6.3.2～6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 导学案（含解析） 高一数学人教A版必修第二册

6．3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
【课标要求】　1. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2. 掌握平面向量加减法运算的坐标表示．
【导学】
学习目标一　平面向量的正交分解及坐标表示
　师问：(1)如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？
(2)如图，在直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？
生答：
例1 如图，取与x轴，y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标．
总结：(1)求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)求一个向量的坐标，先求该向量的模在x轴、y轴上正交分解的长度，其正负需要注意方向．
跟踪训练1　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　)
A．(1，1)　　　　B．(－1，－1)
C． D．
　学习目标二　平面向量加、减运算的坐标表示
师问：(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？
(2)如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？
生答：
例2 已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝b
(1)求a＋b－c；
(2)求点M，N的坐标及向量的坐标．
平面向量坐标运算的策略
跟踪训练2　在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)＝(－1，2)，则＝(　　)
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
学习目标三　平面向量坐标运算的应用
例3 已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5)．若，试求λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限角平分线上；
(2)点P在第一象限内．
总结：(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， x1＝x2，且y1＝y2.
(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则．
跟踪训练3　如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3).
(1)写出向量的坐标；
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
【导练】
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，则a－b＝(　　)
A．(2，0) B．(0，1)
C．(2，1) D．(4，1)
2．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　)
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为(　　)
A． B．
C．(4，5) D．(1，3)
4．已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足＝0的G的坐标为________．
【导思】
已知对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面点A(2，3)，点B把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为__________．
6．3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
导　学
学习目标一　生答：(1)该木块受到重力G的作用产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2.也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2.
(2)由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
例1　解析：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)．
跟踪训练1　解析：由题意可得a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝()i＋()j＝i＋j＝(1，1)．故选A.
答案：A
学习目标二　生答：(1)a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2)．
(2)＝＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
例2　解析：(1)点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝a＝(5，－5)，＝b＝(－6，－3)，＝c＝(1，8)，
所以a＋b－c＝(－2，－16)．
(2)设M(x，y)，所以＝(x＋3，y＋4)＝(1，8)，解得x＝－2，y＝4，所以M(－2，4)．
设N(m，n)，所以＝(m＋3，n＋4)＝(－6，－3)，解得m＝－9，n＝－7，所以N(－9，－7)．
所以＝(－7，－11)．
跟踪训练2　解析：在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3)．又＝(－1，2)，所以＝＝(1，5)，＝＝(－3，－1)，所以＝(－2，4)．故选A.
答案：A
学习目标三　
例3　解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，
又∵＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)，
＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，
∴＝＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)，
∴则
若P在第一、三象限角平分线上，
则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝，
∴当λ＝时，点P在第一、三象限角平分线上．
(2)由(1)知
若P在第一象限内，则
∴－1<λ<9，
∴当－1<λ<9时，点P在第一象限内．
跟踪训练3　解析：(1)＝(－3，2)－(2，1)＝(－5，1)，＝(－1，3)－(2，1)＝(－3，2)，＝(－1，3)－(－3，2)＝(2，1)．
(2)设D(x，y)，由＝＝(2，1)，可得x－2＝2，y－1＝1，所以x＝4，y＝2，故D(4，2)．
导　练
1．解析：因为a＝(2，1)，b＝(0，1)，所以a－b＝(2，0)．故选A.
答案：A
2．解析：因为A(2，3)，B(4，2)，所以＝(2，－1)，所以＝2i－j.故选C.
答案：C
3．解析：设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝(m，n－2)，解得即点D(4，5)．故选C.
答案：C
4．解析：设G的坐标为(x，y)，且A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，
因为＝0，
所以(－1－x，4－y)＋(2－x，6－y)＋(3－x，－y)＝(0，0)，
可得x＝＝，y＝＝，
所以G的坐标为()．
答案：()
导　思
解析：因为点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，所以点P绕点A沿逆时针方向旋转后得到点B.由题意，设＝(x，y)，则有＝(x－y，x＋y)，因为点A(2，3)，点B(2＋，3－2)，所以＝(，－2)，因此有x－y＝，且x＋y＝－2，解得即＝(－1，－3)，而＝(2，3)，于是有＝＝(1，0)，所以点P的坐标为(1，0)．
答案：(1，0)