单元素养测评卷(二)
1.C [解析] sin2α=(1-cos 2α)=×=.故选C.
2.A [解析] f(x)=sin+sin=
2sincos=
2sincos=sin.
3.D [解析] ∵α∈(0,π),cos α=-,∴sin α==,
∴sin=sin α-cos α=×+×=.故选D.
4.D [解析] cos 75°cos 45°-sin 75°sin 45°=cos(75°+45°)=cos 120°=×=-.故选D.
5.C [解析] 原式==
==.
6.C [解析] 由=2,得=2,即tan=2.故选C.
7.A [解析] ∵α,β均为锐角,∴α-∈,β+∈,∵sin=,cos=,∴cos==,sin==,∴cos(α+β)=cos=coscos-sinsin=×-×=-.故选A.
8.D [解析] 在△ABC中,由两角和的正切公式变形得tan A+tan B=tan(A+B)(1-
tan Atan B)=tan(180°-C)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)=-tan C+tan Atan Btan C,
∴tan A+tan B+tan C=-tan C+tan Atan Btan C+tan C=tan Atan Btan C=3.∵tan2B=
tan Atan C,∴tan3B=3,∴tan B=,∵B∈(0°,180°),∴B=60°.故选D.
9.BC [解析] 对于A,2sin 75°cos 75°=sin 150°=,不符合题意;对于B,sin275°-cos275°=-cos 150°=,符合题意;对于C,2cos215°-1=cos 30°=,符合题意;对于D,sin275°+cos275°=1,不符合题意.故选BC.
10.AC [解析] 由题可得sin[(α-β)-α]=sin(-β)=,∴sin β=-.∵β为第三象限角,
∴cos β=-,∴cos=±=±=±.故选AC.
11.ABD [解析] 对于A,若a⊥b,则a·b=cos θ+sin θ=0,所以tan θ=-,故A正确;对于B,因为sin θcos θ=sin 2θ≠,所以a与b一定不是平行向量,故B正确;对于C,因为a+b=(+cos θ,sin θ+1),所以|a+b|==,所以当θ=时,|a+b|取得最大值,最大值为3,故C错误;对于D,b在a上的投影向量为·=·a=-a,所以=-,又因为|a|=|b|,所以cos
==×=×=-,又0≤≤π,所以=,故D正确.故选ABD.
12.- [解析] 由cos θ=1-2sin2=-,得sin2=,又由<θ<3π,得<<,∴sin=-.
13. [解析] 由α∈,可得-<α-<,由sin=,可得cos==,所以cos α=cos=cos-sin=×-×=.
14. [解析] 由题意得∠CMN=α,且FD==21,MQ=MN==2.因为AC=AF+FC=+21=+21,AC=AM+MC=+MNcos α=+cos α,所以+21=+cos α,整理可得(sin αcos α+1)=21(sin α+cos α),两边平方整理得110sin22α-sin 2α-1=0,解得sin 2α=或sin 2α=-(舍去),故sin 2α=.
15.解:(1)因为β=2α,cos α+cos β=-,
所以cos α+cos 2α=-,则cos α+(2cos2α-1)=-,
即2cos2α+cos α-=0,解得cos α=或cos α=-.
(2)因为β=α+,所以cos α+cos=-,
则cos α-sin α=-,即(cos α-sin α)2=,所以cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-sin 2α=,
故sin 2α=1-=.
16.解:(1)∵cos α=,sin β=,0<α<,0<β<,
∴sin α===,cos β===,则sin 2α=
2sin αcos α=2××=,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,故sin(2α-β)=sin 2αcos β-
cos 2αsin β=×-×=.
(2)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
又∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,α+β∈(0,π),∴α+β=.
17.解:(1)f(x)=2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin,∴最小正周期T==π,则f=f=2sin=2sin=-2.
(2)由f(x)≥1,得sin≥,
则+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故不等式f(x)≥1的解集为,k∈Z.
18.解:(1)因为m=(,-1),n=(cos α,sin α),且m⊥n,
所以cos α-sin α=0,又cos α≠0,所以tan α=,
故tan β=tan[(α+β)-α]===.
