(共45张PPT)
10.3 几个三角恒等式
探究点一 积化和差与和差化积公式
探究点二 应用半角公式化简与求值
探究点三 三角函数式的化简与证明
【学习目标】
1.了解积化和差与和差化积公式的推导过程.
2.能用二倍角公式推导出半角公式.
3.能利用以上公式进行简单的求值.
知识点一 积化和差与和差化积公式
（1）积化和差公式
_________________________.
_________________________.
_________________________.
___________________________.
（2）和差化积公式
________________.
_______________.
_______________.
________________.
知识点二 半角公式
（1） _ _________.
（2） _ _________.
（3）_ ________________ _______.
知识点三 万能代换公式
（1） .
（2） .
（3） .
【诊断分析】
1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）半角公式对任意角都适用.( )
×
[解析] 当 时，半角的正切公式不成立.
（2） .( )
×
[解析] 只有当 ，即
时，才有 .
（3）存在，使得 .( )
√
[解析] 当时， 成立.
2.（1）降幂公式的等式两端的角度发生了什么变化
解：从左向右,幂次降低,角度加倍;从右向左,幂次升高,角度减半.
（2）半角公式中“ ”号如何选取
解：符号由 的终边所在的象限决定.
探究点一 积化和差与和差化积公式
例1（1） 求 的值；
解： .
（2）求 的值；
解：
.
（3）已知，，求 的值.
解：因为，所以 .
因为，所以 .
因为，所以由①②得 ，即 ，
所以 .
变式（1） 化简： .
解：原式
.
（2）求 的值.
解：方法一：原式
.
方法二：原式
.
［素养小结］
在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数的积，那么化得的结
果应为与 的和或差；如果形式为同名函数的积，
那么化得的结果应为与 的和或差.
探究点二 应用半角公式化简与求值
例2（1） 设 ，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，，
又 ， .
√
（2）已知 为钝角， 为锐角，且， ，则
_ ____.
[解析] 因为 为钝角， 为锐角，且， ，
所以， ，
所以 .
因为 且，所以 ，所以 ，
所以 .
变式 在中，若，，求，，
的值.
解：因为，， 均为三角形的内角，
所以， ，
所以，
所以 ，， .
［素养小结］
利用半角公式求值的思路:
（1）看角,看已知角与待求角的2倍关系;
（2）明确范围,求出相应半角的范围;
（3）选公式,涉及半角公式的正切值时,常用
计算,涉及半角公式的正、余弦值时,常用,
计算;
（4）下结论，结合（2）求值.
探究点三 三角函数式的化简与证明
例3（1） 已知， ，求 的值.
解： ， ， .
，， .
（2）证明： .
证明：右边
左边，
.
变式1 已知，求 的值.
解： ，， ，
， ，
.
变式2 已知，求证： .
证明： .
［素养小结］
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、
左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从
左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证等
方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公
式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
1.三角恒等变换
在进行三角恒等变换时，除了要注意运用一般的数学思想方法
（如换元思想、方程思想、化归思想等）来分析解决问题外，还要
注意基本的三角恒等变换思想方法的灵活运用.
2.常值代换
用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，
代换后能运用相关公式使化简得以顺利进行.我们把这种代换称为常
值代换.如前面所讲到的“1”的代换就是一种特殊的常值代换.
3.切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切时，利用同角三角函
数的基本关系 将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”
的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称的种类.
4.公式的逆用和变形
灵活逆用和变形公式可以丰富三角恒等变换的方法.例如： 可
变形为 ；
（或
）实为（或 ）的
逆用.
5.半角公式
（1）半角公式实质上是倍角公式的逆用变形,它们是用无理式表示的,
根号前面的符号由 对应的原函数值的符号确定.
（2）半角正切公式除了用无理式表示的形式外,还有两个不带根号的式
子,它的好处是回避了“ ”的讨论,一般情况下优先选用这两个式子求解.
（3）降幂与升幂
将变形后得到公式 ，
，运用此公式降幂.
反过来，直接运用倍角公式或变形公式 ，
，这就是升幂.
