滚动习题(四)
1.C [解析] ∵sin(π-α)=sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.故选C.
2.B [解析] 由题可知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,∴f(x)的最小正周期T==π.故选B.
3.D [解析] ∵270°<α<360°,∴135°<<180°,∴cos<0,∴cos=-=-=-=-.故选D.
4.A [解析] a=cos 7°+sin 7°=sin 30°cos 7°+cos 30°sin 7°=sin(30°+7°)=
sin 37°,b==tan 38°=>=sin 38°,c===sin 36°.因为当0°sin 37°>sin 36°,所以b>a>c.故选A.
5.A [解析] 因为0<α<β<,sin α=,所以cos α=,0<β-α<,又cos(β-α)=,所以sin(β-α)=,所以cos β=cos[α+(β-α)]=×-×=.故选A.
6.A [解析] 依题意,sin θ+sin=sin θ+sin θ-cos θ=sin θ-cos θ=sin=1,则sin=,所以sin=cos=1-2sin2=.故选A.
7.CD [解析] sin 21°cos 81°-sin 69°cos 9°=sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°=sin(21°-81°)=-,故选项A中等式不成立;cos275°-cos215°=-=-,故选项B中等式不成立;因为cos 10°=cos(30°-20°)=cos 20°+sin 20°,所以=
=,故选项C中等式成立;因为1+tan 10°=1+===,所以sin 50°(1+tan 10°)=
sin 50°×==1,故选项D中等式成立.故选CD.
8.ABD [解析] 对于A,若a∥b,则sin Acos 2A-cos Asin 2A=0,所以sin(A-2A)=sin(-A)=-sin A=0,即sin A=0,因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以对任意A,都有a,b不平行,故A正确;对于B,若a⊥b,则a·b=sin Asin 2A+cos Acos 2A=0,所以cos(A-2A)=cos(-A)=cos A=0,因为A∈(0,π),所以A=,所以存在A,使得a⊥b,故B正确;对于C,若a=b,则解得A=2kπ,k∈Z,因为A∈(0,π),所以不等式组无解,即不存在A,使得a=b,故C错误;对于D,因为a=(sin A,cos A),b=(sin 2A,cos 2A),所以|a|=|b|=1,所以(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以对任意A,都有(a+b)⊥(a-b),故D正确.故选ABD.
9.- [解析] -cos2=-=-.
10. [解析] 由x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0,解得x1=2,x2=3,所以tan α+tan β=5,tan αtan β=6,所以===.
11.m≥ [解析] f(x)=3sincos+sin2-+m=sin+-+m=sin+m,∵-≤x≤,∴-≤-≤,∴f(x)在上单调递增,又f=-+m,∴-+m≥0,解得m≥.
12.解:(1)∵sin α=,∴cos 2α=1-2sin2α=.
(2)∵α是钝角,sin α=,∴cos α=-=-,∴sin 2α=2sin αcos α=-,
∴cos=cos 2αcos+sin 2αsin=×+×=,sin=sin 2αcos-
cos 2αsin=×-×=.
13.解:(1)==
==.
(2)∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<.
∵cos(α-β)=,sin(α+β)=-,∴sin(α-β)==,cos(α+β)=-=-,
∴cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)=×-×=-.
14.解:(1)由题可知,DN=DPtan θ=4×=2,
∵∠DPN=∠PMA=θ,∴tan∠PMA==,∴AM=4×=,又AB=CD=4,∴NC=2,MB=,∴S=×8×=.
(2)∵∠DPN=∠PMA=θ,∴PN=,PM=,
∴MN=4=4=,
∴l=++=4.
sin θ+cos θ=sin,∵θ∈,∴θ+∈,∴sin∈,
令sin θ+cos θ=t∈,则sin θcos θ=(t2-1),则l==,
∵y=在上单调递减,∴当t=,即θ=时,l取得最小值,最小值为=8(+1).滚动习题(四)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知sin(π-α)=,则cos 2α= ( )
A. B.-
C. D.-
2.函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x的最小正周期是 ( )
A. B.π
C.2π D.4π
3.已知cos α=,270°<α<360°,则cos的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
4.[2024·天津红桥区高一期末] 设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有 ( )
A.b>a>c B.a>b>c
C.a>c>b D.c>b>a
5.若0<α<β<,且sin α=,cos(β-α)=,则cos β= ( )
A. B.
C. D.
6.[2024·南通高一期中] 已知sin θ+sin=1,则sin= ( )
A. B.-
C. D.-
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.下列等式成立的是 ( )
A.sin 21°cos 81°-sin 69°cos 9°=-
B.cos275°-cos215°=
C.=
D.sin 50°(1+tan 10°)=1
8.[2024·宿迁高一期末] 设A为△ABC的内角,向量a=(sin A,cos A),向量b=(sin 2A,cos 2A),则 ( )
A.对任意A,都有a,b不平行
B.存在A,使得a⊥b
C.存在A,使得a=b
D.对任意A,都有(a+b)⊥(a-b)
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.计算:-cos2= .
10.已知tan α,tan β是方程x2-5x+6=0的两根,则= .
11.已知函数f(x)=3sincos+sin2-+m,当-≤x≤时,f(x)≥0恒成立,则实数m的取值范围是 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2024·江苏扬州高一期中] 设α是钝角,sin α=.
(1)求cos 2α的值;
(2)求cos和sin的值.
13.(15分)(1)求值:.
(2)已知<β<α<,且cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α的值.
14.(15分)如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=8,Rt△MPN的直角顶点P为AD的中点,点M,N分别在边AB,CD上,令∠DPN=θ.
(1)当tan θ=时,求梯形BCNM的面积S;
(2)求△MPN的周长l的最小值,并求此时角θ的值.
