(共41张PPT)
10.2 二倍角的三角函数
探究点一 利用倍角公式求解
探究点二 给值求值
探究点三 利用倍角公式证明
探究点四 倍角公式在实际生活中的应用
【学习目标】
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将
公式变形应用.
知识点一 倍角公式
1. ,令 ,得
.
2. ,令 ,得
___________ _ .
3. ,令 ,得 .
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 是 的倍角， 是 的倍角.( )
√
[解析] 是 的2倍， 是 的2倍.
（2）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
×
[解析] 二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的
正切公式，要求 且 .
（3）存在角 ，使得 成立.( )
√
[解析] 当时， .
知识点二 二倍角公式的逆用
_______, ________，
_______, _______.
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） .( )
×
[解析] .
（2） .( )
√
[解析] .
2.你能用 与 表示 吗？试试看.
解： .
知识点三 升幂公式与降幂公式
升幂公式:
________, _______,
________, _______.
降幂公式:
_____________,_____________， _______.
探究点一 利用倍角公式求解
例1 求下列各式的值:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
变式 求下列各式的值:
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
［素养小结］
对于给角求值问题，一般有两类：
（1）直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数关系
对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用倍角的
正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用倍角公式的
条件，使得问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式.
探究点二 给值求值
例2（1） 已知,,则____, ______,
____, _ ___.
[解析] 由,,得 ,
,
, .
（2）已知,,求 和 的值.
解：由,得,则,即 .
因为,所以,所以 ,
故 .
变式（1） 若，则 __.
[解析] 因为 ，
所以
.
（2）已知 为锐角，若，则 ____.
[解析] 令，则，由得， .
因为 为锐角，所以，所以，即 ，
所以 ，
所以 .
（3）已知，求 ， 的值.
解： ，
因为，所以 . ，
则 .
［素养小结］
（1）条件求值问题常有两种解题途径：
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名
靠拢.
②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名
靠拢，以便将题设条件代入结论.
（2）一个重要结论： .
探究点三 利用倍角公式证明
例3 证明： .
证明： .
变式 求证： .
证明：左边 右边.
［素养小结］
证明与三角函数有关问题的一般步骤:找出角、函数名称、式子结构
等方面的差异,根据“复角化单角”“异名化同名”“切化弦”“变量集中”
等原则,消除差异.
拓展 已知 ,,且, ,
求证: .
证明：由得 ①，
由得 .
，，，， ，由①②得
，即，即 ，
又 , .
探究点四 倍角公式在实际生活中的应用
例4 [2024·江苏无锡高一期末] 如图，有一块半径为2的半圆形钢板，
其中为圆心，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底 是半
圆的直径，上底的端点在圆周上.记梯形的周长为 ，
.
（1）将表示成 的函数；
解：由是半圆的直径，得 ，
则 ，
过作交于，连接 ，如图，
则 , ，
故 ，
所以, .
（2）求梯形 周长的最大值.
解：由（1）知，
, ，
设 ，
则，显然当时， 有最大值10，
所以梯形 周长的最大值是10.
变式 如图，点在直径的半圆上移动，过作半圆的切线
且， ，问 为何值时，四边形 面积最大？
解：连接，如图所示， 为半圆的直径， ，
又， ， ， .
又与半圆相切于点 ， ，
.
， ，
当，即时， 最大.
［素养小结］
利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量
常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围.
1.对倍角公式的理解
（1）公式的特征:公式左边是含 的三角函数的一次式,右边是含
的三角函数的二次式,即从左到右是升幂缩角,从右到左是降幂扩角.
（2）成立的条件:在公式,中,角 可以为任意角；只有当
且时公式 才成立.
（3）倍角公式中的“倍角”是相对的,不仅限于 是 的二倍形式，
只要两个角的比值等于2即可，如 是 的二倍， 是 的二
倍， 是 的二倍， 是 的二倍，是的二倍，是 的二
倍，是 的二倍等.
（4）一般情况下, ,只有当 , 时,
才成立.同理， , 在
一般情况下也不成立.
2.倍角公式的有关变形
（1） ;
; .
（2）, .