6.辅助角公式
辅助角公式的实质是和（差）角的正、余弦公式的逆应用,可以把两
个同角的正弦和余弦三角式转化成一个正弦（或余弦）三角式,从而
对三角函数的求值、化简、证明起到积极的作用,在解决三角函数问
题中起着非常重要的作用.
1.三角恒等式的证明
（1）在恒等式的证明中,“化繁为简”是化简一个三角函数式的一般原
则,由复杂的一边化到简单的一边,按照目标确定化简思路.如果两边都
比较复杂,也可以采用左右归一的方法.
（2）化简与证明的常用方法:①“切”化“弦”;②积化和差,和差化积;③
平方降次;④异角化同角,异次化同次,异名化同名.
例1 证明： .
证明：
.
2.三角函数求值
（1）若没有给出角的范围,则根号前的正负号需要根据条件讨论.一
般讨论角的终边所在的象限.
（2）由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤如下:
①先化简所求的式子.
②观察已知条件与所求式子之间的联系（从角和三角函数名入手）.
③将已知条件代入所求式子,化简求值.
例2 已知, .
（1）求 的值；
解：因为,所以 ,
所以 ,
所以 .
（2）求 的值.
解：由（1）得 ,
所以 ,
所以 .
3.三角函数式的化简
解决三角问题时,要注意“三看”.
（1）看角,把角尽量向特殊角或可计算的角转化;
（2）看名称,把式子中不同的名称尽量化成同一名称或相近的名称,
例如把所有的“切”都转化为相应的“弦”或把所有的“弦”转化为相应的
“切”;
（3）看式子,观察式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使
用,如果不满足，转化一下角或转换一下名称再使用.
例3 化简： .
解：原式 .
例4 化简： .
解：原式
.
4.三角函数综合题
此类题目的最终目的是求函数的最大（小）值、单调区间、周期等,
所以要利用公式把函数形式变为有利于求这些性质的形式.在进行三
角变换过程中,往往会用到和、差角的特殊形式,因此对于一些常见辅
助角的变换要熟悉,如 .
例5 已知函数.设 ,
.
（1）求 的最小正周期；
解： ,
所以的最小正周期为 .
（2）求 的值．
解：因为,所以 .
因为,所以 ,
所以 ,
所以 .10.3 几个三角恒等式
【课前预习】
知识点一
(1)[sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)] -[cos(α+β)-cos(α-β)]
(2)2sin cos 2cossin
2coscos -2sinsin
知识点二
(1)± (2)±
(3)±
知识点三
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)当α=π时,半角的正切公式不成立.
(2)只有当-+2kπ≤≤+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,才有cos=.
(3)当cos=时,cos=cos α成立.
2.解:(1)从左向右,幂次降低,角度加倍;从右向左,幂次升高,角度减半.
(2)符号由的终边所在的象限决定.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)sin 37.5°cos 7.5°=[sin(37.5°+7.5°)+sin(37.5°-7.5°)]=(sin 45°+
sin 30°)=.
(2)sin 20°·sin 40°·sin 80°=-[cos 60°-cos(-20°)]·sin 80°=-sin 80°
+sin 80°cos 20°=-sin 80°+×(sin 100°+sin 60°)=-sin 80°+sin 80°+=.
(3)因为cos α-cos β=,所以-2sinsin=①.
因为sin α-sin β=-,所以2cossin=-②.
因为sin≠0,所以由①②得-tan=-,
即tan=,所以sin(α+β)====.
变式 解:(1)原式=-2sin θ·[cos 120°-cos(-2θ)]=
-2sin θ=sin θ+2sin θcos 2θ=sin θ+sin 3θ-sin θ=sin 3θ.
(2)方法一:原式=(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+sin 20°·cos 50°=1+(cos 100°-
cos 40°)+(sin 70°-sin 30°)=-sin 70°·sin 30°+sin 70°=.
方法二:原式=(sin 20°+cos 50°)2-sin 20°·cos 50°=(2sin 30°·cos 10°)2-(sin 70°-
sin 30°)=cos210°-cos 20°+=-cos 20°+=.
