(共25张PPT)
11.1 余弦定理
第2课时 余弦定理的应用
探究点一 用余弦定理解决实际问题
探究点二 利用余弦定理判断三角形形状
探究点三 利用余弦定理证明三角形中的
恒等式
【学习目标】
1.熟练应用余弦定理解决三角形问题.
2.能用余弦定理解决简单的实际问题.
知识点一 用余弦定理解决实际问题
解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确画出图形，把
实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，
通过建立数学模型来求解．
知识点二 测量中的有关角的概念
①
（1）方向角
从指定方向线到____________的水平角
（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方
向角小于）.如图①,方向角分别为北偏东 ,
____________.
目标方向线
南偏东
（2）方位角:从正北的方向线顺时针转到目标方向线所转过的_____
___，如图②,方向线,的方位角分别为 , .
水平角
②
【诊断分析】
判断正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）方位角和方向角是一样的.( )
×
[解析] 方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角;
而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南或正东或正西方向作
为起始方向旋转到目标方向线所成的小于 的角.
（2）方位角的取值范围是 .( )
√
[解析] 方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角,取
值范围是 .
（3）在点处测得点在其北偏西 的方向上,则在点处测得点
的方位角是 .( )
×
[解析] 在点处测得点的方位角是 .
知识点三 判断三角形的形状
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是
否有相等的边（或角）．在转化条件时要注意等价.
探究点一 用余弦定理解决实际问题
例1 一商船行至某海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号，
正在该海域执行护航任务的海军舰艇在 处获悉后，即测出该商船在
北偏东 ，距离10海里的处，并测得该商船正沿方位角为
的方向，以9海里/时的速度直线航行，舰艇立即以21海里/时的速度
沿直线前去营救．求舰艇追上商船所需要的时间及所经过的路程．
解：如图，设舰艇在 处追上商船，设所需的时间为小时，
则，，又 ， ，
所以由 ，
可得 ，
即 ，
即，
解得或 （舍去），
故舰艇追上商船所需要的时间为小时，
所经过的路程为 （海里）．
变式 [2024·南京六校高一期中] 已知灯塔在海洋观测站 的北偏东
方向上，，两点间的距离为5海里.某时刻货船 在海洋观测站
的南偏东 方向上，， 两点间的距离为8海里，则该时刻货船
与灯塔 间的距离为___海里.
7
[解析] 如图，由已知可得海里，海里，
,
由余弦定理可 ，
即 ，
所以 海里.
［素养小结］
解决实际问题的一般步骤：
（1）把题中的已知量和待求量集中在有关的三角形中，建立一个解
三角形的模型；
（2）利用余弦定理解出所需要的边或角，求得该数学模型的解；
（3）检验求得的解是否有实际意义，并回答题中所要解决的问题.
探究点二 利用余弦定理判断三角形形状
例2 在中，已知 ，且
，试判断 的形状．
解：由 ，得，
即 ， .
，.
， 由余弦定理得 ，
，， 为等边三角形．
变式 在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，判断 的形状.
解：，
由余弦定理得 ，
即 ，
，
，
， ，
，
或，或 .
当时，，为等腰三角形；
当 时，为直角三角形.
故 为等腰三角形或直角三角形.
［素养小结］
（1）判断三角形的形状，往往利用余弦定理将边、角关系相互转化，
经过化简变形，充分显示边、角关系，进而判断．
（2）在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：
， 等．
探究点三 利用余弦定理证明三角形中的恒等式
例3 在中，，，分别是内角，， 的对边，求证：
.
证明：左边 ，
右边， 等式成立．
变式 在中,证明: .
证明：设 ,则 .
在 中,由余弦定理得 .
在 中,由余弦定理得 .
因为 ,,,
所以 得 .
［素养小结］
证明三角形中边角混合关系恒等式时，可以考虑将角的关系通过余
弦定理转化为边的关系．
应用余弦定理解决两类三角形问题的疑难点
（1）利用余弦定理,可以解决以下两类三角形问题:
①已知三边,求三个角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
（2）第二类问题中第三边确定,其他两角也唯一确定,故解唯一.
判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
（1）为直角三角形或 或
；
（2）为锐角三角形且 且
；
（3）为钝角三角形或 或
.
例 记的内角,,的对边分别为,,，已知 ，
试判断 的形状.
解：由，可得，所以 ，
即，所以 ，
由余弦定理得，可得，所以 ，
所以 是直角三角形.第2课时 余弦定理的应用
【课前预习】
知识点二
(1)目标方向线 南偏东45° (2)水平角
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角;而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南或正东或正西方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的小于90°的角.
(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角,取值范围是[0,2π).
(3)在点O处测得点A的方位角是330°.
【课中探究】
探究点一
例1 解:如图,设舰艇在B处追上商船,
设所需的时间为t小时,则AB=21t,BC=9t,又AC=10,∠ACB=120°,所以由AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,
可得(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos 120°,即(21t)2=100+81t2+90t,
即360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去),
故舰艇追上商船所需要的时间为小时,所经过的路程为21×=14(海里).
