本章总结提升
【知识辨析】
1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.×
【素养提升】
题型一
例1 (1)A (2) (3)- [解析] (1)∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β,又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A.
(2)由sin2=,得==,故sin 2α=.
(3)方法一:由题得tan(α+β)===-2.∵2k1π<α<+2k1π,k1∈Z,π+2k2π<β<+2k2π,k2∈Z,∴π+2(k1+k2)π<α+β<2π+2(k1+k2)π,k1,k2∈Z,
即π+2kπ<α+β<2π+2kπ,k∈Z,∴sin(α+β)=-.
方法二:∵α为第一象限角,β为第三象限角,∴cos α>0,cos β<0,cos α==,cos β==,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β
===
=-.
变式 解:(1)由tan===-3,解得tan α=2,
所以sin 2α====.
(2)cos 2α====-,
由cos β=-,β∈(0,π),得sin β==,所以sin(2α-β)=sin 2αcos β-
cos 2αsin β=×-×=-.
因为α∈(0,π),tan α=2>1,所以α∈,所以2α∈,
又β∈(0,π),cos β<0,所以β∈,
所以-β∈,所以2α-β∈,
所以2α-β=-.
题型二
例2 解:(1)因为-<α<0,所以cos α>0,sin α+cos α≠0,1-sin α>0,所以+=+=+
=+=.
(2)证明:左边==
=
=
===右边.
变式 解:(1)原式==
=
===1.
(2)证明:要证原式,只需证明=.
∵左边====tan 2θ,右边==tan 2θ,
∴左边=右边,∴原等式成立.
题型三
例3 解:(1)f(x)=-=
====sin.
由题意可知,f(x)的最小正周期T=π,∴=π,∴ω=1,
故f(x)=sin,
∴f=sin=sin=.
(2)原方程可化为×sin=m+1,
即2sin=m+1,设y=2sin,∵x∈,∴2x+∈,∴当2x+∈,
即x∈时,y=2sin单调递增,当2x+∈,即x∈时,y=2sin单调递减,
又当x=0时,y=2sin=,当x=时,y=2sin=2,
当x=时,y=2sin=-,∴要使原方程对x∈有两个不同的解,只需≤m+1<2,即-1≤m<1,∴m的取值范围是[-1,1).
变式 ABD [解析] 函数f(x)=sin x+cos x=2sin.对于A,当x=时,f=2sin=2,函数f(x)的图象不关于点对称,故A中说法不正确;对于B,由α∈,可得α+∈,则f(α)∈(,2],所以不存在α∈,使f(α)=1,故B中说法不正确;对于C,令x+α+=+kπ,k∈Z,可得x=kπ+-α,k∈Z,当k=0,α=时,函数y=f(x+α)的图象关于y轴对称,故C中说法正确;对于D,若f(x+α)=f(x+3α)恒成立,则2α是函数f(x)的周期,又函数f(x)的最小正周期为2π,所以2α=2π·m(m∈Z且m≠0),得α=mπ(m∈Z且m≠0),所以不存在α∈,使f(x+α)=f(x+3α)恒成立,故D中说法不正确.故选ABD.
题型四
例4 解:(1)由题得,在Rt△CHE中,CH=50米,∠ECH=,∠CHE=x,∴HE=米.
在Rt△HDF中,HD=50米,∠HDF=,∠DFH=x,
∴HF=米.在Rt△HEF中,∵∠EHF=,∴EF=米,∴L=.
当点F与点A重合时,x最小,此时x=;
当点E与点B重合时,x最大,此时x=.
故函数的定义域为.
(2)由题意知,要使铺路的总费用最低,只需L取得最小值.
由(1)得L=,x∈,
设sin x+cos x=t,则sin xcos x=,
∴L==.由t=sin x+cos x=sin,x∈,得≤t≤,∴+1≤≤+1,∴当x=,即CE=50米时,Lmin=100(+1),
∴当CE=DF=50 米时,铺路的总费用最低,最低总费用为400×100(+1)≈
96 560(元).
变式 解:(1)由题可知,θ∈,在Rt△MOC中,OM=30cos θ,MC=30sin θ,∴BN=MC=30sin θ.
在Rt△BON中,ON===10sin θ,
∴MN=OM-ON=30cos θ-10sin θ,
∴S=2·BN·MN=2×30sin θ×(30cos θ-10sin θ)=600-300=600sin-300,θ∈.
(2)∵θ∈,∴2θ+∈,∴当2θ+=,即θ=时,S取得最大值300,故当θ=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为300 m2.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.设α,β为锐角,且满足cos α=,tan(α-β)=-,则cos β=. ( )
2.设α为第四象限角,若=,则tan 2α=. ( )
3.函数f(x)=sin(x-20°)-cos(x+40°)的最大值为. ( )
4.已知sin α=,α是第二象限角,且tan(α+β)=-,则tan β=-. ( )
5.=2. ( )
6.已知sin=,则cos=.( )
◆ 题型一 三角函数求值
例1 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= ( )
A.-3m B.- C. D.3m
(2)已知sin2=,则sin 2α的值是 .
(3)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)= .
变式 [2024·南通高一期中] 已知tan=-3,cos β=-,且α,β∈(0,π),求:
(1)sin 2α的值;
(2)2α-β的值.
◆ 题型二 三角函数式的化简与证明
例2 (1)已知-<α<0,化简:+.
(2)求证:-2cos(α+β)=.
变式 (1)化简:.
(2)求证:=.
◆ 题型三 三角函数与三角恒等变换
例3 已知x0,x0+是函数f(x)=cos2-sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点.