探究点二
例2 (1)D (2) [解析] (1)∵5π<θ<6π,∴∈,又cos=m,∴sin=-=-.
(2)因为α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.因为<α<π且0<β<,所以0<α-β<π,所以0<<,所以cos===.
变式 解:因为A,B,C均为三角形的内角,
所以sin A==,sin B==,
所以cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=×-×=,所以sin===,cos===,tan==.
探究点三
例3 解:(1)∵180°<θ<270°,∴90°<<135°,∴tan<0.
∵cos θ==-,∴tan2=4,∴tan=-2.
(2)证明:右边=tan==
==
=
==左边,
∴=tan.
变式1 解:∵=-5,
∴=-5,∴tan θ=2,
∴cos 2θ==-,sin 2θ==,
∴3cos 2θ+4sin 2θ=-+=.
变式2 证明:tan2====.10.3 几个三角恒等式
1.B [解析] 原式=+==.
2.D [解析] 因为α∈,所以∈,又cos α=,所以tan=-=-=-.
3.A [解析] 由题意知∈,∴cos>0,∴cos==.
4.D [解析] sin αsin=sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)].故选D.
5.B [解析] 由题意知sin α=-,α∈,所以cos α=-.因为∈,所以sin=cos =-=-.故选B.
6.A [解析] 由cos B+cos C=sin B+sin C,得2coscos=2sincos,易知cos≠0,∴sin=cos,即tan=1.∵0
7.D [解析] 由和差化积公式可得sin α-sin β=2cossin=-,cos α+cos β=2coscos=,两式相除可得=,即tan=-.故选D.
8.AB [解析] 因为tan α=,所以=,又sin2α+cos2α=1,所以或因为α为第一象限角,所以为第一或第三象限角,且所以sin=±=±=±.故选AB.
9.AD [解析] 因为 x∈R,sin2+cos2=1≠,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=
sin x-sin y,所以B为真命题;因为 x∈[0,π],=|sin x|=sin x,所以C为真命题;当x=,y=2π时,sin x=cos y,但x+y≠,所以D为假命题.故选AD.
10. [解析] 由tan x=sin y,得=sin y,即cos xsin y=sin x,所以sin(x+y)-sin(x-y)=
2cos xsin y=2sin x=.
11. [解析] 因为tan θ=3,所以sin 2θ===,cos 2θ===-,
所以sin 2θ-cos 2θ=-=.
12. [解析] ∵≤θ≤π,∴sin θ≥0,cos θ≤0,且≤≤.∵sin θ+cos θ=①,∴(sin θ+
cos θ)2=,∴2sin θcos θ=-,∴(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=,又cos θ-sin θ<0,
∴cos θ-sin θ=-②.联立①②可得∴sin=sin===.
13.证明:∵左边=tan -tan =-=
==
==
=右边,∴原等式成立.
14.解:(1)因为β∈,所以∈,所以tan>0,又cos β=-,所以tan==.
(2)因为β∈,cos β=-,
所以sin β===.
因为α∈,所以α+β∈,
又sin(α+β)=,所以cos(α+β)=-=-=-,
所以sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=×-×=.
15. [解析] ∵α-β=,∴α=β+,∴sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-=-.∵α,β为锐角,且α-β=,∴0<β<,0<+β<,即0<β<,
∴<2β+<,∴-16.解:∵在△ABC中,A>C,B=60°,∴A+C=120°①.
∵log4sin A+log4sin C=-1,∴sin Asin C=.
∵sin Asin C=[cos(A-C)-cos(A+C)],
∴[cos(A-C)-cos(A+C)]=,
∴cos(A-C)=+cos(A+C)=+cos 120°=0,
又∵0°由①②,得A=105°,C=15°.10.3 几个三角恒等式
【学习目标】
1.了解积化和差与和差化积公式的推导过程.
2.能用二倍角公式推导出半角公式.
3.能利用以上公式进行简单的求值.
