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圆周角教案的设计说明
河北省承德师专附中 白红媛
圆周角 一课，为冀教版义务教育课程标准实验教材九年级上册第二十七章第二节的内容．本节课在介绍圆周角概念的基础上，主要对圆周角性质进行了探索．本课从具体的问题情境出发，引导学生经历猜想、探索、推理验证的过程，有意识培养学生解决问题的基本方法和能力，在教学过程中渗透由特殊到一般、分类、转化和归纳等数学思想方法．
本节课的教学目标分为知识目标、能力目标和情感目标．1．知识目标：理解圆周角的概念，掌握“同弧所对的圆周角相等”，“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”这两个性质及简单的应用，有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想方法． 2．能力目标：引导学生从形象思维向理性思维过渡，有意识强化学生的推理能力，培养学生的实践能力和创新意识，提高学生的数学素养．3．情感目标：创设问题情境，激发学生对数学的好奇心和求知欲，在探索问题的过程中锻炼坚强的意志，获得成功的体验，增强自信心，注重独立思考，在分组讨论的过程中体会与他人合作交流的重要性．培养学生以严谨求实的态度思考数学．
本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角的性质进行探索，圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用，也是学习圆的后续知识的重要预备知识，在教材中起着承上启下的作用．同时，圆周角性质也是说明线段相等，角相等的重要依据之一．此外，圆周角性质在物理学、化学、天文学、地理学、生物学等其他学科领域的研究中，也有着不可忽视的理论意义和现实作用．
本节课的重点是圆周角的概念和经历探索圆周角性质的过程，难点是合情推理验证圆周角与圆心角的关系．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起来问题也不大．而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难，特别是圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部这两种情况，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出．此外，在知识的应用过程中还应引导学生注重前后知识的联系，提高学生综合运用知识的能力，培养学生对数学的应用意识、创新意识．
本节课我设计了问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以学生探究为主，配合多媒体辅助教学．在教学过程中，教师将问题式教学法，启发式教学法，探究式教学法，情境式教学法，互动式教学法等多种教学方法融为一体，注重教学与生活的联系，创设富有挑战性的问题情境，引导学生用数学的眼光看问题，发现规律，验证猜想．教学中注重学生的个体差异，让不同层次的学生充分参与到数学思维活动中来，充分发挥学生的主体作用．运用适度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，不仅“学会”，而且“会学”,“乐学”．引导学生采用动手实践，自主探究，合作交流的学习方法进行学习，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发现新知，发展能力．与此同时，教师通过适时的点拨、精讲，使观察、猜想、实践、归纳、推理、验证贯穿于整个学习过程之中．
本节课的设计是根据新《课标》的要求：数学的学习是学生主体性、能动性、独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程．从学生的认知规律出发，从学生熟悉并喜爱的生活世界中创造出富有挑战性的问题情境，激发学生的主动性与创造力．在“创设情境导入新课”环节设计上，较好地体现出“数学教学以学生的生活经验为基础，以现实问题情境为依托”的教学理念，很好地激发了学生兴趣，进而完成对圆周角定义和“同弧所对的圆周角相等”的探索．在探究本节课难点“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”的过程中，采取开放性的课堂研究形式，以学生探究为主，运用多媒体辅助教学，遵循从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂的认知规律，注重体现“分类”、“化归”的数学思想，面向全体学生，让学生主动参与．