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11.1 余弦定理
第1课时 余弦定理
探究点一 已知三边解三角形
探究点二 已知三角形两边及其夹角解
三角形
【学习目标】
1.了解利用向量推导余弦定理的过程.
2.掌握余弦定理的表示形式，并能用余弦定理解决基本的解三角
形问题.
知识点一 余弦定理
文字语言 三角形任何一边的______等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的__________的两倍
符号语言
变形
平方
平方的和
余弦的积
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任
何三角形.( )
√
[解析] 余弦定理反映了任意三角形的边角之间的关系,它适用于任何
三角形.
（2）在三角形中,勾股定理是余弦定理的特例.( )
√
[解析] 余弦定理可以看作勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的
特例.
（3）在中,已知 ,,,则 .( )
√
[解析] ,所以
.
知识点二 利用余弦定理解三角形
1.我们把三角形的三个角和________叫作三角形的元素.已知三角形
的几个元素求其他元素的过程叫作__________.
三条边
解三角形
2.利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题:
（1）已知三边,求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题.( )
√
[解析] 结合余弦定理及三角函数知识可知正确.
（2）利用余弦定理可将有关三角形中角的余弦转化为边的关系.( )
[解析] 利用余弦定理可将有关三角形中角的余弦转化为边的关系．
√
探究点一 已知三边解三角形
例1（1） 在中,已知,,,求内角 的大小.
解：由余弦定理,得,
又 ，所以 .
（2）在中,已知,,,求内角 的大小.
解：由余弦定理得 ,
又,所以 .
变式（1） 在中，内角，，的对边分别为，， ，
若，，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由余弦定理可得，
， .故选A.
√
（2）已知锐角三角形的三边长为2,3,,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为三角形的三边长为2,3,,所以解得 .
因为三角形为锐角三角形,所以三个内角都为锐角,
由余弦定理得可得.
综上，的取值范围是 ， .故选C.
√
［素养小结］
已知三角形的三边解三角形的方法：
（1）先利用余弦定理求出其中两个角的余弦，从而求出两个角，再
利用三角形的内角和定理求出第三个角．
（2）利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．
拓展 在中,已知,,,求 的最大内角与最小
内角的和.
解：由，可知 ，
由余弦定理得，
因为 ，所以 ，所以 ，
故的最大内角与最小内角的和为 .
探究点二 已知三角形两边及其夹角解三角形
例2 在中,已知, , ,解此三角形.
解：由余弦定理得
, .
由余弦定理得 ，
, ,
故 .
变式 在中，已知，，且 ，求
.
解：在中,由得或 ，
因为，所以，所以为锐角，所以 .
由余弦定理得，所以 .
由余弦定理得,又 ,所以 .
［素养小结］
已知三角形两边及其夹角求三角形其他未知元素时，应先根据余弦
定理求出第三边，再利用余弦定理求未知角．
1.余弦定理的特点
（1）等式左侧为一条边的平方,等式右侧很像另两边的完全平方式,
但多了一个角的余弦,这个角正好是等式左侧的边所对的角;
（2）余弦定理对任意三角形都成立;
（3）余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
2.余弦定理的适用范围
（1）余弦定理把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的
方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式;
（2）在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的特点,可以
知三求一.
1.已知两边及其夹角,可直接使用余弦定理求解.
例1 在中，内角,,所对的边分别为,,,已知 ，
， ，求角 的大小.
解：因为 ，所以由余弦定理得
，可得 ，
由余弦定理得 ，
又 ,所以 .
2.已知三边,可直接使用余弦定理求出三个内角，也可以先求出其中
的两个角,再用三角形的内角和定理求第三个角.
例2 在中，内角，，所对的边分别为，， .已知
，，则角 的大小是____.
[解析] ,, 由余弦定理得
,
又 ， .第11章 解三角形
11.1 余弦定理
第1课时 余弦定理
1.D [解析] 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=25+4-2×5×2×=19,所以c=.故选D.