◆ 知识点一 积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
sin αcos β= .
cos αsin β= .
cos αcos β= .
sin αsin β= .
(2)和差化积公式
sin α+sin β= .
sin α-sin β= .
cos α+cos β= .
cos α-cos β= .
◆ 知识点二 半角公式
(1)sin= .
(2)cos= .
(3)tan= = = .
◆ 知识点三 万能代换公式
(1)sin α=.
(2)cos α=.
(3)tan α=.
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)半角公式对任意角都适用. ( )
(2)cos =. ( )
(3)存在α∈R,使得cos =cos α. ( )
2.(1)降幂公式的等式两端的角度发生了什么变化
(2)半角公式中“±”号如何选取
◆ 探究点一 积化和差与和差化积公式
例1 (1)求sin 37.5°cos 7.5°的值;
(2)求sin 20°·sin 40°·sin 80°的值;
(3)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求sin(α+β)的值.
变式 (1)化简:4sin(60°-θ)·sin θ·sin(60°+θ).
(2)求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.
[素养小结]
在运用积化和差公式时,如果形式为异名函数的积,那么化得的结果应为sin(α+β)与sin(α-β)的和或差;如果形式为同名函数的积,那么化得的结果应为cos(α+β)与cos(α-β)的和或差.
◆ 探究点二 应用半角公式化简与求值
例2 (1)设5π<θ<6π,cos=m,则sin= ( )
A. B.
C.- D.-
(2)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,则cos = .
变式 在△ABC中,若cos A=,cos B=,求sin,cos,tan的值.
[素养小结]
利用半角公式求值的思路:(1)看角,看已知角与待求角的2倍关系;(2)明确范围,求出相应半角的范围;(3)选公式,涉及半角公式的正切值时,常用tan==计算,涉及半角公式的正、余弦值时,常用sin2=,cos2=计算;(4)下结论,结合(2)求值.
◆ 探究点三 三角函数式的化简与证明
例3 (1)已知cos θ=-,180°<θ<270°,求tan的值.
(2)证明:=tan.
变式1 已知=-5,求3cos 2θ+4sin 2θ的值.
变式2 已知cos θ=,求证:tan2=.
[素养小结]
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.10.3 几个三角恒等式
一、选择题
1.sin220°+sin 80°·sin 40°的值为 ( )
A. B.
C. D.
2.已知α∈,cos α=,则tan= ( )
A.3 B.-3
C. D.-
3.若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
4.利用积化和差公式化简sin αsin的结果为 ( )
A.-[cos(α+β)-cos(α-β)]
B.[cos(α+β)+cos(α-β)]
C.[sin(α+β)-sin(α-β)]
D.[sin(α+β)+sin(α-β)]
5.若sin(π-α)=-且α∈,则sin= ( )
A.- B.-
C. D.
6.已知△ABC的内角A,B,C满足cos B+cos C=sin B+sin C,则△ABC的形状为 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
7.已知sin α-sin β=-,cos α+cos β=,则tan的值为 ( )
A. B. C.- D.-
8.(多选题)已知tan α=,且α为第一象限角,则sin的值可能为 ( )
A.- B.
C.- D.
9.(多选题)下列命题为假命题的是 ( )
A. x∈R,sin2+cos2=
B. x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y
C. x∈[0,π],=sin x
D.若sin x=cos y,则x+y=
二、填空题
10.已知sin x=,tan x=sin y,则sin(x+y)-sin(x-y)= .
11.若tan θ=3,则sin 2θ-cos 2θ的值是 .
12.已知sin θ+cos θ=,且≤θ≤π,则sin= .
三、解答题
13.求证:tan-tan=.
14.已知α∈,β∈,cos β=-,sin(α+β)=.
(1)求tan的值;
(2)求sin α的值.
15.已知α,β为锐角,且α-β=,则sin αsin β的取值范围是 .
16.已知△ABC的内角A,B,C满足A>C,且B=60°,能否利用log4sin A+log4sin C=-1求出A和C的大小 若能,请求出;若不能,请说明理由.