6.1 平面向量的概念 导学案（含解析） 高一数学人教A版必修第二册

6.1　平面向量的概念
【课标要求】　1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何意义表示和基本要素．
【导学】
学习目标一　向量的概念
师问：在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？
生答：
例1 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度．其中是向量的有(　　)
A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个
总结：判断一个量是否为向量的关键是看它是否具备向量的两个要素；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
跟踪训练1　下列说法正确的是(　　)
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
学习目标二　向量的几何表示
师问：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？
生答：
例2 李明从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量；
(2)求的模．
总结：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，已知＝5，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.
学习目标三　相等向量与共线向量
师问：(1)如果两个向量所在的直线互相平行或重合，那么这两个向量有什么关系？方向如何？
(2)如果两个向量的大小相等方向相同，这两个向量有什么关系？
生答：
例3 在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图所示．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)写出与向量相等的向量．
【一题多变】　本例条件不变，求证：.
寻找相等向量与共线向量的策略
跟踪训练3　如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与相等的向量．
【导练】
1．下列命题中正确的是(　　)
A．温度是向量
B．速度、加速度是向量
C．单位向量相等
D．若|a|＝|b|，则a和b相等
2．下列说法正确的是(　　)
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的大小为0，没有方向
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
3．设点O是正△ABC的中心，则向量是(　　)
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共起点的向量 D．共线向量
4．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是______，它们的模都等于________；
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是______，它们的模的和等于________．
【导思】
下列命题中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线
D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
第六章　平面向量及其应用
6．1　平面向量的概念
导　学
学习目标一　生答：面积和质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向．
例1　解析：是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度．故选C.
答案：C
跟踪训练1　解析：A项，向量不能比较大小，不正确；B项，方向相同的向量也不能比较大小，不正确；C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确；D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确．故选D.
答案：D
学习目标二　生答：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用a→，b→，c→)．
例2　解析：
(1)作出向量，如图所示．
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10 米，所以BD＝10 米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5 米，所以||＝5 米．
跟踪训练2　解析：由已知可得点A位于第四象限，
又||＝5，与x轴的正方向所成的角为30°，
故可得A，
如图．
学习目标三　答案：(1)平行(共线)　相同或相反　(2)相等
例3　解析：(1)据题意，与向量共线的向量为.
(2)与向量相等的向量为.
一题多变　证明：∵ABCD是平行四边形，且E，F分别为边AD，BC的中点，
∴BF＝ED，且BF∥ED，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝FD，且BE∥FD，
∴＝.
跟踪训练3　解析：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
∴与共线的向量为.
(2)与相等的向量为.
导　练
1．解析：温度只有大小，没有方向，不是向量，A错误；速度有大小和方向，应该是向量，加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值．由于速度是向量，速度的变化既可能有大小上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量，即是一个向量，时间的变化，只有大小，是一个标量，因此加速度是一个向量，B正确；向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不同，C错误；已知|a|＝|b|，但a与b的方向不一定相同，则a与b不一定相等，D错误．故选B.
答案：B
2．解析：向量与向量的长度相等，故A正确；有共同起点，且长度相等的向量，若方向不同，它们的终点不同，故B错误；零向量的大小为0，方向为任意方向，故C错误；若两个单位向量平行，则它们的方向可能相反，此时它们不是相等向量，故D错误．故选A.
答案：A
3．解析：
如图，因为O是正△ABC的中心，所以||＝||＝||＝R(R为△ABC外接圆的半径)，所以向量是模相等的向量，但方向不同．故选B.
答案：B
4．解析：结合图形可知，
(1)||＝||＝＝；
(2)因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量共线，
||＋||＝＝5.
答案：(1)　(2)　5
导　思
解析：因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，故A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误．故选C.
答案：C