在教师独巨匠心的设计和由浅入深的问题的引导下，充分调动了学生的自主性和创造性，并通过教师启发，引导，运用三角形外角性质，逐层深入，顺利完成这一问题的探索．教师合理设计使用多媒体，加强了直观效果，有效地突出重点，突破难点．分层训练活动是针对学生的不同层次而精心设计，力求使学生在都能获得必要发展的前提下，“不同的人在数学上得到不同的发展”．活动一：基础训练，是本节知识的直接运用，发展学生的合情推理能力，培养学生思维的严谨性和灵活性，加深了学生对所学知识的理解．活动二：深入探索，意在让学生自己完成对圆周角与圆心角关系特殊情况的探索，培养学生的实践能力，使学生对知识的理解进一步深入，同时也培养了学生的逆向思维和发散思维．活动三：拓展延伸，通过逐层深入的两个问题，一方面运用本节课所学新知，另一方面继续运用三角形外角性质解决问题，使学生综合运用知识的能力得以提高，培养了学生高层次的思维能力．
学生通过本节课的学习，不但获得了新知识，而且加强了新旧知识的联系，体会到数学在实际生活中的应用，感悟到数学来源于实际又应用于实际，从而增强自信心，激发学习数学的热情，对数学有了更为全面的理解．
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课 题：圆周角
教 材：冀教版义务教育课程标准实验教材九年级上册
授课教师：河北省承德师专附中 白红媛
教学目标：1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个性质及简单的应用。经历探索圆周角性质的过程，体会“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想方法。
2．引导学生从从形象思维向理性思维过渡，有意识地强化学生的推理能力，培养学生的实践能力与创新能力。
3．培养学生以严谨求实的态度思考问题；在分组讨论的过程中，体会与他人合作交流的重要性。
4．在探索解决问题方法的过程中，锻炼意志，增强自信心，获得成功的体验。
教学重点：圆周角的概念和经历探索圆周角性质的过程
教学难点：合情推理验证圆周角与圆心角的关系
教学过程：
教学环节 学生活动 教师活动
（一）创设情境导入新课 看图猜想 给出文艺汇演场景：演出现场为一圆形广场，其中弧AB为临时搭建的圆弧形舞台，甲、乙两名同学分别位于圆上 C，D两点处观看，这两名同学相对于舞台弧AB的张角∠ACB和∠ADB的大小关系怎样？设计意图：以学生喜闻乐见的实际问题引入，激发学生的学习兴趣，进而引导学生探索新知。
（二）师生互动合作探究 图1 图2 1．观察图1，找到∠ADB的特点，进而得出圆周角的定义：顶点在圆上，两边与圆都相交的角叫做圆周角。 2．概念辩析：一个角是圆周角的条件：（1）顶点在圆上；（2）两边都与圆相交。 3．画图、猜想、讨论，并用量角器测量：∠ACB＝∠ADB。 4．得出结论：同弧所对的圆周角相等。 5．由结论可知：甲乙二人相对于球门的张角相等。 6．思考回答及时练习以巩固新知。 1．运用多媒体将实际图形抽象成几何图形。2．（隐去∠ACB）提问：图1中的∠ADB 有什么特点？ 3．引导学生得出圆周角的概念，并对概念进行辩析。 4．（还原∠ACB）提问：图2中圆周角∠ACB与∠ADB的大小关系究竟怎样？（运用多媒体动画演示使学生明了此问题实际上研究的是同弧所对的圆周角的关系）5．多媒体动画演示验证。6．练习（1）判断下列各图形中的角是不是圆周角并说明理由。（2）找出图中四对分别相等的圆周角。
（二）师生互动合作探究 口答：（1）图3是圆周角。（2） ∠1＝∠4；∠2＝∠7；∠3＝∠6；∠5＝∠8。 设计意图：让学生通过教师的提问、引导，自然、顺利地完成对圆周角概念以及同弧所对的圆周角关系的探索，并通过练习得以巩固。
是（三）动手实践分类化归 1．运用三角形外角性质 ∵OB＝OC ∴∠B＝∠C 又∵∠AOB＝∠B＋∠C ∴∠AOB＝2∠C 即∠ACB＝∠AOB 得出（此种位置下）：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 2．分组探索，讨论。 3．各小组派代表展示图片，说理验证。 4．由教师引导，推理验证圆周角与圆心角的关系。 第二类推理过程：由（1）知 ∠ACO＝∠AOD ∠BCO＝∠BOD∴∠ACO＋∠BCO＝∠AOD＋∠BOD∴∠ACB＝（∠AOD＋∠BOD）即∠ACB＝∠AOB 1．给出运动的图形，请同学们探索特殊位置（圆心恰好在圆周角一边上）的同弧所对的圆周角与圆心角的关系。 2．继续提问：如果∠ACB与∠AOB运动到更一般的位置是否还具有这种关系？请同学们分组探索说明。 3．引导学生对圆周角与圆心角的关系分类。同弧所对的圆周角与圆心角可归纳为以下三类情况：第一类 第二类 第三类圆心在圆周 圆心在圆周 圆心在圆周角一边上 角内部 角外部 4．分类验证（多媒体演示），给出推理过程。 把第一类圆内部的图形想象为一面三角旗，第二类即为两面三角旗合并而成（作辅助线直径CD）。