(2)因为m=(,-1),n=(cos α,sin α),
所以|m|==2,|n|==1,
m·n=cos α-sin α.因为m与n的夹角为,
所以cos==-,即=-,
所以cos=-,又α∈(-π,0),所以α+∈,
所以α+=-,所以α=-.
19.解:(1)因为cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ,
所以cos 3θ=(2cos2θ-1)cos θ-2sin2θcos θ=2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)cos θ=4cos3θ-3cos θ,所以T3(x)=4x3-3x.
(2)因为cos 54°=sin 36°,所以4cos318°-3cos 18°=2sin 18°cos 18°,又cos 18°>0,所以4cos218°-3=2sin 18°,所以4(1-sin218°)-3=2sin 18°,
即4sin218°+2sin 18°-1=0,因为sin 18°>0,所以可得sin 18°=.
(3)证明:由题意知,4x3-3x-=0.
方法一:设x=cos θ,代入方程4x3-3x-=0得4cos3θ-3cos θ-=0,得cos 3θ=,所以3θ=+2kπ,k∈Z或3θ=-+2kπ,k∈Z,不妨取θ1=,θ2=,θ3=,
则x1+x2+x3=cos +cos +cos =cos -,
又cos +cos =cos+cos=2coscos=cos,所以x1+x2+x3=0.
方法二:令4x3-3x-=4(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,
即4[x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3]=4x3-3x-=0,依据多项式系数对应相等得到x1+x2+x3=0.
故x1+x2+x3=0.单元素养测评卷(二)
第10章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知cos 2α=-,则sin2α= ( )
A. B.
C. D.
2.化简f(x)=sin+sin,得 ( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin
3.已知α∈(0,π),若cos α=-,则sin= ( )
A. B.
C. D.
4.cos 75°cos 45°-sin 75°sin 45°= ( )
A. B.-
C. D.-
5.= ( )
A. B. C. D.
6.已知=2,则tan= ( )
A. B.1
C.2 D.
7.已知α,β均为锐角,且sin=,cos=,则cos(α+β)= ( )
A.- B.-
C. D.
8.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tan A·tan C,则角B等于 ( )
A.30° B.45°
C.120° D.60°
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在下列各式中,值为的是 ( )
A.2sin 75°cos 75° B.sin275°-cos275°
C.2cos215°-1 D.sin275°+cos275°
10.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,且β为第三象限角,则cos的值可以为 ( )
A. B. C.- D.-
11.已知向量a=(,sin θ),b=(cos θ,1),0≤θ≤π,则下列说法正确的是 ( )
A.若a⊥b,则tan θ=-
B.a与b一定不是平行向量
C.|a+b|的最大值为2
D.若|a|=|b|,且b在a上的投影向量为-a,则a与b的夹角为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知cos θ=-,<θ<3π,则sin= .
13.若α∈,sin=,则cos α= .
14.已知正方形CEDF和正方形MNPQ内接于同一个直角三角形ABC,如图所示,且A=α,若正方形CEDF,正方形MNPQ的面积分别为441,440,则sin 2α= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·江苏海门中学高一月考] 已知角α和β满足cos α+cos β=-.
(1)若β=2α,求cos α的值;
(2)若β=α+,求sin 2α的值.
16.(15分)[2024·江苏镇江高一期中] 已知锐角α,β满足cos α=,sin β=.
(1)求sin(2α-β)的值;
(2)求α+β的大小.
17.(15分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos2x-sin2x(x∈R).
(1)若T为f(x)的最小正周期,求f的值;
(2)求不等式f(x)≥1的解集.
18.(17分)[2024·盐城六校高一期中] 在平面直角坐标系中,已知向量m=(,-1),n=(cos α,sin α),cos α≠0.
(1)若m⊥n,tan(α+β)=2,求tan β的值;
(2)若m与n的夹角为,且α∈(-π,0),求α的值.
19.(17分)设n次多项式Tn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x1+a0(an≠0),若其满足Tn(cos θ)=cos nθ,则称这些多项式Tn(x)为切比雪夫多项式.例如:由cos 2θ=2cos2θ-1可得切比雪夫多项式T2(x)=2x2-1.
(1)求切比雪夫多项式T3(x);
(2)求sin 18°的值;
(3)已知方程8x3-6x-1=0在(-1,1)上有三个不同的根,记为x1,x2,x3,求证:x1+x2+x3=0.