(共31张PPT)
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.3 两角和与差的正切
探究点一 正切公式的正用
探究点二 正切公式的变形使用
探究点三 正切公式的综合应用
【学习目标】
1.了解两角和与差的正切公式的推导过程.
2.掌握两角和与差的正切公式,并能灵活运用公式进行简单的求
值、计算与证明.
知识点 两角和与差的正切公式
1.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和 的正切
两角差 的正切
2.两角和与差的正切公式的变形
（1） 的变形
_________________________.
___________.
_ ____________.
（2） 的变形
_________________________.
___________.
_ ____________.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）对于任意 ，， 都成立.( )
×
[解析] 当 时，等式不成立.
（2） .( )
√
[解析] ,
,
.
探究点一 正切公式的正用
例1（1） 已知，，求 的值.
[解析] .
（2）已知 ， 均为锐角，，，求 的值.
[解析] 因为， ，
所以.
因为 ， 均为锐角，所以，所以 .
变式1 [2024·南京六校高一月考] 已知 ， 均为锐角，
，，则 的值为__.
[解析] 因为 ， 均为锐角，， ，所以
，，故 .
变式2 已知 , 均为锐角，， ，求
的值.
解：因为 , 均为锐角，所以 .
又因为 ，所以，
所以 .因为，所以 ，
所以 .
［素养小结］
（1）注意用已知角来表示未知角.
（2）利用公式 求角的步骤：
①计算待求角的正切值.
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息.
③根据角的范围及三角函数值确定角.
探究点二 正切公式的变形使用
例2（1） ____.
[解析] 原式 .
（2）计算： .
解： ，
所以 .
变式 若锐角 ， 满足，求
的值.
解：， ，
.
又 ， 均为锐角， ， .
［素养小结］
两角和与差的正切公式有两种变形形式：
或
.当 为特殊角时，常考虑使用变
形形式①，遇到1与正切的乘积的和（或差）时常用变形形式②.合理
选用公式解题能起到快速、简捷的效果.
注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式
一致的形式，当式子中出现，1， 这些特殊角的三角函数值时，
往往是“由值变角”的提示.
探究点三 正切公式的综合应用
例3 求证:当 时，
.
证明：因为 ，
所以 .
例4 高度为的镜子挂在墙面上，镜子的下端离地面 ，一人
直立时，眼睛离地面 ，当此人离墙面多远时，看镜子上、下端
的视角最大.
解：如图所示，为镜子高度， 为镜子下端离地面的
距离，为人的眼睛离地面的距离，，垂足为 ，
则,，设 ，
则 ，当且仅当时取等号，此时 最大，即当此人离墙面的距离为 时，看镜子上、下端的视角最大.
变式1 证明：在斜三角形 中， .
证明：在斜三角形中，由 ，
得 ，
化简得 ，
因为为斜三角形，所以,, ，
所以 .
变式2 如图，为钝角三角形，， 为垂
足，在的外部，且 ，则
__.
[解析] 且 ，
， ，故
.
［素养小结］
应用公式解决实际问题时，首先根据条件画出图形，再根据图形，
将所求角转化为已知角的和或差，再利用公式进行求解.
对两角和与差的正切公式的理解
（1）公式的适用范围：由正切函数的定义可知 ， ，
（或）的终边不能落在 轴上.
（2）公式的逆用：一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值
代换，如，， 等.特别要注意
， .
（3）对于公式， 可记为“分子同，分母异”.
（4）公式的变形：只要见到 ， 时，要有灵
活应用公式的意识.特别是 ， 容易
与根与系数的关系联系，应注意此类题型.
1.求值
例1（1） 若，则 ( )
A. B. C.1 D.3
[解析] 因为 ，所以 ，
则 .故选B.
√
（2）[2024·盐城五校高一月考] ___.
2
[解析] 因为 ，
整理得，
所以 .
2.两角和与差的三角函数公式的应用
例2 已知正方形的边长为1，点，分别在边， 上，设
， .
（1）若，求 的最大值；
解：在中， ，在中， .
因为，所以 ， ，所以
，
所以 ，
当时，取得最小值 ，
所以的最大值为 .
（2）若的周长为2，求 的大小.
解：因为 的周长为2，所以 ，
即 ，同时平方可得
，
化简得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 .10.1.3 两角和与差的正切
【课前预习】
知识点
1.
2.(1)tan(α+β)(1-tan αtan β) tan(α+β) 1-
(2)tan(α-β)(1+tan αtan β) tan(α-β) -1
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)当α=时,等式不成立.
(2)∵=tan(12°+33°)=tan 45°=1,∴tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,
∴tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.
【课中探究】
探究点一
例1 解析:(1)tan β=tan[(α+β)-α]===3.
(2)因为tan α=,tan β=,所以tan(α+β)===1.因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.
变式1 [解析] 因为α,β均为锐角,tan α=,tan β=,所以0<α+β<π,tan(α+β)===1,故α+β=.