（三）动手实践分类化归 第三类推理过程：由（1）知∠BCO＝∠BOD ∠ACO＝∠AOD∴∠BCO－∠ACO＝∠BOD－∠AOD∴∠ACB＝（∠BOD－∠AOD）即∠ACB＝∠AOB 5．刚才的结论成立：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 第三类为两面三角旗重叠而成（作辅助线直径CD）。 设计意图：让学生通过探索同弧所对的圆周角与圆心角的关系，体会“由特殊到一般”，“分类”，“化归”等数学思想方法。教师启发引导，并运用形象直观的多媒体演示，有效地突出重点，突破难点。
(四)分层训练巩固提高 活动一：基础训练 口答：（1）∠α=35°（2）∠α=80°总结出： 先由已知角找弧，再由弧找所对的圆周角或圆心角的方法。 2．叙述说理，能写出完整的解题过程。解：∵∠DAC＝∠DBC ∠BAC＝∠BDC又∵∠DAC＝∠BAC＝60° ∴∠DBC＝∠BDC＝60° ∴△BCD是等边三角形 3．口答：0°≤∠A′OC≤100° 活动二：深入探索 1．如图AB是⊙O直径，你能否求出∠ACB＝？ 口答: ∠ACB＝90°。并由圆周角性质总结：直径（或半圆）所对的圆周角是直角。 活动一：基础训练 1．求图中的∠α的度数（此题为本节知识的直接运用）。 2．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，如果∠DAC＝∠BAC＝60°，试说明△BCD是等边三角形。 （此题由学生叙述解题过程，让学生进一步体会如何应用圆周角性质解决问题，发展合情推理能力。） 3．如图△ABC内接于⊙O，∠B＝50°，点A′由点C沿弧 AC运动到点A，则∠A′OC的变化范围是 (此题让学生从运动的角度理解新知识，培养思维的严谨性和灵活性。)活动二：深入探索 问题1，2让学生自己完成探索圆周角与圆心角关系的特殊情况，并对问题1运用多媒体动画演示，使学生一目了然，自然得出问题2的结论，以此加深学生对圆周角性质的理解，并培养学生的逆向思维。
(四)分层训练巩固提高 2．如图，若圆周角∠ACB＝90°，那么弦AB是直径吗？学生总结出问题1的逆向结论：90°的圆周角所对的弦是直径。 3．请你帮助用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？ 由刚得到的知识口答：第二个是合格的。 4．一圆形纸片，你能设法确定它的圆心吗？你有几种方法？ 口答：（1）把纸片两次对折，折痕交点即是圆心。 （2）在圆上取两条不平行的弦，分别做它们垂直平分线，交点即为圆心。 （3）用三角板的直角确定两条直径，交点就是圆心。 活动三：拓展延伸1． 解：连结BF，由圆周角性质 ∠AFB＝∠ACB 又由三角形外角性质 ∠AFB＞∠ADB ∴∠ACB＞∠ADB 问题3，4为实际问题，意在激发学生兴趣，培养应用数学的意识。 问题3是对刚得出结论的应用，在巩固知识的同时，让学生感悟数学来源于实际又应用于实际，体会数学的应用价值。 问题4意在加强新旧知识的联系。方法一根据圆的轴对称性，方法二根据垂径定理，方法三则根据刚刚得到的结论。与此同时，也培养了学生的发散思维。 活动三：拓展延伸 本活动意在通过逐层深入的两个问题培养学生高层次的思维能力。一方面运用本节所学新知，另一方面继续运用三角形外角性质解决问题，提高学生综合运用知识的能力，进一步体现化归思想，激发学生学习数学的热情。 1．如图所示：A、B、C三点在圆上，点D为圆外一点，请你判断∠ACB与∠ADB的大小关系，并说明理由。
(四)分层训练巩固提高 2． 解：延长BE交圆O于点P，连结AP，由圆周角性质 ∠APB＝∠ACB 又由三角形外角性质 ∠AEB＞∠APB ∴∠AEB＞∠ACB 2．如果点E为圆内一点，那么∠AEB与∠ACB的大小关系又怎样呢？ 3．总结活动情况，鼓励学生的回答，表扬正确的方法。 设计意图：此环节针对学生的不同层次而设计，让学生在都能获得必要发展的前提下，不同的人在数学上得到不同的发展。
(五)反思小结布置作业 1．圆周角的概念。 2．同弧所对的圆周角相等。 3．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 4．圆周角与圆心角关系的特殊情况。 5．体会由“特殊到一般”，“分类”，“化归”等数学思想方法。 6．运用三角形外角性质解决问题以及前面圆的有关知识。 1．本节课学习了哪些新知识？2．运用了哪些旧知识？3．在学习过程中运用了什么样的方法解决问题？4．你有哪些体会？5．注重独立思考，体会与人合作的重要性。6．培养应用数学的意识，坚信今后会学得更好。作业：书上P12 1，2，3 设计意图：本环节由学生自己总结叙述，充分发挥学生的主体作用，增强学生的自信心，使其获得更大的发展。