变式 7 [解析] 如图,由已知可得AC=5海里,BC=8海里,
∠ACB=180°-40°-80°=60°,由余弦定理可得AB2=CA2+CB2-2CA·CBcos∠ACB,即AB2=52+82-2×5×8×=49,所以AB=7海里.
探究点二
例2 解:由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,
得b2+2bc+c2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,
∴cos A===.
∵0
∴由余弦定理得a=2b·=,
∴b2=c2,∴b=c,∴△ABC为等边三角形.
变式 解:∵b(a-ccos B)=a(b-ccos A),∴由余弦定理得b=a,即ab-=ab-,
∴b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2),∴a2b2+b2c2-b4=a2b2+a2c2-a4,∴b2c2-a2c2-b4+a4=0,∴c2(b2-a2)-(b2+a2)(b2-a2)=0,∴(b2-a2)[c2-(a2+b2)]=0,∴b2-a2=0或c2-(a2+b2)=0,∴a2=b2或c2=a2+b2.
当a2=b2时,a=b,△ABC为等腰三角形;当c2=a2+b2时,△ABC为直角三角形.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
探究点三
例3 证明:左边==,
右边==,∴等式成立.
变式 证明:设∠ABC=α,则∠BCD=π-α.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos α①.
在△BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD·BC·cos(π-α)②.
因为cos(π-α)=-cos α,CD=AB,BC=AD,所以①+②得AC2+BD2=2(AB2+AD2).第2课时 余弦定理的应用
1.D [解析] 由余弦定理得2bcos A=2b×=c,可得a=b,所以△ABC为等腰三角形.故选D.
2.D [解析] 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,∵AB=10 km,BC=20 km,∠ABC=120°,∴AC2=700,∴AC=10 km,即A,C两地间的距离为10 km.故选D.
3.A [解析] 在△ABC中,因为AB=,BC=3,C=120°,所以由AB2=BC2+AC2-2AC·BC·cos C,可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A.
4.D [解析] 设三角形的底边长为a,则周长为5a,∴等腰三角形的腰长为2a.设顶角为α,由余弦定理得cos α==.故选D.
5.C [解析] 由>0,得-cos C>0,所以cos C<0,所以C为钝角,所以△ABC一定是钝角三角形.故选C.
6.A [解析] 依题意得两式相减得ab=.故选A.
7.B [解析] 如图,设行驶15 min后,甲船在M处,乙船在N处,由题意知AM=8×=2(km),BN=12×=3(km),所以MB=AB-AM=3-2=1(km),由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos 120°=1+9-2×1×3×=13,所以MN= km.故选B.
8.C [解析] 在△ABC中,由余弦定理得cos A==,因为D为AC的中点,所以AD=1,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos A=,所以BD=.故选C.
9.BCD [解析] 对于A,若a·b>0,则∠BCA是钝角,所以△ABC是钝角三角形,故A错误;对于B,若a·b=0,则⊥,所以△ABC为直角三角形,故B正确;对于C,若a·b=c·b,则b·(a-c)=0,即·(-)=0,则·(+)=0,取AC的中点D,连接BD,则·2=0,可得⊥,所以BA=BC,所以△ABC为等腰三角形,故C正确;对于D,若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,即b2+c2-a2=2b·c,即=-cos A,由余弦定理可得cos A=-cos A,所以cos A=0,所以A=,所以△ABC为直角三角形,故D正确.故选BCD.
10.120° [解析] ∵(a-c)(a+c)=b(b+c),∴a2-c2=b2+bc,即b2+c2-a2=-bc,
∴cos A===-,∵0°11. [解析] 如图,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=62+(3)2-2×6×3cos∠BAC=90,所以BC=3海里.设BD=t海里,则cos∠ABC==,解得t=.
12.3 [解析] ∵a=3b,∴b=a,又c=,且cos C=,∴c2=a2+b2-2abcos C,即5=a2+a2-2a·a·,整理得a2=9,解得a=3或a=-3(舍去).
13.解:在△ABC中,cos∠ABC==,∵∠ABC∈(0,π),
∴sin∠ABC==,在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).
14.解:(1)因为a2=b2+c2-bc,所以b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A==,又0(2)因为b+c=4,bc=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=16-6=10,所以a=.
(3)由a2=b2+c2-bc及a2=bc,得(b-c)2=0,所以b=c,由(1)知A=,所以△ABC为等边三角形.
15.10 [解析] 如图,设炮弹第一次击中的目标为C,则AB=14千米,AC=BC=AM=18千米,∠CBA=∠CAB=θ,∠MAB=.在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos θ,即182=142+182-2×14×18cos θ,解得cos θ=,因为cos θ=2cos2-1=,θ为锐角,所以cos=.在△ABM中,BM2=AM2+AB2-2AM·ABcos=182+142-2×18×14×=100,所以BM=10千米,所以B炮台与弹着点M的距离为10千米.