2.C [解析] 由余弦定理可得,cos B===,∵0°
3.A [解析] ∵a2=b2+c2-bc,∴b2+c2-a2=bc,∴cos A==,又0°4.C [解析] 因为a∶b∶c=3∶4∶6,所以设a=3k,b=4k,c=6k,k>0,由余弦定理得
cos A===.故选C.
5.D [解析] 在△ABC中,因为b2+c2=a2-bc,所以由余弦定理得cos A===-,又06.C [解析] 若a为最大边,则b2+c2-a2>0,∴a2<5,∴a<;若c为最大边,则a2+b2-c2>0,∴a2>3,∴a>.综上,7.B [解析] 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,因为A=,a=4,所以16=b2+c2-bc,又b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),所以16+bc≥2bc,即bc≤16.故选B.
8.B [解析] 由题意得∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,∴c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,∴c=.故选B.
9.AC [解析] 由余弦定理得a×-c-=0,将a2=bc代入并化简,得2b2-5bc+2c2=0,解得b=2c或c=2b,所以=或2.故选AC.
10.-5 [解析] 由余弦定理得cos∠ABC===.因为向量与的夹角为180°-∠ABC,所以·=||||·cos(180°-∠ABC)=5×7×=-5.
11. [解析] ∵a2+b2-c2=2absin C,∴sin C==cos C,∴tan C=,又012. [解析] 因为cos C+cos A=1,所以由余弦定理可得·+·=1,整理得b2=ac,由余弦定理得cos B==≥=(当且仅当a=c时取等号),所以cos B的最小值为.
13.解:(1)因为b=3,c=2,A=30°,所以a2=b2+c2-2bccos A=9+12-2×3×2×=3,所以a=.
(2)因为b=3,c=3,B=30°,所以由b2=a2+c2-2accos B,可得9=a2+27-9a,解得a=3或a=6.
当a=3时,a=b,所以A=B=30°,所以C=120°;
当a=6时,由余弦定理得cos A==0,所以A=90°,所以C=60°.
综上所述,a=3,A=30°,C=120°或a=6,A=90°,C=60°.
(3)因为a∶b∶c=2∶∶(+1),所以设a=2k,b=k,c=(+1)k,k>0,
显然a==.
14.解:(1)由余弦定理得cos B=,cos C=,∴原式可化为·=-,整理得a2+c2-b2=-ac,
∴cos B===-,
又0(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accos B,得13=a2+(4-a)2-2a(4-a)·cos,整理得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.
15.C [解析] ∵a+b+c=20,∴b+c=20-a,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
∴a2=(20-a)2-120,解得a=7.故选C.
16.解:(1)证明:在△ABC中,由余弦定理可得,bcos C+ccos B=
b·+c·=+==a,∴a=bcos C+ccos B.
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
由==·,得==-bccos A,即==bccos A,
由余弦定理得==,
令===t(t>0),
则解得
∴cos A====.第11章 解三角形
11.1 余弦定理
第1课时 余弦定理
一、选择题
1.[2024·南京师大附中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,b=2,C=,则c= ( )
A.2 B.
C. D.
2.在△ABC 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=,c=2,则B= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,则A= ( )
A.60° B.120°
C.30° D.150°
4.[2024·盐城五校高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a∶b∶c=3∶4∶6,则cos A的值为 ( )
A. B.-
C. D.-
5.[2024·镇江中学高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=a2-bc,则角A的大小为 ( )
A. B.
C. D.
6.在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围是 ( )
A.1C.7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为 ( )
A. B.16
C. D.32
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1,则c= ( )
A.10 B.
C. D.5
9.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos B-c-=0,a2=bc,则的值可能为 ( )
A.2 B.3
C. D.
二、填空题
10.在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,则·的值为 .
11.在△ABC中,已知a,b,c分别是内角A,B,C的对边,a2+b2-c2=2absin C,则cos C的值为 .