70°
C
B
O
A
α
40°
O
A
B
C
α
O
C
B
A
O
C
A′
A
B
A
B
O
C
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圆周角说课案
承德师专附中 白红媛
我说课的内容是冀教版义务教育课程标准实验教材，九年级上册第二十七章第二节的内容——圆周角，本节为新授课，我将从以下六个方面进行说明。
一、教材分析
1．地位和作用：本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角性质的探索，圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用，在对圆与其他平面图形的研究中起着桥梁和纽带的作用。
2．重点难点：本节课的重点是圆周角的概念和经历探索圆周角性质的过程。难点是合情推理验证圆周角与圆心角的关系。
二、目标分析
1．知识目标：理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个性质及简单的应用。有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想方法。
2．能力目标：引导学生从形象思维向理性思维过渡，有意识地强化学生的推理能力，培养学生的实践能力与创新能力，提高数学素养。
3．情感目标：创设生活情境激发学生对数学的好奇心、求知欲，营造“民主”“和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验。培养学生以严谨求实的态度思考数学。
三、教法分析
本节课我设计了“问题情境——自主探究——拓展应用”的课堂教学模式，以学生探究为主，配合多媒体辅助教学。教师提问设疑，多媒体实例引入；启发引导，让学生经历知识的形成过程；精讲解惑，让学生掌握必要的基础知识；点拨释疑，在分层训练中得到学生的信息反馈，充分体现教师的主导作用。学生则通过观察思考，积极猜想探求；探索规律，归纳出正确的结论；推理验证，锻炼解决问题的基本技能；巩固提高，在知识的应用过程中提高能力。从而发展应用数学的意识，增强学好数学的信心。
四、学法分析
在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到内化，体现“主动获取，落实双基，发展能力”的原则。
五、过程分析
由以上分析，我从五个环节来安排教学过程。
（一）创设情境 导入新课
兴趣是最好的老师。首先，给出学生喜闻乐见的文艺汇演场景：演出现场为一圆形广场，其中弧AB为临时搭建的圆弧形舞台，甲、乙两名同学分别位于圆上C、D两点处观看，这两名同学相对于舞台弧AB的张角∠ACB与∠ADB的大小具有什么关系？
问题一提出，学生的积极性立刻被调动起来，开始猜想∠ACB与∠ADB的大小关系。我适时提出：现在我们还不能解决这个问题，当我们学习了圆周角的新知识时，你就会很好的作出评判了。
（二）师生互动 合作探究
将实际图形抽象成几何图形，让学生观察图中的∠ADB，这个角有什么特点？学生略加思索便答出：顶点在圆上，两边都与圆相交。从而得出圆周角的定义，同时引导学生对概念加以辨析，得到圆周角的两个条件，二者缺一不可。
现在我们知道∠ACB与∠ADB是两个圆周角，它们的大小关系究竟怎样？你能否探索说明？学生此时已然明了这个问题实际上是要研究同弧所对的圆周角的关系。进而兴致盎然地画图、猜想、讨论，并用量角器测量：∠ACB=∠ADB。教师通过多媒体演示验证，得出结论：同弧所对的圆周角相等。由此可知，问题中甲乙二人相对于舞台的张角是相等的。
紧跟一组练习。1巩固刚才所学圆周角的定义；2在学生回答的同时运用多媒体动画突出同弧所对的圆周角，形象直观，加深了学生对知识的理解。
（三）动手实践 分类化归
接下来探索同弧所对的圆周角与圆心角的关系。让学生观察运动的图形，图中的圆周角ACB与圆心角AOB在不断运动变化，当圆心恰好在圆周角一边上时，它们有怎样的关系呢？学生很快便利用三角形外角的性质——三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，得出∠ACB=∠AOB。得出：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。教师继续提问：这是一种特殊的位置，如果∠ACB与∠AOB运动到更一般的位置，是否还具有这种关系呢？请同学们分组探索说明。学生跃跃欲试，自然进入分组操作阶段。给学生以足够的探索时间和想象空间，教师深入课堂对学生进行适时的点拨、指导，有意识地培养学生解决问题的基本能力，鼓励创造性思维，师生互动，彼此形成一个“学习共同体”，拉近师生的距离，增进了师生的情感交流。