1.与倍角有关的求值问题
正确处理角的倍角关系是求三角函数值的关键,在解决这种题型时,要
正确处理角的倍半关系.如 是 的二倍, 是 的二倍, 是
的二倍, 是 的二倍.同时要把已知角与所求角联系起来,
适当进行角的变换、幂的变换及结构的变换,既要结合已知条件,又要
增强目标意识,灵活运用所学的各种公式.
例1 已知，求 的值．
解：由 ，解得或 .
因为 ，
所以当时， ;
当时， .
综上， .
2.用倍角公式化简
切化弦、（ 的变形）、降幂与升幂是三角变形中
的常用技巧.通分、配方、因式分解则是三角变形中常用的代数变形
技巧.
例2 化简:
.
解：原式
.
3.用倍角公式证明
（1）观察式子两边的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都
比较复杂，那就将两边都化简，即采用“两头凑”的思想.
（2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方
面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“切化弦”等原则，设
法消除差异，达到证明的目的.
例3 求证：
（1） ；
证明：左边
右边，得证．
（2） .
解：方法一：左边 右
边，得证．
方法二：右边
左边，得证．10.2 二倍角的三角函数
【课前预习】
知识点一
1.sin αcos β+cos αsin β 2sin αcos α
2.cos αcos β-sin αsin β cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α
3.
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)10α是5α的2倍,5α是的2倍.
(2)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求α≠+kπ且α≠±+kπ(k∈Z).
(3)当α=kπ(k∈Z)时,sin 2α=2sin α.
知识点二
sin 2α sin 2α cos 2α tan 2α
诊断分析
1.(1) × (2)√ [解析] (1)sin 15°cos 15°=sin 30°=.
(2)1-2sin222.5°=cos 45°=.
2.解:1±sin 2α=sin2α±2sin αcos α+cos2α=(sin α±cos α)2.
知识点三
2cos2α 2sin2α 2cos2 2sin2 (1+cos 2α)
(1-cos 2α)
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)=cos2-sin2=cos=-.
(2)=====-2.
(3)cos 36°cos 72°====.
变式 解:(1)sincos=×2sin×cos=×sin=×=.
(2)cos415°-sin415°=(cos215°-sin215°)(cos215°+sin215°)=cos215°-sin215°=cos 30°=.
(3)1-2sin2750°=cos 1500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=.
探究点二
例2 (1) - - [解析] 由x∈(0,π),cos x=-,得sin x==,∴sin 2x=2sin xcos x=2××=-,cos 2x=2cos2x-1=-,tan 2x==.
(2)解:由tan α+=,得+=,则=,即sin 2α=.因为α∈,所以2α∈,所以cos 2α=-=-,故sin=sin 2α·cos+cos 2α·sin=×-×=.
变式 (1) (2) [解析] (1)因为sin=,所以sin=sin=cos 2=1-2sin2=.
(2)令t=α+,则α=t-,由cos=得,cos t=.因为α为锐角,所以0<α<,所以<α+<,即(3)解:sin 2α=2sin αcos α===,因为tan α=2,
所以sin 2α==.
tan 2α===-,则tan 3α=tan(2α+α)====.
探究点三
例3 证明:====tan α+.
变式 证明:左边=·==tan 2α=右边.
拓展 证明:由3sin2α+2sin2β=1得3sin2α=1-2sin2β=cos 2β①,由sin 2α-sin 2β=0得3sin αcos α=sin 2β②.
∵α,β∈,∴cos α≠0,sin α≠0,sin 2β≠0,由①②得=,
即cos αcos 2β-sin αsin 2β=0,即cos(α+2β)=0,又0<α+2β<π,∴α+2β=.
探究点四
例4 解:(1)由AB是半圆的直径,得AC⊥BC,则AD=BC=ABsin∠CAB=4sin θ,
过O作OE⊥CD交CD于E,连接CO,如图,则∠COB=2θ,∠EOC=-2θ,
故CD=2CE=2OCsin∠EOC=4cos 2θ,
所以y=8sin θ+4cos 2θ+4,θ∈.
(2)由(1)知,y=8sin θ+4cos 2θ+4=-8sin2θ+8sin θ+8,θ∈,设t=sin θ∈,则y=-8t2+8t+8,显然当t=时,y有最大值10,
所以梯形ABCD周长的最大值是10.