16.解:(1)由题知cos B==,
整理得2a2-c2+ac=0,即(2a-c)(a+c)=0,
∵a+c>0,∴2a-c=0,∴2a=c,
∴cos B=,又B∈(0,π),∴B=.
(2)∵c=AB=3,∴BD=AB-AD=2,BC=ABcos B=,在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=+4-2××2×=,∴CD=,
由余弦定理得cos ∠BCD==,
∴sin ∠BCD==.第2课时 余弦定理的应用
【学习目标】
1.熟练应用余弦定理解决三角形问题.
2.能用余弦定理解决简单的实际问题.
◆ 知识点一 用余弦定理解决实际问题
解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意,正确画出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.
◆ 知识点二 测量中的有关角的概念
(1)方向角
从指定方向线到 的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°).如图①,方向角分别为北偏东30°, .
(2)方位角:从正北的方向线顺时针转到目标方向线所转过的 ,如图②,方向线PA, PB的方位角分别为40°, 240°.
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)方位角和方向角是一样的. ( )
(2)方位角的取值范围是[0,2π). ( )
(3)在点O处测得点A在其北偏西30°的方向上,则在点O处测得点A的方位角是30°. ( )
◆ 知识点三 判断三角形的形状
判断三角形形状,首先看最大角是钝角、直角还是锐角;其次看是否有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价.
◆ 探究点一 用余弦定理解决实际问题
例1 一商船行至某海域时,遭到海盗的追击,随即发出求救信号,正在该海域执行护航任务的海军舰艇在A处获悉后,即测出该商船在北偏东45°,距离10海里的C处,并测得该商船正沿方位角为105°的方向,以9海里/时的速度直线航行,舰艇立即以21海里/时的速度沿直线前去营救.求舰艇追上商船所需要的时间及所经过的路程.
变式 [2024·南京六校高一期中] 已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°方向上,A,C两点间的距离为5海里.某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°方向上,B,C两点间的距离为8海里,则该时刻货船B与灯塔A间的距离为 海里.
[素养小结]
解决实际问题的一般步骤:
(1)把题中的已知量和待求量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型;
(2)利用余弦定理解出所需要的边或角,求得该数学模型的解;
(3)检验求得的解是否有实际意义,并回答题中所要解决的问题.
◆ 探究点二 利用余弦定理判断三角形形状
例2 在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=2bcos C,试判断△ABC的形状.
变式 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b(a-ccos B)=a(b-ccos A),判断△ABC的形状.
[素养小结]
(1)判断三角形的形状,往往利用余弦定理将边、角关系相互转化,经过化简变形,充分显示边、角关系,进而判断.
(2)在余弦定理中,注意整体思想的运用,如:b2+c2-a2=2bccos A,b2+c2=(b+c)2-2bc等.
◆ 探究点三 利用余弦定理证明三角形中的恒
等式
例3 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,求证:=.
变式 在 ABCD中,证明:AC2+BD2=2(AB2+AD2).
[素养小结]
证明三角形中边角混合关系恒等式时,可以考虑将角的关系通过余弦定理转化为边的关系.第2课时 余弦定理的应用
一、选择题
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2bcos A=c,则△ABC的形状为 ( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为 ( )
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
3.在△ABC中,若AB=,BC=3,C=120°,则AC= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC ( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角或直角三角形
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为 ( )
A. B.8-4
C.1 D.
7.甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去,则行驶15 min后,两船的距离是 ( )
A. km B. km
C. km D. km
8.在△ABC中,CA=CB=2,AB=3,D为AC的中点,则BD= ( )
A. B.
C. D.
9.(多选题)在△ABC中,设=c,=a,=b,则下列说法正确的是 ( )
A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形
B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形
D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则△ABC为直角三角形
二、填空题
10.在△ABC中,若(a-c)(a+c)=b(b+c),则A= .
11.海上有三个小岛A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6海里,AC=3海里,若在B,C两岛的连线上建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛之间的距离相等,则B,D之间的距离为 海里.
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3b,c=,且cos C=,则a= .
三、解答题
13.如图所示为起重机装置示意图,支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,求起吊的货物与岸的距离AD.
14.[2024·广东江门高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2-bc.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=4,bc=2,求a的值;
(3)若a2=bc,判断△ABC的形状.
15.在同一平面上有相距14千米的A,B两座炮台,A在B的正东方向上.某次演习时,A向西偏北θ方向发射炮弹,B向东偏北θ方向发射炮弹,其中θ为锐角,观测知两炮弹都击中18千米外的同一目标,接着A改向向西偏北方向发射炮弹,弹着点为18千米外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为 千米.
16.在Rt△ABC中,C为直角,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=.
(1)求角B的大小;
(2)若c=3,D为AB边上一点,且AD=1,求sin∠BCD.