=cos x-sin x=cos,所以f(x)的值域为[-1,1].
(2)由(1)得cos=,因为α∈,所以α+∈,所以sin===,
所以sin α=sin =sincos -cossin =×-×=.
探究点四
例5 证明:∵sin(α+2β)=sin α,
∴sin[(α+β)+β]=sin[(α+β)-β],
∴sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β=[sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β],
∴sin(α+β)cos β=6cos(α+β)sin β①.
∵α,β∈,∴ α+β∈(0,π),易知cos(α+β)≠0,cos β≠0,∴①式两边同除以cos(α+β)cos β得,tan(α+β)=6tan β.10.1.2 两角和与差的正弦
1.A [解析] sin 35°cos 5°-cos 35°sin 5°=sin(35°-5°)=sin 30°=.
2.C [解析] sin(-285°)=-sin(360°-75°)=sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°
+cos 45°sin 30°=×+× =.故选C.
3.B [解析] sin 15°+cos 15°=×=sin(15°+45°)=
sin 60°=.故选B.
4.C [解析] 因为cos B=,B∈(0,π),所以sin B==,又A=,
所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.故选C.
5.A [解析] 原式=·sin 40°=
==
===-1.
6.A [解析] sin+sin=sin+sin=cos+sin=2=2=2sin=2sin.
7.D [解析] 由题意知sin αcos β-cos αsin β=,即sin(α-β)=,又0<β<α<,∴cos(α-β)==.∵cos α=,0<α<,∴sin α=,∴sin β=sin[α-(α-β)]=
sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=,又0<β<,∴β=.故选D.
8.ACD [解析] 对于A选项,cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°,故A正确;对于B选项,cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°,故B错误;对于C选项,sin=sin αcos+cos αsin=sin α+cos α,故C正确;对于D选项,sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos[(α+45°)-α]=cos 45°=sin 45°,故D正确.故选ACD.
9.ACD [解析] f(x)=sin 2x+sin=sin 2x+sin 2x+cos 2x=sin.对于A,f(x)的最小正周期T==π,故A正确;对于B,f=sin=≠0,故B错误;对于C,f(x)max=,故C正确;对于D,f=sin=,故D正确.故选ACD.
10.- [解析] 由已知得cos [(α+β)-α]=cos β=-,又∵450°<β<540°,∴sin β=,∴sin(60°-β)=×-×=-.
11.-1 [解析] 因为sin=-,所以cos x+cos=cos x+sin x==sin=-1.
12.或 [解析] 当A,B均为锐角时,cos A==,cos B==,所以sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=×-×=;当A为钝角,B为锐角时,
sin A=sin(π-A)>sin B,且0<π-A<,0
B,即A+B<π,符合要求,
所以cos A=-=-,cos B==,所以sin(A-B)=sin Acos B-
cos Asin B=×-×=;当A为锐角,B为钝角时,sin A>sin(π-B)=sin B,且0<π-B<,0π,不符合要求;显然A,B不可能同为钝角.综上可知,sin(A-B)的值为或.
13.解:(1)由α,β∈,得α-β∈,由sin(α-β)=,得cos(α-β)==,
由cos α=,得sin α==,
则sin(2α-β)=sin[(α-β)+α]=sin(α-β)cos α+cos(α-β)sin α=×+×=.
(2)sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=,
又β∈,故β=.
14.证明:左边==
=
=
=
-=
-=-=右边,得证.
15. [解析] 由题意可得β=α+,y1=sin α,y2=sin β=sin=-sin α+cos α,所以y1-y2=sin α+sin α-cos α==sin,因为α∈,所以α-∈,则sin∈,所以y1-y2=sin∈.
16.解:(1)由f=Asin=Asin=A·=,得A=3.
(2)由f(θ)-f(-θ)=,得3sin-3sin=,即3-3=,故sin θ=.
因为θ∈,所以cos θ=,所以f=3sin=3sin=3cos θ=.10.1.2 两角和与差的正弦
【学习目标】
1.了解两角和与差的正弦公式的推导过程.
2.掌握两角和与差的正弦公式、辅助角公式,并能灵活运用公式进行简单的求值、计算与证明.