12.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos C+cos A=1,则cos B的最小值为 .
三、解答题
13.(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a的值;
(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,解这个三角形;
(3)在△ABC中,若a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC的最大内角的余弦值.
14.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求a的值.
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+b+c=20,bc=40,A=60°,则a等于 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
16.(1)任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”,即在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.用余弦定理证明:a=bcos C+ccos B.
(2)在△ABC中,若==·,求cos A的值.第11章 解三角形
11.1 余弦定理
第1课时 余弦定理
【课前预习】
知识点一
平方 平方的和 余弦的积 b2+c2-2bccos A
c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C
诊断分析
(1) √ (2)√ (3)√ [解析] (1)余弦定理反映了任意三角形的边角之间的关系,它适用于任何三角形.
(2)余弦定理可以看作勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
(3)a2=b2+c2-2bccos A=4+1-2×2×1×=3,所以a=.
知识点二
1.三条边 解三角形
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] (1)结合余弦定理及三角函数知识可知正确.
(2)利用余弦定理可将有关三角形中角的余弦转化为边的关系.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由余弦定理,得cos B===,又B∈(0,π),所以B=.
(2)由余弦定理得cos A==
=,
又A∈(0°,180°),所以A=30°.
变式 (1)A (2)C [解析] (1)由余弦定理可得cos C==-,∵0°(2)因为三角形的三边长为2,3,x,所以解得1拓展 解:由8>7>5,可知C探究点二
例2 解:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=82+(4+4)2-2×8×(4+4)×
cos 60°=64+64+32-(64+64)×=96,∴b=4.
由余弦定理得cos A===,∵0°变式 解:在△ABC中,由sin C=得cos C=或-,因为b>c,所以B>C,所以C为锐角,所以cos C=.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8-4,所以c=-.由余弦定理得cos A==,又011.1 余弦定理
第1课时 余弦定理
【学习目标】
1.了解利用向量推导余弦定理的过程.
2.掌握余弦定理的表示形式,并能用余弦定理解决基本的解三角形问题.
◆ 知识点一 余弦定理
文字语言 三角形任何一边的 等于其他两边 减去这两边与它们夹角的 的两倍
符号语言 a2= ,b2= ,c2=
变形 cos A= ,cos B= ,cos C=
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形. ( )
(2)在三角形中,勾股定理是余弦定理的特例. ( )
(3)在△ABC中,已知A=60°,b=2,c=1,则a=. ( )
◆ 知识点二 利用余弦定理解三角形
1.我们把三角形的三个角和 叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作 .
2.利用余弦定理,可以解决以下两类解三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题. ( )
(2)利用余弦定理可将有关三角形中角的余弦转化为边的关系. ( )
◆ 探究点一 已知三边解三角形
例1 (1)在△ABC中,已知a=3,b=,c=2,求内角B的大小.
(2)在△ABC中,已知 a=2,b=6+2,c=4,求内角A的大小.
变式 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=5,c=,则C= ( )
A.120° B.90°
C.60° D.45°
(2)已知锐角三角形的三边长为2,3,x,则x的取值范围是 ( )
A.(1,5) B.(1,)
C.(,) D.(,5)
[素养小结]
已知三角形的三边解三角形的方法:
(1)先利用余弦定理求出其中两个角的余弦,从而求出两个角,再利用三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)利用余弦定理求三个角的余弦,进而求三个角.
拓展 在△ABC中,已知a=7,b=8,c=5,求△ABC的最大内角与最小内角的和.
◆ 探究点二 已知三角形两边及其夹角解三角形
例2 在△ABC中,已知a=8,B=60°,c=4+4,解此三角形.
变式 在△ABC中,已知a=2,b=2,sin C=且b>c,求A.
[素养小结]
已知三角形两边及其夹角求三角形其他未知元素时,应先根据余弦定理求出第三边,再利用余弦定理求未知角.