变式 解:连接BP,如图所示,∵AB为半圆的直径,
∴∠APB=90°,又AB=1,∠PAB=α,
∴PA=ABcos α=cos α,PB=ABsin α=sin α.
又PT与半圆相切于点P,
∴∠TPB=∠PAB=α,
∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·(PB·sin α)=sin αcos α+sin2α=sin 2α+(1-cos 2α)=(sin 2α-cos 2α)+=sin+.
∵0<α<,∴-<2α-<,
∴当2α-=,即α=时,S四边形ABTP最大.10.2 二倍角的三角函数
1.C [解析] sin275°-sin215°=sin2(90°-15°)-sin215°=cos215°-sin215°=cos 30°=.故选C.
2.C [解析] 由tan x=2,得tan 2x==-,故选C.
3.C [解析] 因为sin θ=且θ∈,所以cos θ=-,所以sin 2θ=2sin θcos θ=-.故选C.
4.A [解析] 由3cos 2α-8cos α=5,得6cos2α-8cos α-8=0,即3cos2α-4cos α-4=0,
解得cos α=-或cos α=2(舍去),又∵α∈(0,π),∴sin α==.故选A.
5.C [解析] ∵sin α=2sincos=2××<0,cos α=cos2-sin2=-<0,∴α是第三象限角.故选C.
6.A [解析] sin=sin=cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.故选A.
7.C [解析] ∵π的近似值可以表示成4cos 38°,∴≈====8.故选C.
8.D [解析] cos=3cos,即cos θcos-sin θsin=3cos θcos+3sin θsin,所以cos θ-sin θ=cos θ+sin θ,整理得-cos θ=2sin θ,故tan θ=-,
则sin 2θ=2sin θcos θ====-.故选D.
9.ABD [解析] 对于A选项,2cos 15°cos 75°=2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故A正确;对于B选项,+2sin215°=+1-cos 30°=+1-=1,故B正确;
对于C选项,=tan 30°=,故C错误;对于D选项,====,故D正确.故选ABD.
10.- [解析] 因为2sin 2α=cos 2α+1,所以4sin αcos α=2cos2α,因为α∈,所以cos α<0,sin α<0,则2sin α=cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,由cos α<0,得cos α=-.
11.- [解析] 设等腰三角形的底角为α,则α必为锐角,顶角为π-2α.由题意可知,
sin α=,∴cos α=,∴tan α=,则tan 2α===,故tan(π-2α)=-tan 2α=-.
12.- - [解析] 因为sin=,所以cos=cos=sin=sin=sin=sin=-sin=-.因为α∈,所以α-∈,则sin==,所以sin=sin 2=2sincos=2××=-.
13.解:方法一:因为α是第一象限角,所以+α为第一象限角或第二象限角,又cos=-,所以sin==,所以cos 2α=cos=
sin 2=2sincos=-.
方法二:因为α是第一象限角,所以+α为第一象限角或第二象限角,又cos=-,所以sin==,
所以cos α=cos=coscos+sinsin=-×+×=,
所以cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.
14.解:(1)sin α=2-4cos2=2-4×=2-2-2cos α,即sin α=-2cos α,所以tan α=-2,
则cos 2α-2sin αcos α====.
(2)因为β∈,所以tan β>0,由tan2β-2tan β-3=0,即(tan β-3)(tan β+1)=0,解得tan β=3或tan β=-1(舍去),所以tan 2β===-,所以tan(α+2β)===.
15.C [解析] 因为(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,所以2cos2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,因为α∈,所以cos α≠0,所以cos α(1+sin β)=sin αcos β,所以cos α=
sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β),所以sin=sin(α-β).因为α,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,又y=sin x在上单调递增,所以-α=α-β,即2α-β=.故选C.
16.证明:因为tan(α-β)=sin 2β,tan(α-β)=,sin 2β=2sin βcos β==,所以=,整理得tan α=,
所以tan α+tan β===2tan 2β,原等式成立.10.2 二倍角的三角函数
【学习目标】
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公式变形应用.
◆ 知识点一 倍角公式
1.sin(α+β)= ,令β=α,得sin 2α= .
2.cos(α+β)= ,令β=α,得cos 2α= = = .
3.tan(α+β)= ,令β=α,得tan 2α= .