(1)求f的值;
(2)若关于x的方程f(x)-m=1对x∈有两个不同的解,求实数m的取值范围.
变式 (多选题)对于函数f(x)=sin x+cos x,下列说法不正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象关于点对称
B.存在α∈,使f(α)=1
C.存在α∈,使函数y=f(x+α)的图象关于y轴对称
D.存在α∈,使f(x+α)=f(x+3α)恒成立
◆ 题型四 三角恒等变换的实际应用
例4 如图,某高校专家楼前有一块矩形草坪ABCD,已知AB=100 米,BC=50米,为了便于专家平时工作、起居,该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE,HF和EF,并要求H是CD的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且∠EHF=.
(1)设∠CHE=x,试将三条路的全长(即△HEF的周长)L(单位:米)表示成x的函数,并求出此函数的定义域.
(2)这三条路每米的铺设费用均为400 元,如何设计才能使铺路的总费用最低 并求出最低总费用(≈1.732,≈1.414).
变式 在校园美化、改造活动中,要在半径为30 m,圆心角为的扇形空地EOF的内部修建一矩形观赛场地ABCD,如图所示,其中C,D在上,A,B分别在OF,OE上,M为CD的中点,N为AB的中点,记∠MOC=θ.
(1)写出矩形ABCD的面积S(单位:m2)关于θ的函数解析式.
(2)当θ为何值时,矩形ABCD的面积最大 并求出最大面积.(共29张PPT)
本章总结提升
题型一 三角函数求值
题型二 三角函数式的化简与证明
题型三 三角函数与三角恒等变换
题型四 三角恒等变换的实际应用
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.设 ， 为锐角，且满足， ，则
.( )
√
2.设 为第四象限角，若，则 .( )
×
3.函数的最大值为 .( )
√
4.已知， 是第二象限角，且 ，则
.( )
√
5. .( )
√
6.已知，则 .( )
×
题型一 三角函数求值
例1（1） [2024·新课标Ⅰ卷]已知, ,则
( )
A. B. C. D.
[解析] , ,
又,
,,
.故选A.
√
（2）已知,则 的值是__.
[解析] 由，得 ，故
.
（3）[2024·新课标Ⅱ卷] 已知 为第一象限角， 为第三象限角，
,，则 _ _____．
[解析] 方法一：由题得 .
,, , ,
,, ,
即 ,, .
方法二： 为第一象限角， 为第三象限角，
，， ，
，则 .
变式 [2024·南通高一期中] 已知， ，
且 ， ，求：
（1） 的值；
解：由，解得 ，
所以 .
（2） 的值.
解： ，
由，，得 ，所以
.
因为，，所以，所以 ，
又，，所以 ，所以，
所以 ，所以 .
题型二 三角函数式的化简与证明
例2（1） 已知，化简： .
解：因为，所以， ， ，
所以
.
（2）求证: .
证明:左边
右边.
变式（1） 化简: .
解：原式
.
（2）求证： .
证明:要证原式，只需证明 .
左边 ，右边 ，
左边右边， 原等式成立.
题型三 三角函数与三角恒等变换
例3 已知，是函数 的
两个相邻的零点.
（1）求 的值；
解：
.
由题意可知，的最小正周期 ， ， ，
故 ，
.
（2）若关于的方程对 有两个不同的解，
求实数 的取值范围.
解：原方程可化为 ，即，
设， , ， 当 ，
即时，单调递增，当 ，即
时， 单调递减，
又当时，，当时， ，
当时，， 要使原方程对 有两个不
同的解，只需，即， 的取值范围
是 .
变式 （多选题）对于函数 ，下列说法不正确
的是( )
A.函数的图象关于点 对称
B.存在，使
C.存在，使函数的图象关于 轴对称
D.存在，使 恒成立
√
√
√
[解析] 函数.
对于A，当 时，，函数的图象不关于
点 对称，故A中说法不正确；
对于B，由，可得 ,则，所以不
存在，使 ，故B中说法不正确；
对于C，令 ，，可得 ，，
当,时，函数的图象关于 轴对称，
故C中说法正确；
对于D，若恒成立，则 是函数的周期，
又函数的最小正周期为 ，所以且，
得且 ，所以不存在，
使恒成立，故D中说法不正确. 故选 .
题型四 三角恒等变换的实际应用
例4 如图，某高校专家楼前有一块矩形草坪，已知 米，
米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内
铺设三条小路，和，并要求是 的中点，点在边上，点
在边上，且 .
（1）设，试将三条路的全长（即的周长）
（单位：米）表示成 的函数，并求出此函数的定义域.
解：由题得，在中，米， ，
， 米. 在中，米，
， ，米.在中，
，米， .
当点与点重合时，最小，此时 ；
当点与点重合时，最大，此时 .
故函数的定义域为 .
（2）这三条路每米的铺设费用均为400 元，如何设计才能使铺路的
总费用最低？并求出最低总费用 .
解：由题意知，要使铺路的总费用最低，只需 取得最小值.
由（1）得， ，设，
则 ， .
由， ，得，
， 当 ，即米时， ，
当 米时，铺路的总费用最低，最低总
费用为 （元）.
变式 在校园美化、改造活动中，要在半径为，圆心角为 的扇
形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示，其中 ，
在上，，分别在，上，为的中点，为 的中点，
记 .
（1）写出矩形的面积（单位：）关于 的函数解析式.
解：由题可知，，在 中，
， ， .
在 中， ，
，
，
.
（2）当 为何值时，矩形 的面积最大？并求出最大面积.
解：，，
当，即 时，取得最大值，
故当时，矩形 的面积最大，最大面积为 .