变式2 解:因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π).
又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,所以tan(α+β)=-2.
因为tan α=,所以tan 2α==-,所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.
探究点二
例2 (1) [解析] 原式==tan(45°+15°)=tan 60°=.
(2)解:tan 73°-tan 13°=tan 60°(1+tan 73°tan 13°)=(1+tan 73°tan 13°),
所以tan 73°-tan 13°-tan 73°tan 13°=.
变式 解:∵(1+tan α)(1+tan β)=1+(tan α+tan β)+3tan αtan β=4,
∴tan α+tan β=(1-tan αtan β),
∴tan(α+β)==.
又∵α,β均为锐角,∴0°<α+β<180°,∴α+β=60°.
探究点三
例3 证明:因为α+β=k·180°+45°(k∈Z),所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+
tan αtan β=1+tan(α+β)(1-tan αtan β)+tan αtan β=1+tan(45°+k·180°)(1-tan αtan β)+
tan αtan β=1+tan 45°(1-tan αtan β)+tan αtan β=1+1-tan αtan β+tan αtan β=2(k∈Z).
例4 解:如图所示,CD为镜子高度,CF为镜子下端离地面的距离,AE为人的眼睛离地面的距离,AB⊥CF,垂足为B,则BC=1,CD=1,设AB=x(x>0),
则tan∠CAD=tan(∠BAD-∠BAC)===≤,当且仅当x=时取等号,此时∠CAD最大,即当此人离墙面的距离为 m时,看镜子上、下端的视角最大.
变式1 证明:在斜三角形ABC中,由A+B+C=π,得tan C=-tan(A+B)=-,
化简得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,
因为△ABC为斜三角形,所以tan A,tan B,tan C≠0,
所以++=1.
变式2 [解析] ∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD=2∶3∶6,∴tan∠BAD==,
tan∠CAD==,故tan∠BAC=tan(∠CAD-∠BAD)==
=.10.1.3 两角和与差的正切
1.D [解析] ∵tan α=,∴tan===7.故选D.
2.C [解析] ∵tan===-,∴tan α=-2.∵点P(1,a)在角α的终边上,∴tan α==a,∴a=-2.
3.D [解析] tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===.
4.D [解析] 原式===tan(30°-75°)=-tan 45°=-1.故选D.
5.D [解析] 因为cos α=,α∈,所以sin α=-=-,可得tan α==-,所以tan(α-β)===-2.故选D.
6.B [解析] 如图,连接BC.在Rt△ABC中,BC=2,AC=6,则tan α==.在Rt△DEF中,EF=2,DE=4,则tan β==,所以tan(α+β)===1,又α,β∈(0°,45°),所以α+β=45°.故选B.
7.C [解析] 由A,B为△ABC的内角,tan Atan B>1,可得A,B都是锐角,即tan A和tan B都是正数,∴tan(A+B)=<0,故A+B为钝角.由三角形的内角和为180°可得,内角C为锐角,故△ABC是锐角三角形,故选C.
8.D [解析] 因为α+β=,所以tan(α+β)=tan=-1,所以=-1,
所以tan α+tan β=tan αtan β-1,所以(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=
1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2.故选D.
9.ABC [解析] tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=tan 60°·(1-tan 25°·tan 35°)
+tan 25°tan 35°=,故A正确;2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°)
=2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin(35°+25°)=,故B正确;==tan 60°=,故C正确;(tan 10°-)·=(tan 10°-
tan 60°)·=·=·=-2,故D错误.故选ABC.
10. [解析] 因为tan(α+β)=,所以1-tan αtan β===,
所以tan α·tan β=1-=.
11.(1-a) [解析] ∵tan(28°+32°)==,∴tan 28°+tan 32°=(1-a).
12. [解析] 由根与系数的关系可得tan α+tan β=,tan αtan β=,故tan(α+β)===1,又tan α>0,α∈(0,π),所以α∈,同理可得β∈,故α+β∈(0,π),所以α+β=.
13.解:(1)因为sin α=,且α为第二象限角,所以cos α=-=-,所以tan α==-.
(2)tan(2α+β)=tan[α+(α+β)]===-.
14.解:(1)由条件得cos α=,cos β=,因为角α,β是锐角,所以sin α=,sin β=,故tan α=,tan β=,则tan(α-β)==.
(2)由(1)得tan(α+β)==1,又角α,β是锐角,所以0<α+β<π,故α+β=.
15.等腰三角形 [解析] tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)===-,∵0°
16.解:(1)因为在直角三角形ABC中,∠CAB=30°,∠B=90°,BC=m,所以AB=m.
因为DE=5,点E是DC的中点,所以DB=2DE+BC=10+m,所以tan∠DAB==.