充分的活动交流后，学生情绪高涨，各小组纷纷派代表在黑板上展示图片、说理验证。教师总结各小组验证结果，让学生认识到分类验证的必要性。同弧所对的圆周角与圆心角可归纳为三类（多媒体演示）：第一类：即刚刚验证过的，圆心在圆周角一边上；第二类：圆心在圆周角内部；第三类：圆心在圆周角外部。三类情况的验证方法各不相同，第一类最容易验证，第二、三类困难。启发学生，过圆周角的顶点C做辅助线“直径”，可以把第二、三类情况转化为第一类来验证。如果把第一类圆内部的图形想象为一面三角旗的话，那么第二类即为两面三角旗合并而成；第三类为两面三角旗重叠而成。化抽象为具体，化一般为特殊，学生豁然开朗。多媒体的使用加强了直观效果，难点迎刃而解。教师精讲，给出完整的推理过程。刚才得出的结论成立：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
此环节以学生活动为核心，通过学生自主探究、合作交流，促进了学生的自主发展，突出了重点。并通过教师启发、引导，环环相扣，突破难点。其间有机渗透了“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想。同时，培养学生对推理过程的规范书写，感受数学的严谨性和结论的确定性。
（四）分层训练 巩固提高
为满足学生学习的不同需求，在都能获得必要发展的前提下，真正做到“不同的人在数学上得到不同的发展”，我设计以下训练活动：
活动一：基础训练。问题1是本节知识的直接运用，师生共同总结先由已知角找弧，再由弧找所对的圆周角或圆心角的方法。问题2，由学生叙述解题过程，让学生进一步体会如何应用圆周角性质解决问题，发展合情推理能力。问题3让学生从运动的角度理解新知识，培养思维的严谨性和灵活性。
活动二：深入探索。设计意图是让学生自己完成探索圆周角与圆心角关系的特殊情况，总结出直径（或半圆）所对的圆周角是直角，运用多媒体动画演示，使学生一目了然，自然得出逆向结论：90°的圆周角所对的弦是直径。从而加深学生对圆周角性质的理解，培养学生的逆向思维。为激发学生兴趣，培养学生应用数学的意识，设计实际问题。3，请你帮助用直角曲尺检验半圆形工件，哪个是合格的？为什么？让学生进一步感悟数学来源于实际，又应用于实际。4，图为一圆形纸片，你能设法确定它的圆心吗？你有几种方法？学生经过思考和讨论，很快得出三种方法：一、由圆的轴对称性，把纸片两次对折，折痕的交点即为圆心；二、由前面知识垂径定理，在圆上取两条不平行的弦，分别作它们的垂直平分线，交点即是圆心；三、由刚得到的90°的圆周角所对的弦是直径，用三角板的直角确定两条直径，交点就是圆心。在学生已有的知识结构和思维层次中注入新的活力，加强新旧知识的联系，培养了学生的发散思维。同时，让学生感受到应用数学知识解决实际问题所带来的成功体验，体会数学的应用价值。
活动三：拓展延伸。如图所示：A、B、C三点在圆上，点D为圆外一点，请你判断∠ACB与∠ADB的大小关系，并说明理由。学生积极思考，热烈讨论，很快有学生根据验证圆周角性质的方法找到解决问题的办法：连结BF，由圆周角性质知∠AFB=∠ACB，再由三角形外角性质知∠AFB>∠ADB，从而得出∠ACB>∠ADB。问题进一步深入，如果点E为圆内一点，那么∠AEB与∠ACB的大小关系又怎样呢？教师引导学生运用相同的方法得出∠AEB>∠ACB。本活动体现了运用三角形外角性质解决问题方法的延续，进一步体现了化归思想，提高学生综合运用知识的能力，让学生体会到耕耘后收获的快乐，增强自信心，激发学习数学的热情。
（五）反思小结 布置作业
总结活动情况，重在肯定与鼓励。引导学生对本课学习中所得到的新知识，运用的数学思想、方法，新旧知识的联系等进行小结、反思，提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通。
最后，布置作业。
至此，完成本节课教学。
六、评价分析
本节课整个教学活动从学生的认知规律出发，从学生熟悉并喜爱的生活世界中创造出富有挑战性的问题情景，激发学生的主动性与创造力。充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。教师合理设计使用多媒体，增大课堂容量，提高课堂效率，有效地突出重点，突破难点，使教学过程轻松自如，学生易于并乐于接受，体现了数学教学的时代感。让学生在民主和谐的课堂氛围中探索知识，感受数学创造的乐趣；提高能力，体验获得成功的喜悦。从而更为全面地理解数学，获得更大的发展。
我的说课完毕，谢谢！
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