滚动习题(三)
1.D [解析] 原式=sin[60°+(θ+15°)]+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=-cos(θ+15°)+sin(θ+15°)+cos(θ+45°)=
sin(θ-45°)+cos(θ+45°)=-cos(θ+45°)+cos(θ+45°)=0,故选D.
2.A [解析] cos 22°sin 52°-cos 68°sin 38°=cos 22°sin 52°-sin 22°cos 52°=sin(52°-22°)=sin 30°=.故选A.
3.C [解析] 因为cos α=且α是第一象限角,所以sin α=,所以cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin αcos α=,则原式==
=.故选C.
4.A [解析] 因为y=1-2sin2=cos 2=cos=-sin 2x,所以该函数为奇函数,且其最小正周期为π.
5.B [解析] 依题意得=====.
6.A [解析] 因为=2,所以=2,即==2,
所以tan α=,所以tan 2α===,所以tan===-,故选A.
7.BCD [解析] 因为cos α=-,cos β=,α∈,β∈,所以sin α==,sin β==.sin 2α=2sin αcos α=2××=-,A错误;cos 2β=2cos2β-1=2×-1=-,B正确;cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=,C正确;sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,D正确.故选BCD.
8.ABD [解析] 对于A选项,sin 75°sin 15°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,故A正确;对于B选项,sin 18°sin 54°=====,故B正确;对于C选项,====,故C错误;对于D选项,因为tan 45°==1,所以=,故D正确.故选ABD.
9.- [解析] 原式==.因为α为第二象限角,且sin α=,所以cos α=-,则sin α+cos α≠0,所以原式==-.
10. [解析] ||==5,设∠xOP=θ,则sin θ=,cos θ=.设P1(x1,y1),则x1=5cos(θ+45°)=5(cos θcos 45°-sin θsin 45°)=,y1=5sin(θ+45°)=5(sin θcos 45°+
cos θsin 45°)=,故P1.
11. [解析] ∵m·n=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=1+cos(A+B),∴sin(A+B)-cos(A+B)=sin C+cos C=2sin=1,∴sin=.∵012.解:(1)因为sin α=且α为锐角,
所以cos α==,所以tan α==,
所以tan 2α===-.
(2)因为α,β均为锐角,所以-<α-β<,又tan(α-β)=,所以0<α-β<.又由tan(α-β)==且sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,得sin(α-β)=,cos(α-β)=,
所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.
13.证明:(1)因为α+β=45°,所以tan α=tan(45°-β)=,整理得tan αtan β+tan α+tan β=1,
即(tan α+1)·(tan β+1)=2.
(2)右边=[sin αcos β+cos αsin β-(sin αcos β-cos αsin β)]=cos αsin β=左边.
14.解:(1)由已知可得f(x)=sin x+cos x=2sin,令f(x)=,得sin=.
因为x∈,所以x+∈,
又sin=∈,
所以x+∈,所以cos=,
所以sin x=sin=sincos-cossin=×-×=.
(2)因为g(x)=cos+cos=cos+cos=cos+sin=2sin=2sin=2cos x,所以=(0,2),||=2,=(0,1),所以与共线的单位向量为(0,1)和(0,-1).
(3)h(x)=msin=msin x-cos x,
因为=(-,1)为h(x)=msin的相伴特征向量,所以解得m=-2,
所以h(x)=-2sin,所以φ(x)=-2sin=-2sin=2cos.
假设在y=φ(x)的图象上存在一点P,使得⊥,所以=,=,所以·=·=(x+2)(x-2)+=x2+14+4cos2-18cos=0,
所以x2=-4cos2+18cos-14.
令y=-4cos2+18cos-14,cos=t,t∈[-1,1],
所以y=-4t2+18t-14=-4+,t∈[-1,1],
所以当t=-1时,ymin=-36,当t=1时,ymax=0,所以-36≤y≤0,因为x2≥0,所以当且仅当t=1且x=0时,x2=-4cos2+18cos-14成立,
此时,cos=1且x=0,即点P(0,2),
所以y=φ(x)的图象上存在一点P(0,2),使得⊥.滚动习题(三)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)= ( )
A.±1 B.1
C.-1 D.0
2.[2024·泰州中学高一月考] cos 22°sin 52°-cos 68°sin 38°= ( )
A. B.-
C. D.-
3.已知角α是第一象限角,且cos α=,则= ( )
A. B.
C. D.-
4.函数y=1-2sin2是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
5.化简的值为 ( )
A. B.
C. D.2
6.若=2,则tan= ( )
A.- B.
C. D.-
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知cos α=-,cos β=,其中α∈,β∈,则 ( )
A.sin 2α=
B.cos 2β=-
C.cos(α-β)=
D.sin(α+β)=
8.[2024·江苏南京期中] 下列选项中,值为的有 ( )
A.sin 75°sin 15° B.sin 18°sin 54°
C. D.
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知α为第二象限角,且sin α=,则= .
10.[2024·沈阳高一期中] 已知向量=(4,3),将绕原点O沿逆时针方向旋转45°到的位置,则点P1的坐标为 .
11.已知△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若m·n=1+cos(A+B),则C= .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2024·连云港高一期中] 已知sin α=,tan(α-β)=,其中α,β均为锐角.
(1)求tan 2α的值;
(2)求cos β的值.
13.(15分)(1)若α+β=45°,求证:(tan α+1)·(tan β+1)=2.
(2)求证: cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
14.(15分)[2024·连云港高一期中] 已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量的相伴函数.
(1)记向量=(1,)的相伴函数为f(x),求当f(x)=且x∈时,sin x的值.
(2)设函数g(x)=cos+cos,试求g(x)的相伴特征向量,并求出与共线的单位向量.
(3)已知A(-2,3),B(2,6),=(-,1)为h(x)=msin的相伴特征向量,φ(x)=h,请问在y=φ(x)的图象上是否存在一点P,使得⊥ 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