(2)由(1)知tan∠DAB=,其中BC=m,在直角三角形EAB中,tan∠EAB=,又因为tan∠DAE=,∠DAB=∠EAB+∠DAE,
所以tan∠DAB=tan(∠EAB+∠DAE)=,
即=,解得m=或m=5,
因为AC>5,所以m=5,所以AC==10,
所以扶梯AC的长度为10米.10.1.3 两角和与差的正切
【学习目标】
1.了解两角和与差的正切公式的推导过程.
2.掌握两角和与差的正切公式,并能灵活运用公式进行简单的求值、计算与证明.
◆ 知识点 两角和与差的正切公式
1.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α+β) tan(α+β)= α,β,α+β均不等于kπ+(k∈Z)
两角差的正切 T(α-β) tan(α-β)= α,β,α-β均不等于kπ+(k∈Z)
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α+β)的变形
tan α+tan β= .
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= .
tan αtan β= .
(2)T(α-β)的变形
tan α-tan β= .
tan α-tan β-tan αtan βtan (α-β)= .
tan αtan β= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对于任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立. ( )
(2)tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1. ( )
◆ 探究点一 正切公式的正用
例1 (1)已知tan α=-2,tan(α+β)=,求tan β的值.
(2)已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,求α+β的值.
变式1 [2024·南京六校高一月考] 已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,则α+β的值为 .
变式2 已知α,β均为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,求tan(α-β)的值.
[素养小结]
(1)注意用已知角来表示未知角.
(2)利用公式T(α+β)求角的步骤:
①计算待求角的正切值.
②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息.
③根据角的范围及三角函数值确定角.
◆ 探究点二 正切公式的变形使用
例2 (1)= .
(2)计算:tan 73°-tan 13°-tan 73°tan 13°.
变式 若锐角α,β满足(1+tan α)(1+tan β)=4,求α+β的值.
[素养小结]
两角和与差的正切公式有两种变形形式:
①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)或②1 tan α·tan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.
注意正切公式的结构特征,遇到两角正切的和与差,构造成与公式一致的形式,当式子中出现,1,这些特殊角的三角函数值时,往往是“由值变角”的提示.
◆ 探究点三 正切公式的综合应用
例3 求证:当α+β=k·180°+45°(k∈Z)时,(1+tan α)(1+tan β)=2.
例4 高度为1 m的镜子挂在墙面上,镜子的下端离地面2.7 m,一人直立时,眼睛离地面1.7 m,当此人离墙面多远时,看镜子上、下端的视角最大.
变式1 证明:在斜三角形ABC中,++=1.
变式2 如图,△ABC为钝角三角形,AD⊥BC,D为垂足,D在△ABC的外部,且BD∶CD∶AD=2∶3∶6,则tan∠BAC= .
[素养小结]
应用公式解决实际问题时,首先根据条件画出图形,再根据图形,将所求角转化为已知角的和或差,再利用公式进行求解.10.1.3 两角和与差的正切
一、选择题
1.已知tan α=,则tan= ( )
A.-7 B.-1
C. D.7
2.已知点P(1,a)在角α的终边上,tan=-,则实数a的值是 ( )
A.2 B.
C.-2 D.-
3.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α= ( )
A. B.
C. D.
4.= ( )
A.- B.-
C.-2 D.-1
5.[2024·南京六校高一期末] 已知cos α=,α∈,tan β=,则tan(α-β)的值为 ( )
A.- B.-
C.- D.-2
6.八角星纹是一种有八个均等的向外突出的锐角的几何纹样(如图①),它具有组合性强、结构稳定等特点.有的八角星纹中间镂空出一个正方形,有的由八个菱形组成,内部呈现米字形线条.八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中.在如图②所示的八角星纹中,各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形,中间的四边形是边长为2的正方形,在图②的基础上连接线段,得到角α,β,如图③所示,则α+β= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
7.在△ABC中,若tan Atan B>1,则△ABC是 ( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
8.[2024·湖北部分重点高中高一月考] 若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)的值为 ( )
A. B.1
C. D.2
9.(多选题)下列式子的结果为的有 ( )
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°
B.2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°)
C.
D.(tan 10°-)·
二、填空题
10.已知tan α+tan β=2,tan(α+β)=4,则tan α·tan β= .
11.若tan 28°tan 32°=a,则tan 28°+tan 32°= .
12.tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两个实数根,若α,β∈(0,π),则α+β= .
三、解答题
13.已知sin α=,且α为第二象限角,
(1)求cos α,tan α的值;
(2)若tan(α+β)=,求tan(2α+β)的值.
14.在平面直角坐标系xOy中,以原点为顶点,以x轴的非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
15.在△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B+1=tan Atan B,则△ABC的形状是 .
16.[2024·湖北重点中学高一期中] 某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(AC>5米)的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE.如图所示,BC⊥AB,广告牌底部点E正好为DC的中点,电梯AC的坡角∠CAB=30°.某人在A点处观测到广告牌的视角∠DAE的正切值为.
(1)设BC的长为m米,用m表示tan∠DAB;
(2)求扶梯AC的长.