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)10α是5α的倍角,5α是的倍角. ( )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. ( )
(3)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立. ( )
◆ 知识点二 二倍角公式的逆用
2sin αcos α= ,sin αcos α= ,
cos2α-sin2α= ,= .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)sin 15°cos 15°=. ( )
(2)1-2sin222.5°=. ( )
2.你能用sin α与cos α表示1±sin 2α吗 试试看.
◆ 知识点三 升幂公式与降幂公式
升幂公式:
1+cos 2α= ,1-cos 2α= ,
1+cos α= ,1-cos α= .
降幂公式:
cos2α= ,sin2α= ,tan2= .
◆ 探究点一 利用倍角公式求解
例1 求下列各式的值:
(1);
(2);
(3)cos 36°cos 72°.
变式 求下列各式的值:
(1)sincos;
(2)cos415°-sin415°;
(3)1-2sin2750°.
[素养小结]
对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用、逆用倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用倍角公式的条件,使得问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式.
◆ 探究点二 给值求值
例2 (1)已知x∈(0,π),cos x=-,则sin x= ,sin 2x= ,cos 2x= ,tan 2x= .
(2)已知tan α+=,α∈,求cos 2α和sin的值.
变式 (1)若sin=,则sin= .
(2)已知α为锐角,若cos=,则cos= .
(3)已知tan α=2,求sin 2α,tan 3α的值.
[素养小结]
(1)条件求值问题常有两种解题途径:
①对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢.
②对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
(2)一个重要结论:(sin θ±cos θ)2=1±sin 2θ.
◆ 探究点三 利用倍角公式证明
例3 证明:=tan α+.
变式 求证:·=tan 2α.
[素养小结]
证明与三角函数有关问题的一般步骤:找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,根据“复角化单角”“异名化同名”“切化弦”“变量集中”等原则,消除差异.
拓展 已知α,β∈,且3sin2α+2sin2β=1,sin 2α-sin 2β=0,求证:α+2β=.
◆ 探究点四 倍角公式在实际生活中的应用
例4 [2024·江苏无锡高一期末] 如图,有一块半径为2的半圆形钢板,其中O为圆心,计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是半圆的直径,上底CD的端点在圆周上.记梯形ABCD的周长为y,∠CAB=θ.
(1)将y表示成θ的函数;
(2)求梯形ABCD周长的最大值.
变式 如图,点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作半圆的切线PT且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP面积最大
[素养小结]
利用三角函数知识解决实际问题,关键是目标函数的构建,自变量常常选取一个恰当的角度,要注意结合实际问题确定自变量的范围.10.2 二倍角的三角函数
一、选择题
1.[2024·江苏南通中学高一月考] sin275°-sin215°的值为 ( )
A.- B.
C. D.-
2.已知tan x=2,则tan 2x= ( )
A.- B.
C.- D.
3.已知sin θ=,θ∈,则sin 2θ= ( )
A.- B.
C.- D.
4.[2024·南京六校高一月考] 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= ( )
A. B.
C. D.
5.若sin=,cos=-,则角α是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
6.若cos=,则sin= ( )
A.- B.- C. D.
7.已知π的近似值可以表示成4cos 38°,则的值约为 ( )
A.- B.-8 C.8 D.
8.[2024·泰州中学高一月考] 已知cos=3cos,则sin 2θ= ( )
A. B. C.- D.-
9.(多选题)下列等式正确的是 ( )
A.2cos 15°cos 75°=
B.+2sin215°=1
C.=
D.=
二、填空题
10.[2024·山东淄博实验中学高一月考] 已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则cos α= .
11.若等腰三角形的一个底角的正弦值为,则这个三角形的顶角的正切值为 .
12.已知sin=,其中α∈,则cos= ,sin= .
三、解答题
13.已知α是第一象限角,满足cos=-,求cos 2α的值.
14.已知sin α=2-4cos2.
(1)求cos 2α-2sin αcos α的值;
(2)已知β∈,且tan2β-2tan β-3=0,求tan(α+2β)的值.
15.若α,β∈,且(1+cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,则下列结论正确的是 ( )
A.α+β= B.α+=
C.2α-β= D.α-β=
16.已知角α,β满足tan(α-β)=sin 2β,求证:tan α+tan β=2tan 2β.