◆ 知识点一 两角和与差的正弦
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α+β) sin(α+β)= α,β∈R
两角差的正弦 S(α-β) sin(α-β)= α,β∈R
记忆口诀:“正余余正,符号相同”.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦公式中的角α,β是任意的. ( )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立. ( )
(3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立. ( )
(4)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x)=1. ( )
◆ 知识点二 辅助角公式
asin x+bcos x=,
令cos φ=,sin φ=,则有asin x+bcos x=(cos φsin x+sin φcos x)
=sin(x+φ),其中tan φ=,φ为辅助角.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)3sin x-cos x=2sin. ( )
(2)2sin θ+2cos θ=2cos. ( )
◆ 探究点一 化简求值
例1 (1)sin 71°cos 41°-cos 71°sin 41°= .
(2)sin(x+27°)cos(18°-x)-sin(63°-x)·sin(x-18°)= .
变式 (1)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°的值为 ( )
A. B.- C. D.-
(2)cos 150°+2sin 15°= ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
解决给角求值问题的策略:
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,若整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形;
(2)在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时,首先要看结构是否符合公式特点,其次看角是否满足要求.
◆ 探究点二 给值求值与给式求值
例2 已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈.
(1)求cos(2α-β)的值;
(2)求角β的值.
变式1 已知cos α=-,α∈(0,π),sin β=-,β是第三象限角,求sin(α+β)的值.
变式2 [2024·江苏连云港高一期中] 已知锐角α,β满足cos α=,sin(α-β)=.
(1)求sin(2α-β)的值;
(2)求β的值.
[素养小结]
解决给值求值与给式求值问题时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把所求角表示为已知两角的和或差;(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
◆ 探究点三 辅助角公式
例3 将下列各式写成Asin(ωx+φ)的形式:
(1)sin x-cos x;
(2)sin+cos.
变式 sin-cos= .
[素养小结]
一般地,对于asin α+bcos α形式的代数式,可以提取,化为Asin(ωx+φ)的形式,公式asin α+bcos α=sin(α+φ)(或asin α+bcos α=cos(α-φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.
例4 已知函数f(x)=2sin-2cos x,x∈,求函数f(x)的值域.
变式 已知f(x)=sin x+cos.
(1)求f(x)的值域;
(2)若f(α)=,α∈,求sin α的值.
[素养小结]
(1)用辅助角公式化成一角一函数,即asin x+bcos x=sin(x+φ)的形式.
(2)根据三角函数的单调性求其值域.
◆ 探究点四 证明问题
例5 已知α,β∈,且sin(α+2β)=sin α.
求证:tan(α+β)=6tan β.
[素养小结]
利用公式证明恒等式时:
(1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用,要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同,并积极创造条件逆用公式.
(2)注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式.10.1.2 两角和与差的正弦
一、选择题
1.sin 35°cos 5°-cos 35°sin 5°= ( )
A. B.1
C.2 D.2sin 40°
2.sin(-285°)= ( )
A. B.-
C. D.-
3.sin 15°+cos 15°的值是 ( )
A.- B.
C. D.
4.[2024·广州越秀区高一期末] 在△ABC中,A=,cos B=,则sin C= ( )
A. B.-
C. D.-
5.(tan 10°-)·sin 40°= ( )
A.-1 B.
C.- D.1
6.sin+sin的化简结果是 ( )
A.2sin
B.2sin
C.2sin
D.2sin
7.[2024·江苏江都中学高一月考] 定义运算=ad-bc,若cos α=,=,0<β<α<,则β等于 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列各式正确的是 ( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 75°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin=cos α+sin α
D.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=sin 45°
9.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+sin,则 ( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.曲线y=f(x)关于点对称
C.f(x)的最大值为
D.曲线y=f(x)关于直线x=对称
二、填空题
10.若cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-,且450°<β<540°,则sin(60°-β)= .
11.已知sin=-,则cos x+cos= .
12.[2024·浙江学军中学高一月考] 在△ABC中,sin A=,sin B=,则sin(A-B)= .
三、解答题
13.[2024·江苏新海高级中学月考] 已知α,β∈,且cos α=,sin(α-β)=.
(1)求sin(2α-β)的值;
(2)求β的值.
14.证明:-2cos(A-B)=-.
15.以原点O为顶点,以Ox为始边作角α,β,角α的终边与单位圆交于点P(x1,y1),将角α的终边逆时针旋转得到角β的终边,角β的终边与单位圆交于点Q(x2,y2),则y1-y2的取值范围为 .
16.已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f.